Elle bir doğru uydur

Açılış

Şubatın son haftası, yarıyıl tatilinden sonraki ikinci biyoloji dersinde Zeynep Hanım dönem sonunun fasulye tablosunu yeniden açtı. Elçin'in çizdiği saçılım grafiği akıllı tahtadaydı: yatay eksende haftalık su, dikey eksende son boy, on nokta. Masadaki altı saksı sol altta küçük bir öbek, pencere önündekiler sağ üstte. En tepede, ötekilerden kopuk, altıncı saksının kırk altısı duruyordu; yanında hâlâ Mert'in kurşun kalemle yazdığı not vardı: "şerit metre sarmalın üstünden".

Zeynep Hanım grafiğin çıktısını herkese dağıttı ve tek bir şey istedi: cetvelle, noktalara en iyi uyduğunu düşündüğün düz bir çizgi çiz.

Beş dakika sonra kâğıtlar tahtaya asıldı. Berk'in çizgisi masa öbeğinin en alt noktasından kalkıp kırk altıya kadar dimdik çıkıyordu. "En yüksek noktayı dışarıda bırakırsam çizgi yalan söyler," dedi. Elçin kırk altıyı görmezden gelmiş, çizgisini iki öbeğin ortasından geçirmişti. Mert ise en kısa masa fidesini pencere önünün gerçek en uzununa, yirmi yedi santimlik ikinci saksıya bağlamıştı; iki noktaya tam değiyordu, cetvelin kenarı oraya oturmuştu.

Üç çizgi, üç ayrı eğim. Sınıfın yarısı Elçin'inkini, birkaç kişi Berk'inkini seçti. Mert kendi kâğıdını savundu: "Benimki en azından iki gerçek ölçümden geçiyor."

Zeynep Hanım tahtanın köşesine yazdı: "En iyi çizgi hangisi? Ve 'en iyi'yi kim ölçecek?"

Tek fikir

Bir doğrunun noktalara uyumu, her noktada kalan farkların kareleri ortalanarak tek sayıya çevrilir. En küçük kareler, bu sayıyı en küçük yapan doğruyu deneme yapmadan, iki kısa hesapla verir.

Nasıl çalışır

Bu modülün parçaları burada birleşiyor. 4.1'de "a çarpı x artı b" ailesini, düz çizgileri gördük: a eğimdir, x bir birim arttığında çıktının ne kadar arttığı; b ise çizginin sıfırda nereden başladığı. 4.5'te yanlışları tek bir sayıya çeviren kuralı, ortalama kare hatayı kurduk. 4.6'da kaybı adım adım aşağı indirerek iyi parametrelere yaklaşmayı izledik. Düz çizgi ailesi ile kare hata bir araya geldiğinde ise adım atmaya gerek kalmaz: en iyi çizgi doğrudan hesaplanabilir.

Önce her noktada kalanı adlandıralım.

Çizginin kaybı artıkların karelerinin ortalamasıdır. Kareyi almak hem işaretleri siler hem de büyük artıkları küçüklerden ağır sayar; 4.5'te gördüğümüz gibi.

Formül sözle şöyle söylenir. Önce girdilerin ortalaması ile çıktıların ortalaması bulunur. Sonra her nokta için iki sapma yazılır: girdinin kendi ortalamasından farkı ve çıktının kendi ortalamasından farkı. Eğim, bu iki sapmanın çarpımlarının toplamının, girdi sapmalarının karelerinin toplamına bölünmesidir. Kesişim, yani b, çıktıların ortalamasından eğim çarpı girdilerin ortalaması çıkarılarak bulunur.

Fasulye tablosuna uygulayalım, önce altıncı saksıyı dışarıda bırakarak; kırk altının bir ölçüm hatası olduğunu 3.7'de bulmuştuk. Kalan dokuz saksıda haftalık suyun ortalaması yaklaşık yüz on dört virgül dört mililitre, boyun ortalaması yirmi virgül yetmiş sekiz santimetre. Hesap eğimi yaklaşık sıfır virgül yüz kırk beş verir: haftada on mililitre fazla su alan saksı, ortalamada bir buçuk santime yakın daha uzun. Kesişim dört virgül on yedidir.

Sınıfın üç çizgisini aynı dokuz saksıda ölçebiliriz; Berk'inki kırk altıya göre çizilmişti, ama ölçü aynı.

Elçin göz kararıyla şaşırtıcı biçimde yaklaşmıştı. Mert'in çizgisi iki noktadan tam geçiyordu ama öteki yedi noktadan uzaklaşmıştı. Berk'in çizgisi ise kırk altıya ulaşmak için öteki fidelerin hemen hepsinin üstünden geçiyordu.

Yöntemin bir de tarihi var ve o tarih bir öncelik kavgasıyla bilinir.

