M03-D03

Ortalama ve yayılım

Ortalama, ortanca ve standart sapmayı aynı veri üzerinde hesaplayıp hangisinin ne zaman yanılttığını gösterir.

Temel Psikoloji Akademisi — M03, İstatistik okuryazarlığı · 2.826 kelime · 16 örnek durum · 2 kanıt kartı · ≈ 13 dk okuma · 19 dk dinleme

Önce özete göz atDersin sonundaki özet, okumaya başlamadan önce yol haritası olarak.

Ortalama bütün değerleri kullanır ve uç değerlere duyarlıdır; ortanca sıralı verinin tam ortasıdır ve uç değerlerden etkilenmez; tepe değer en sık görülen değerdir ve sınıflama ölçeğinde de kullanılabilir.

Sağa çarpık dağılımlarda, örneğin gelir, bekleme süresi ya da tepki süresinde, ortalama ortancanın üstüne çıkar ve tipik bir kişiyi olduğundan büyük gösterir.

Uç değerler bazen hatadır, bazen verinin en önemli parçasıdır; onları ayıklama kuralı veriye bakmadan belirlenmeli ve gerekçesiyle yazılmalıdır.

Standart sapma, değerlerin ortalamadan tipik uzaklığını ölçülen şeyin kendi biriminde verir; aynı ortalamaya sahip iki grup, yayılımları bakımından birbirinden çok farklı olabilir. Çeyrekler açıklığı, uç değerlere dayanıklı bir yayılım ölçüsüdür.

Hiçbir özet veriyi tek başına anlatmaz; özetlemeden önce veriyi çizmek, birden fazla özeti birlikte vermek ve özetin ne için kullanılacağını düşünmek gerekir.

Açılış sahnesi

Bir üniversitenin psikolojik danışma merkezi, yeni dönem için bir tanıtım broşürü hazırlıyor. Broşürde şöyle bir cümle var: "Danışanlarımız ortalama yedi görüşmeye devam ediyor."

Merkezde staj yapan bir psikoloji öğrencisi, bu sayının nereden geldiğini merak ediyor ve geçen dönem süreci tamamlanan dokuz danışanın kaç görüşmeye geldiğine bakıyor: iki, üç, üç, üç, dört, beş, altı, sekiz ve yirmi dokuz.

Toplam altmış üç görüşme, dokuz kişi. Ortalama gerçekten yedi. Ama dokuz danışandan yedisi yediden az görüşmeye gelmiş. Yalnızca biri, uzun süreli bir süreçte yirmi dokuz görüşmeye devam etmiş ve ortalamayı tek başına yukarı çekmiş.

Öğrenci bir de şunu fark ediyor: danışanları görüşme sayısına göre sıraya dizdiğinde tam ortadaki danışan dört görüşmeye gelmiş. En sık görülen sayı ise üç. Aynı dokuz sayı için "tipik danışan" yedi, dört ya da üç görüşmeye geliyor olabilir; hangisinin söylendiğine göre broşürü okuyan biri çok farklı bir beklentiyle kapıdan girecek.

Üç sayının üçü de doğru. Soru, hangisinin bu veriyi ve bu okuyucuyu yanıltmadığı.

Bu derste ne olacak

Önceki ders sayıların hangi türden bilgi taşıdığını ve hangi işlemlere izin verdiğini anlattı. Bu ders, ortalama alınabilir bir veri elimizdeyken onu birkaç sayıyla özetlemenin yollarını öğretiyor.

Bir veri setini özetlemenin iki ayrı sorusu var. Birincisi merkez: tipik değer nerede? İkincisi yayılım: değerler o merkezin etrafında ne kadar dağılmış? Bu derste her iki soru için de birden fazla ölçü göreceğiz ve her birini aynı küçük veri setleri üzerinde hesaplayacağız. Her ölçünün güçlü yanını ve hangi durumda okuyucuyu yanılttığını göreceğiz.

M03-D01 değişkenliğin kaçınılmaz olduğunu söyledi. Bu ders onu sayıya dökmenin ilk adımı.

Danışma merkezi, sınıflar ve tepki süresi verileri, hesapları elle izleyebilmen için bu ders için kuruldu; ortalama ile ortancanın uç değerlere duyarlılığı, çubuk grafiklerin gizlediği dağılımlar ve tepki süresi verilerindeki uç değer kuralları ise yayımlanmış çalışmalardan.

Sıfır noktası

Merkez nerede?

Yaygın yanlış"Ortalama, bir grubun tipik üyesini gösterir."

Doğrusu

Ortalama, değerler merkezin iki yanına aşağı yukarı dengeli dağıldığında tipik değere yakın düşer. Ama birkaç uç değer bir yöne yığıldığında ortalama, gruptaki çoğu kişiden uzak bir yere kayar. Açılıştaki danışma merkezinde "ortalama yedi görüşme", dokuz danışandan yalnızca ikisinin ulaştığı bir sayıydı. Ortalama bir özetin adıdır; tipik bir kişinin değil.

