Standart hata ve güven aralığı

Açılış sahnesi

Aynı hafta iki ayrı kamuoyu araştırma şirketi, üniversite öğrencilerine aynı soruyu soruyor: "Mezun olduktan sonra fırsat bulsan yurt dışında yaşamak ister misin?"

Birinci şirket sonucu yüzde elli iki olarak açıklıyor. İkinci şirket yüzde kırk altı. Bir televizyon programında iki yorumcu tartışıyor: biri birinci araştırmanın "gençlerin çoğunluğu gitmek istiyor" dediğini, öbürü ikinci araştırmanın "çoğunluk kalmak istiyor" dediğini söylüyor. İkisi de ötekinin şirketini taraflı olmakla suçluyor.

Programı izleyen bir istatistik öğrencisi, iki raporun küçük harflerle yazılmış dipnotlarına bakıyor. Birinci araştırma bin kişiyle yapılmış ve "hata payı artı eksi üç puan" diyor. İkinci araştırma iki yüz elli kişiyle yapılmış ve "hata payı artı eksi altı puan" diyor.

Öğrenci iki aralığı bir kâğıda çiziyor. Birincisi yüzde kırk dokuzdan elli beşe, ikincisi kırktan elli ikiye uzanıyor. İki aralık büyük ölçüde üst üste biniyor ve ikisinin de içinde yüzde elliye yakın değerler var. İki araştırma birbirini yalanlamıyor. İkisi de aynı şeyi söylüyor: öğrencilerin aşağı yukarı yarısı gitmek istiyor ve bunun yüzde ellinin biraz üstünde mi altında mı olduğunu bu verilerle bilemiyoruz.

Tartışmanın tamamı, iki sayının yanında duran bir bilgiyi okumamaktan doğmuştu.

Bu derste ne olacak

Önceki derste aynı ilişkinin iki ayrı yirmi kişilik örneklemde çok farklı korelasyonlar verebildiğini gördük. M03-D01'de bu oynamaya örnekleme dalgalanması adını vermiştik. Bu ders o oynamanın ne kadar büyük olduğunu ölçmeyi ve bir sonucu, bu belirsizliği de içerecek biçimde raporlamayı öğretiyor.

Terapi tarafında S00-P02-D07 güven aralığını tanımladı, yaygın bir yanlış okumasını düzeltti ve aynı tahmini veren ama genişliği farklı iki aralığın neden farklı şeyler bildiğini gösterdi. Bu derste o tanımın arkasındaki mekanizmaya bakacağız: aralığın genişliği nereden geliyor, neden örneklem büyüdükçe daralıyor ve hangi belirsizlikleri hiç kapsamıyor?

Önce zihinde bir deney yapıp aynı araştırmayı bin kez tekrarlayacağız. Sonra bu tekrarların ortalamalarının nasıl dağıldığını gösteren sayıyı, standart hatayı hesaplayacağız. Ardından anketlerdeki hata payına ve güven aralığının nasıl kurulduğuna geçeceğiz. Son olarak bu aralıkların okunurken en sık yapılan hatalara bakacağız.

Yurt dışı anketi, kaygı ölçeği ve okul örnekleri gerçek bir araştırmaya dayanmıyor, anlatımı somutlaştırmak için tasarlandı; hata çubuklarının okunması, tekrar çalışmalarının aralıkları ve seçim anketlerinin gerçek hataları üzerine bulgular ise yayımlanmış araştırmalardan.

Sıfır noktası

Bin araştırmacı, bin ortalama

Bir ülkedeki bütün üniversite öğrencileri bir kaygı ölçeğini doldursaydı, ortalamanın kırk iki çıkacağını, öğrencilerin de bu ortalamadan tipik olarak on puan uzaklaşacağını varsayalım. Bunu bilen kimse yok; araştırmacılar yalnızca örneklemler toplayabiliyor.

Şimdi bin araştırmacı düşünelim. Her biri bu öğrencilerden rastgele yirmi beş kişi seçiyor ve ortalama kaygı puanını hesaplıyor. Bin araştırmacının bin ortalaması aynı çıkmaz: biri otuz dokuz, biri kırk dört, biri kırk iki bulur. Bu bin ortalamayı bir grafiğe dökersek, kırk iki civarında toplanan, iki yana doğru seyrekleşen bir dağılım görürüz.

Mekanizma

Çan nereden geliyor?

Aralığı kurmak

Merkezî limit kuramı sayesinde, örneklem ortalamalarının yaklaşık normal dağıldığını biliyoruz. M03-D04'te normal dağılımda değerlerin yaklaşık yüzde doksan beşinin ortalamanın iki standart sapma içinde kaldığını görmüştük. Aynı kural örneklem dağılımı için de geçerli: örneklem ortalamalarının yaklaşık yüzde doksan beşi, gerçek ortalamanın iki standart hata içine düşer.