Sahada

Nerede yanılır

En küçük kareler, kare hatanın bütün zaafını devralır. Altıncı saksıyı tabloda bırakınca hesap başka bir çizgi verir: eğim sıfır virgül yüz kırk beşten sıfır virgül iki yüz kırk dokuza çıkar, kesişim eksi altı virgül on ikiye iner. Kırk altının artığı on dört virgül yetmiş ikidir; karesi, on saksının kareli artıklarının toplamının yüzde yetmiş birini tek başına oluşturur. Formül bu tek noktayı memnun etmek için çizgiyi büker; pencere önündeki öteki üç fidenin artıkları eksi üç ile eksi yedi arasına düşer. Şerit metrenin sarmal gövdeye dolanması, sınıfın "su ile boy" ilişkisini yüzde yetmişten fazla büyütmüş olurdu. Hesap hangi noktanın gerçek, hangisinin ölçüm hatası olduğunu bilemez; 3.4'teki sıra burada da geçerlidir: önce kayıt denetlenir.

İkinci yanılma çizginin kapsadığı aralığın dışına çıkmaktır. Altıncı saksı tablodayken çizgi, hiç sulanmayan bir fide için eksi altı santim söyler. Dokuz saksılık çizgi daha makul görünse de tablodaki en az su doksan mililitredir; otuz ya da üç yüz mililitre için söylediği sayının hiçbir dayanağı yoktur.

Üçüncüsü çizgiyi bir açıklama sanmaktır. 3.7'de pencere önündeki saksıların hem daha çok su hem daha çok ışık aldığını görmüştük. Çizginin eğimi "on mililitre su bir buçuk santim boy getirir" demez; bu tabloda sulama ile birlikte değişen her şeyin toplam izini taşır. Gönül Hanım'ın mevsim düzeninde olduğu gibi, artıklarda bir yön birikiyorsa çizginin görmediği bir etken vardır.

Uygulama

Bu atölyede en küçük kareler çizgisini kâğıt kalemle, hiçbir hazır işlev kullanmadan hesaplayacak ve elle çizilmiş iki çizgiyle karşılaştıracaksın. Hesap makinesi yeter.

Tablo kurgusaldır ve 3.7'nin sonunda sorduğumuz deneyin biçimindedir: beş saksı aynı pencere önünde duruyor, yalnız haftalık su farklı.

1. Kareli kâğıda iki eksen çiz: yatayda su, dikeyde boy. Beş noktayı koy ve cetvelle, en iyi uyduğunu düşündüğün çizgiyi, hiç hesap yapmadan çek. Çizginin altmış ve yüz kırk mililitredeki yüksekliğini okuyup kenara yaz.
2. Suyun ortalamasını ve boyun ortalamasını hesapla. Bu iki sayının oluşturduğu noktayı kâğıda farklı bir renkle işaretle.
3. Her saksı için iki sapma yaz: suyun ortalamadan farkı ve boyun ortalamadan farkı. A saksısı için bunlar eksi kırk ve eksi altıdır. İşaretleri koru.
4. Her saksıda iki sapmayı çarp ve beş çarpımı topla. Sonra su sapmalarının her birinin karesini al ve topla.
5. Eğimi bul: dördüncü adımdaki ilk toplamı ikinci toplama böl. Bir cümleyle yorumla: haftada yirmi mililitre fazla su alan saksı bu çizgiye göre kaç santim daha uzun?
6. Kesişimi bul: boyun ortalamasından, eğim çarpı suyun ortalamasını çıkar.
7. Her saksı için çizginin tahminini hesapla, gerçek boydan çıkar ve artığı yaz. Beş artığı topla.
8. Artıkların karelerini al, topla ve beşe böl. Bu, çizginin ortalama kare hatasıdır.
9. Şimdi iki elle çizilmiş çizgiyi dene. Birincisi ilk ve son saksıdan geçen çizgi: altmışta on iki, yüz kırkta yirmi beş. İkincisi on beş çarpı su bölü yüz artı üç, yani her yüz mililitreye on beş santim, sıfırda üç santimden başlayan çizgi. Her biri için beş artığı, artıkların toplamını ve ortalama kare hatayı hesapla.
10. Birinci adımda gözle çektiğin çizgiyi de aynı biçimde ölç ve üç sayıyı karşılaştır.

Karşılaştırma için doğru sonuçlar şöyle. Ortalamalar yüz mililitre ve on sekiz santim. Su sapmaları eksi kırk, eksi yirmi, sıfır, yirmi, kırk; boy sapmaları eksi altı, eksi üç, eksi bir, üç, yedi. Çarpımlar iki yüz kırk, altmış, sıfır, altmış, iki yüz seksen; toplamları altı yüz kırk. Su sapmalarının kareleri toplamı dört bin. Eğim sıfır virgül on altı: yirmi mililitre fazla su, üç virgül iki santim. Kesişim iki. Tahminler on bir virgül altı, on dört virgül sekiz, on sekiz, yirmi bir virgül iki, yirmi dört virgül dört. Artıklar artı sıfır virgül dört, artı sıfır virgül iki, eksi bir, eksi sıfır virgül iki, artı sıfır virgül altı; toplamları sıfır. Kareler toplamı bir virgül altı, ortalama kare hata sıfır virgül otuz iki.

