Sıfırı kim buldu? Hint matematiği

Öğrenme hedefleri

• Basamak değerli onluk sayı sisteminin ve sıfırın Hindistan'da hangi aşamalardan geçerek biçimlendiğini, yazıtlar, el yazmaları ve matematik metinleri üzerinden anlatabileceksin.
• Aryabhata, Brahmagupta ve Bhaskara'nın çalışmalarını tanıyarak, sıfırın bir boşluk işaretinden kurallarıyla hesaba giren bir sayıya dönüşmesini açıklayabileceksin.
• Hint rakamlarının Bağdat üzerinden Avrupa'ya nasıl ulaştığını izleyerek, «sıfırı kim buldu?» sorusunun neden tek bir isimle cevaplanamayacağını tartışabileceksin.

Okuma metni

Kanca — bir tapınak duvarındaki küçük daire

Orta Hindistan'da, Gwalior kalesinin kayalık yamacında, Vişnu'ya adanmış küçük bir tapınak vardır. Duvarındaki yazıt, 876 yılına tarihlenir ve sıradan bir bağış kaydıdır: kentin ileri gelenleri, tapınağa bir bahçe için toprak vermiş, her gün sunulacak çiçek çelenklerini de güvenceye bağlamıştır. Önceki bölümde Gupta krallarının bakır levhalara kazıttığı toprak bağışlarını görmüştük; bu yazıt da o geleneğin bir halkasıdır.

Yazıtı ünlü yapan, içindeki iki sayıdır. Toprağın ölçüsü «270», günlük çelenklerin sayısı «50» olarak yazılmıştır ve her ikisinde de son basamakta küçük bir daire durur. Bu daire, bugün ekranlarda, fişlerde, banka hesaplarında milyarlarca kez yazdığımız işaretin, Hindistan'da tarihinden şüphe duyulmayan ilk örnekleri arasındadır. Ama bu yazıt, bir başlangıç değil, uzun bir yolun ara durağıdır. Bu bölümün sorusu şu: sıfırı kim buldu, ve bu soru doğru sorulmuş bir soru mu?

Bağlam — boş basamak sorunu

Sıfırın neden gerekli olduğunu anlamak için, önce başka bir buluşa bakmak gerekir: basamak değerine.

Basamak değerli bir sistemde, boş kalan bir basamak ciddi bir sorun yaratır. «27» ile «207» ve «270» arasındaki farkı gösterebilmek için, boş basamağı işaretleyen bir şeye ihtiyaç vardır. Mezopotamya bölümünde gördüğümüz altmışlık sistem bu sorunla yüzyıllarca yaşamış, boş basamağı gösteren özel bir işareti ancak MÖ son yüzyıllarda, astronomi metinlerinde kullanmaya başlamıştı. O işaret, bir yer tutucuydu; tek başına bir sayı değildi.

Hindistan'da ilk rakamlar, Aşoka'nın yazıtlarında da görülen Brahmi yazısıyla birlikte ortaya çıktı. Bu erken rakamlar basamak değerli değildi: on, yirmi, yüz, bin için ayrı işaretler vardı; tıpkı Roma rakamlarında olduğu gibi. Onluk basamak değerli yazım, bu eski sistemin içinden, yavaş yavaş ve kimin elinden çıktığı bilinmeden doğdu.

Gelişme — Pataliputra'dan Bhillamala'ya

Beşinci yüzyılın sonunda, Gupta döneminin başkentlerinden Pataliputra'da, antik adıyla Kusumapura'da çalışan genç bir astronom, gökyüzünün hesaplarını anlatan kısa bir eser yazdı. Adı Aryabhata'ydı; eserinde, dünyanın başlangıcından beri geçen yılları sayarak, bu satırları yirmi üç yaşında yazdığını söyler, bu da 499 yılına denk gelir. Eser, bütün Hint bilim metinleri gibi Sanskritçe şiir biçimindedir; ezberlenmek için yazılmış kısa dizelerden oluşur.

Hindistan'da bu dönemde, «boş» anlamına gelen bir sözcük, sayı yazımında giderek daha sık kullanılır oldu.

Sıfırın gerçek sıçraması, yüz otuz yıl kadar sonra geldi. 628 yılında, bugünkü Rajasthan'daki Bhillamala kentinde, Brahmagupta adlı bir astronom, Brahmasphutasiddhanta adlı büyük bir eser yazdı. Bu eserin bir bölümünde, bugün bilinen en eski sistemli sıfır ve negatif sayı kuralları yer alır. Brahmagupta, sıfırı artık yalnızca boş bir basamak olarak değil, toplanabilen, çıkarılabilen, çarpılabilen, hatta bölünebilen bir sayı olarak ele aldı. Borçlar ve alacaklar gibi düşünülebilecek negatif ve pozitif sayılarla sıfırın nasıl bir araya geldiğini, kısa ve kesin dizelerle yazdı.