Buradan bir aralık kurmak için tersten düşünürüz: eldeki tek örneklemin ortalamasından iki standart hata aşağı ve iki standart hata yukarı gideriz. Bu biçimde kurulan aralıkların uzun vadede yaklaşık yüzde doksan beşi gerçek değeri içerir.

Usta katmanı

Aralıkların kapsamadığı şeyler

Aralıkları yan yana okumak

Kanıtın sınırı

Standart hata ve güven aralığının mantığı istatistik kuramının sağlam bir parçası; tartışma, bu araçların pratikte ne kadar doğru kullanıldığı ve yorumlandığı üzerine.

Güven aralıkları, örneklemin rastgele seçildiği ve gözlemlerin birbirinden bağımsız olduğu varsayımlarına dayanır. Psikoloji araştırmalarının büyük kısmı kolay ulaşılan örneklemlerle yapıldığı için, hesaplanan aralıklar gerçek belirsizliği olduğundan küçük gösterebilir. Seçim anketlerindeki bulgu bunun en açık örneği: kâğıt üzerindeki hata payı, gerçek hatanın yarısı kadar çıkabiliyor.

Güven aralıklarının p değerleri yerine ya da onlarla birlikte raporlanması, son yirmi yılda psikoloji dergilerinin ve yöntem rehberlerinin önerilerine girdi ve uygulama yaygınlaştı. Ama araştırmalar, bu aralıkların okunmasında da yaygın hatalar yapıldığını ve aralıkların çoğu zaman yalnızca "sıfırı içeriyor mu, içermiyor mu" diye, yani bir p değeri gibi okunduğunu gösteriyor.

Son olarak, bu derste anlatılan aralıklar, olasılığın uzun vadeli sıklıklar olarak tanımlandığı geleneksel yaklaşıma ait. Olasılığı bir inanç derecesi olarak gören başka bir yaklaşım, benzer görünen ama farklı yorumlanan aralıklar kuruyor; iki yaklaşım arasındaki tartışma bu modülün kapsamının dışında.

Kendin dene

Aklında kalsın

Aynı evrenden çekilen farklı örneklemler farklı sonuçlar verir; bu sonuçların dağılımı örneklem dağılımıdır ve onun standart sapması, yani standart hata, tek bir tahminin ne kadar kesin olduğunu gösterir.

Standart sapma bireyler arasındaki farkları, standart hata ise bir özetin kesinliğini anlatır; standart hata örneklem büyüdükçe küçülür ama yarıya inmesi için örneklemin dört katına çıkması gerekir.

Merkezî limit kuramına göre, tek tek değerler çarpık dağılsa bile örneklem ortalamaları yeterince büyük örneklemlerde normal dağılıma yaklaşır; bu yüzden ortalamanın iki standart hata altından iki standart hata üstüne uzanan aralık yaklaşık yüzde doksan beş güven aralığıdır.

Rastgele bir örneklemin kesinliği nüfusun büyüklüğüne değil, örneklemin büyüklüğüne bağlıdır; ama hata payı yalnızca rastgele örnekleme dalgalanmasını kapsar, kimin cevap verdiği ya da soruların nasıl sorulduğu gibi hataları kapsamaz.

Alt grupların hata payı genel hata payından büyüktür; hata çubuklarının ne olduğu yazılmadan okunamaz ve iki aralığın biraz üst üste binmesi farkın olmadığını göstermez.

Sonraki derse köprü

Bu derste bir sonucun etrafındaki belirsizliği bir aralıkla ifade etmeyi öğrendik. Ama psikoloji makalelerinin çoğu sonuçlarını aralıklarla değil, çok daha kısa bir ifadeyle özetliyor: "istatistiksel olarak anlamlı" ya da "anlamlı değil", ve bunun yanında küçük bir sayı.

O sayı, bir örneklemdeki farkın ya da ilişkinin, evrende hiçbir fark olmasaydı şansla ortaya çıkıp çıkamayacağı sorusuyla ilgili. Ne yazık ki psikolojinin en çok kullanılan ve en çok yanlış okunan sayısı da o. Terapi tarafında S00-P02-D07 bu sayının neyi söylemediğini kısaca gösterdi; sonraki ders onu derinlemesine açıyor, yaygın yanlış okumalarını tek tek düzeltiyor ve anlamlılığı önemle karıştırmamayı öğretiyor: p değeri ne söyler, ne söylemez.