Mekanizma

Çarpıklık ve uç değerler

Kanıt kartı

Tepki süresi verilerinde uç değerleri ayıklamak için kullanılan farklı kuralların, örneğin belirli bir süreyi aşan denemeleri atmanın, ortalamadan iki ya da üç standart sapma uzaktaki değerleri çıkarmanın ya da ortancayı kullanmanın, aynı veriden farklı sonuçlar ve gerçek farkları bulma gücü bakımından belirgin biçimde farklı başarılar ürettiği gösterilmiştir · Kimde: bilinen özelliklere sahip yapay tepki süresi verileri üzerinde yürütülen benzetim çalışmaları ve yayımlanmış makalelerdeki uygulamaları tarayan incelemeler · Neye kıyasla: aynı veri üzerinde farklı ayıklama kuralları ve hiç ayıklama yapılmaması · Sonuç: gerçek bir koşul farkının bulunabilme olasılığı ve bulunan farkın büyüklüğü · Etiket: Orta düzey destek · Not: Hiçbir kural her durumda en iyisi değildi; ama yayımlanmış makalelerde kullanılan kuralların çok çeşitli olduğu ve çoğu zaman neden o kuralın seçildiğinin açıklanmadığı bulundu. M02-D11'de gördüğümüz araştırmacı serbestlik derecelerinden biri tam burada: uç değer kuralı sonuca bakılarak seçildiğinde, sonuç kuralı seçer.

Yaygın yanlış"Uç değerler hatadır ve her zaman veriden atılmalıdır."

Doğrusu

Bazı uç değerler gerçekten hatadır: yanlış girilmiş bir sayı, cihazın kaydettiği imkânsız bir süre, soruları okumadan işaretleyen bir katılımcı. Bunlar gerekçesi yazılarak çıkarılır. Ama bazı uç değerler verinin en önemli parçasıdır: açılıştaki yirmi dokuz görüşmeye gelen danışan bir hata değil, uzun süreli destek gerektiren gerçek bir kişiydi. Bir uç değeri yalnızca uç olduğu için atmak, verinin anlattığı hikâyenin bir parçasını silmek demek. Kural, veriye bakmadan önce belirlenmeli ve neden konulduğu açıkça yazılmalı.

Yayılım ne kadar?

Merkez, verinin yalnızca yarısını anlatır. Aynı merkeze sahip iki veri seti, birbirinden çok farklı olabilir.

Örnek durum

Aynı ortalama, iki sınıf. Beşer öğrencilik iki küçük grup aynı sınavı alıyor. Birinci grubun puanları kırk sekiz, kırk dokuz, elli, elli bir ve elli iki. İkinci grubun puanları otuz, kırk, elli, altmış ve yetmiş. İki grubun ortalaması da elli, ortancası da elli. Birinci grupta ortalamadan uzaklıklar eksi iki, eksi bir, sıfır, bir ve iki; karelerinin toplamı on, dörde bölünce iki buçuk, karekökü yaklaşık bir buçuk. İkinci grupta uzaklıklar eksi yirmi, eksi on, sıfır, on ve yirmi; karelerinin toplamı bin, dörde bölünce iki yüz elli, karekökü yaklaşık on altı. Merkez ölçüleri iki grubu aynı gösteriyor; standart sapma birinci grubun neredeyse aynı düzeyde, ikinci grubun ise çok farklı düzeylerde öğrencilerden oluştuğunu söylüyor.

Sağlam yayılım ölçüleri

Usta katmanı

Özetin gizledikleri

Kanıt kartı

Sürekli veriler için yayımlanmış makalelerin büyük çoğunluğunda grupların yalnızca ortalaması ve bir hata çubuğuyla çizilen çubuk grafikler kullanıldığı ve bu grafiklerin, birbirinden çok farklı dağılımlara sahip veri setlerini aynı görüntüde gösterebildiği bildirilmiştir · Kimde: önde gelen fizyoloji dergilerinde yayımlanmış makalelerdeki grafiklerin taranması ve aynı özet istatistiklere sahip farklı veri setleriyle yapılan gösterimler · Neye kıyasla: her bir gözlemi tek tek gösteren nokta grafikleri ve dağılımın biçimini gösteren grafikler · Sonuç: grafik türlerinin kullanım oranları ve aynı çubuk grafiğin arkasında saklanabilen farklı dağılımlar · Etiket: Orta düzey destek · Not: Aynı ortalama ve aynı yayılım, kimi zaman tek bir uç değerin çektiği bir grubu, kimi zaman iki ayrı kümeye bölünmüş bir grubu, kimi zaman da düzgün dağılmış bir grubu gizleyebiliyor. Yazarlar, özellikle küçük örneklemlerde tek tek gözlemlerin gösterilmesini önerdi. Grafiklerin yanıltma yolları M03-D10'un konusu.

Yaygın yanlış"Ortanca her zaman ortalamadan daha iyi bir özettir."