İlk ve son saksıdan geçen çizginin eğimi sıfır virgül bir altı iki beş, kesişimi iki virgül yirmi beştir. Artıkları sıfır, eksi sıfır virgül yirmi beş, eksi bir buçuk, eksi sıfır virgül yetmiş beş, sıfır; toplamları eksi iki buçuk, ortalama kare hatası sıfır virgül beş yüz yetmiş beş. Çizgi iki noktaya tam değiyor ama ortadaki üç saksının hepsinin üstünden geçiyor. İkinci çizginin artıkları sıfır, sıfır, eksi bir, sıfır, artı bir; üç noktadan tam geçiyor, artıklarının toplamı da sıfır, yine de ortalama kare hatası sıfır virgül dört ve en küçük kareler çizgisinin sıfır virgül otuz ikisinden büyük. Hata köşesi bu ikinci çizgiye dönecek.

İstersen aynı on adımı kendi tuttuğun iki sütunlu bir kayıtla yap: bir saksının haftalık suyu ve boyu ya da bir arabanın her depoda gittiği kilometre ve aldığı litre.

Defter: "Çizginin hesabı" sayfasına beş saksının eğimini, kesişimini, beş artığını ve üç çizginin ortalama kare hatalarını bir tabloya yaz; altına gözle çektiğin çizginin hangi saksıda en çok yanıldığını ve neden oraya kaydığını düşündüğünü bir cümleyle ekle.

Hata köşesi

Sorumluluk

Formül her seferinde aynı çizgiyi verir ve bu, kararın da formülde olduğu anlamına gelmez. Hangi noktaların tabloya gireceğine, kırk altı gibi bir ölçüm hatasının düzeltileceğine ya da dışarıda bırakılacağına, çizginin hangi aralıkta kullanılacağına onu kullanan karar verir ve bu kararlar tarihle birlikte yazılır. Murat Bey'in müşteriye verdiği dayanım değeri yanlış çıkarsa bedelini istif sırasında ezilen ürünün sahibi öder; laboratuvarın artıkları tek tek okuyup nemli partiyi bulması o yüzden işin parçasıdır. Çizginin hesabını doğrulamak kolaydır; zor olan, tablonun neyi ölçtüğünü doğrulamaktır ve sorumlu kişi o kaydı tutan kişidir.

Kapanış

1. Artık, bir noktanın gerçek değeri ile çizginin tahmini arasındaki farktır; çizginin kaybı artıkların karelerinin ortalamasıdır.
2. En küçük kareler, düz çizgi ailesinde bu kaybı en küçük yapan eğimi ve kesişimi deneme yapmadan verir: eğim, sapma çarpımlarının toplamı bölü girdi sapmalarının kareleri toplamı; çizgi ortalamaların noktasından geçer ve artıklar sıfıra toplanır.
3. Formül uç değeri, kapsanan aralığı ve görünmeyen etkenleri bilemez; ölçüm hatası çizgiyi büker, aralığın dışındaki tahmin dayanaksızdır ve artıklarda biriken bir yön, çizginin görmediği bir etkeni gösterir.

Üç soru

1. Fasulye tablosunda altıncı saksı dışarıda kalınca eğim neden sıfır virgül iki yüz kırk dokuzdan sıfır virgül yüz kırk beşe iniyor?
2. Mert'in çizgisi iki gerçek ölçümden tam geçiyordu. Bu neden onu en iyi çizgi yapmadı?
3. Gönül Hanım'ın çizgisinde kış partilerinin artıkları hep artıydı. Bu düzen ne söylüyor ve neden bütün yılın kayıp değerinde görünmüyor?

Yanıtlar

1. Kırk altının artığı çok büyüktü ve kare hata büyük artıkları orantısız ağır sayar; tek başına kareli toplamın yüzde yetmiş birini oluşturuyordu. Formül toplamı küçültmek için çizgiyi o noktaya doğru büktü. Nokta bir ölçüm hatası olduğundan, çıkarıldığında çizgi geri kalan dokuz saksının gerçek düzenine döner.
2. Çünkü iki noktaya tam değmek, öteki yedi noktadaki farkları büyüttü. En küçük kareler bütün noktaların artıklarının karelerini birlikte sayar; Mert'in çizgisinin ortalama kare hatası bir virgül doksan dokuz, en küçük kareler çizgisininki bir virgül sıfır dokuz idi.
3. Çizginin görmediği bir etkenin, mevsimin ve onunla değişen süt yağının izini taşıyor: kışın aynı süt miktarından daha çok peynir çıkıyor. Yıllık kayıp yalnız artıkların büyüklüğünü toplar, yönlerinin aylara göre nasıl dizildiğini göstermez; düzen ancak artıklar bir sütuna göre sıralanınca görünür.

Sonraki derse köprü

Bu atölyede bir girdi ile bir çıktı arasına düz bir çizgi uydurduk ve çizginin kaybını kendi elimizle ölçtük. Modül 5 aynı çizgiyi bir tahmin aracı olarak ele alıyor. Ders 5.1, Doğrusal regresyon, bir sayıyı tahmin etmenin en sade yolunu soruyor: bu çizgi yeni bir saksı ya da yeni bir dosya için ne söyler, birden çok girdi olduğunda ne olur ve söylediğine ne kadar güvenebiliriz?