Doğrusu

Ortanca uç değerlere dayanıklıdır, ama bunun bir bedeli var: verinin büyük kısmını kullanmaz. Açılıştaki danışma merkezinin gelecek yıl kaç görüşme saati planlaması gerektiğini hesaplamak için ortanca işe yaramaz; toplam iş yükü ortalamayla, yani yirmi dokuz görüşmeye gelen danışan da hesaba katılarak hesaplanır. Ayrıca ortalama, istatistik yöntemlerin çoğunun temel taşıdır ve simetrik verilerde ortancadan daha kesin bir tahmin verir. Hangisinin kullanılacağı, verinin biçimine ve sorunun ne olduğuna bağlıdır; çoğu zaman ikisini birlikte vermek en dürüst yoldur.

Kanıtın sınırı

Bu derste anlatılan özet ölçülerin tanımları ve matematiksel özellikleri tartışmalı değil. Tartışmalı olan, belirli bir veri için hangisinin kullanılması gerektiği ve uç değerlerle nasıl başa çıkılacağı.

Uç değerleri ayıklama kuralları konusunda alanda bir uzlaşma yok. Bazı araştırmacılar ortalamadan belirli sayıda standart sapma uzaklıktaki değerleri çıkarmayı öneriyor; ama bu yöntemin kendisi, uç değerlerin standart sapmayı büyütmesi yüzünden uç değerleri gözden kaçırabiliyor. Ortancaya dayalı alternatif yöntemler öneriliyor; hangisinin hangi veri için en iyisi olduğu, verinin kaynağına ve sorunun ne olduğuna bağlı.

Psikolojide çok kullanılan derecelendirme ölçeklerinin ortalaması ve standart sapması, önceki derste tartıştığımız ölçek türü sorunlarını taşıyor. Ayrıca bu ölçeklerde cevaplar ölçeğin uçlarına yığılabiliyor ve bu da standart sapmayı yapay olarak sınırlıyor.

Son olarak, bir grubun ortalaması ve standart sapması grubun genel durumu hakkında bilgi verir, ama bireyler hakkında doğrudan bir şey söylemez. M03-D01'de gördüğümüz ortalama pilot örneği, burada anlatılan her özet için de geçerli.

Kendin dene

Telefonundaki ekran süresi kaydından son on dört günün günlük ekran süresini dakika olarak bir kâğıda yaz. Kaydın yoksa, son on dört günde kaç saat uyuduğunu hatırlayabildiğin kadar not et. Önce sayıları küçükten büyüğe sırala ve en küçük ile en büyük değere bak: aralarında ne kadar fark var, öbürlerinden belirgin biçimde uzak duran bir gün var mı? Sonra ortalamayı ve ortancayı hesapla. İkisi birbirine yakın mı, yoksa biri ötekinden belirgin biçimde büyük mü? Büyükse, hangi günler ortalamayı çekiyor ve o günlerde ne olmuştu? Son olarak sıralı listede alttaki dört günü ve üstteki dört günü kapatıp ortada kalan altı günün en küçüğü ile en büyüğüne bak. Bu aralık, senin tipik bir gününü bir tek ortalamadan daha iyi mi anlatıyor?

Aklında kalsın

Sağa çarpık dağılımlarda, örneğin gelir, bekleme süresi ya da tepki süresinde, ortalama ortancanın üstüne çıkar ve tipik bir kişiyi olduğundan büyük gösterir.

Uç değerler bazen hatadır, bazen verinin en önemli parçasıdır; onları ayıklama kuralı veriye bakmadan belirlenmeli ve gerekçesiyle yazılmalıdır.

Hiçbir özet veriyi tek başına anlatmaz; özetlemeden önce veriyi çizmek, birden fazla özeti birlikte vermek ve özetin ne için kullanılacağını düşünmek gerekir.

Sonraki derse köprü

Bu dersin sonunda standart sapmanın bir puanın ne kadar sıra dışı olduğunu anlatmanın bir yolu olduğunu gördük. Şimdi bir öğrencinin karnesine bakalım. Matematikten yetmiş, Türkçeden seksen almış. Hangi derste daha başarılı?

İlk bakışta Türkçe. Ama matematik sınavının sınıf ortalaması altmış, puanlar ortalamanın etrafında dar bir aralıkta toplanmış; Türkçe sınavının ortalaması yetmiş beş, puanlar çok geniş bir aralığa yayılmış. Bu bilgiyle birlikte cevap değişebilir. Farklı ölçeklerde, farklı ortalamalar ve farklı yayılımlarla elde edilmiş puanları ortak bir dile çevirmenin yolu var; ve psikolojideki birçok ölçümün neden belirli bir çan biçiminde dağıldığını anlamak da bu yolun bir parçası. Sonraki ders bu ortak dili anlatıyor: normal dağılım ve z puanı.

Anlamadığın bir yer mi var?

Mentor yalnız bu dersin metnine dayanarak cevap verir. Metinde geçmeyen bir şey sorarsan uydurmaz, geçmediğini söyler.