Brahmagupta'nın kurallarının çoğu bugün de geçerlidir. Ama bir tanesi değildir: sıfırın sıfıra bölümünün sıfır olduğunu söyler. Bir sayının sıfıra bölümü konusunda ise yalnızca, paydası sıfır olan bir kesir ortaya çıkacağını belirtip durur. Bu çekingenlik, bir kusur olmaktan çok, bir sınırın dürüstçe işaretlenmesidir: Brahmagupta, sıfırın hesaba girmesinin yarattığı en zor soruyla karşılaşmış ve onu cevapsız bırakmıştı.

Dönüş noktası — sonsuzluk ve yolculuk

Bu soruya beş yüz yıl sonra, on ikinci yüzyılda, Bhaskara adlı bir başka astronom geri döndü. Onun iki eseri, sonraki yüzyıllarda Hindistan'da en çok okunan matematik kitapları oldu: biri aritmetiğe, öbürü cebire ayrılmıştı.

Bhaskara'dan çok önce ise, Hint rakamları yola çıkmıştı. 662 yılında, Fırat kıyısındaki bir manastırda yaşayan Suriyeli piskopos Severus Sebokht, Yunan bilgisinin tek üstün bilgi olduğunu sananlara karşı, Hintlilerin yalnızca dokuz işaretle yaptıkları hesapları övdü. Dikkat çekici olan, onun dokuz işaretten söz etmesidir: rakamlar yolculuğa sıfırdan önce çıkmış olabilir.

Sekizinci yüzyılın sonunda, sonraki Arap kaynaklarının anlattığına göre, bir Hintli astronom yeni kurulan Bağdat'a Brahmagupta'nın geleneğinden bir astronomi eseri getirdi ve eser Arapçaya çevrildi. Dokuzuncu yüzyılın başında, Bağdat'ta çalışan matematikçi Harezmi, Hint hesap yöntemini anlatan bir kitap yazdı. Kitabın Arapça aslı kayboldu; ama on ikinci yüzyılda yapılan Latince çevirisi, Algoritmi de numero Indorum, yani «Harezmi'ye göre Hint sayıları» adıyla Avrupa'da okundu.

1202'de, çocukluğunu babasının ticaret işleri nedeniyle Kuzey Afrika'daki Bugia limanında geçiren Pisalı Leonardo, bugün daha çok Fibonacci adıyla bilinen matematikçi, Liber Abaci adlı kitabını yazdı. Kitabın ilk satırları, dokuz Hint rakamını tanıtır ve Arapçada «zephirum» denen «0» işaretiyle birlikte, bunlarla her sayının yazılabileceğini söyler. Avrupa'nın tüccarları ve üniversiteleri bu yeni rakamlara yavaş alıştı; Roma rakamları ve hesap tahtası, birkaç yüzyıl daha kullanılmaya devam etti.

Cevap — bir kişi değil, bir zincir

Öyleyse sıfırı kim buldu? Soru, bu biçimiyle, cevapsız kalmaya mahkûmdur. Boş basamak işaretini ilk kullananların adlarını bilmiyoruz. Basamak değerli onluk yazımın Hindistan'da ne zaman oturduğunu da kesin olarak bilmiyoruz; elimizdeki en eski örnekler, sistemin doğuşundan çok sonraya aittir, çünkü yazıtlara ancak iyice yerleşmiş yöntemler girer. Bildiğimiz şu: Aryabhata basamak düşüncesini kullandı, Brahmagupta sıfırın ve negatif sayıların kurallarını ilk kez sistemli biçimde yazdı, Bhaskara sıfıra bölmenin yol açtığı sonsuzluk sorununu tartıştı. Hint rakamları da Bağdat'ta Arapçaya, oradan Latinceye geçerek Avrupa'ya ulaştı.

Doğru soru, belki de «kim buldu?» değil, «nasıl yayıldı?» sorusudur. Sıfırın hikâyesi, bir buluşun, bir kişinin kafasında değil, kentleri, dilleri ve dinleri aşan uzun bir alışveriş zincirinde olgunlaştığını gösterir.

Bugünle bağ — iki rakamlık dünya

Bugün kullandığımız her bilgisayar, her telefon, yalnızca iki rakamla, sıfır ve birle çalışır. Her arama motoru, her navigasyon uygulaması, adını Bağdatlı bir matematikçiden alan algoritmalarla işler. Bir bankanın hesap özetinde, bir fişteki fiyatta, bir sınav puanında gördüğümüz rakamların Gwalior'daki o küçük daireyle aynı soydan geldiğini düşünmek, sıradan görünen araçların da bir tarihi olduğunu hatırlatır. En görünmez buluşlar, çoğu zaman en başarılı olanlardır: artık onları buluş olarak görmeyiz bile.

Birincil kaynak

Brahmagupta, 628'de yazdığı eserinde sıfır ve negatif sayılarla işlem kurallarını şöyle sıralar:

The sum of two affirmative quantities is affirmative; of two negative is negative; of an affirmative and a negative is their difference; or, if they be equal, nought. The sum of cipher and negative is negative; of affirmative and nought is positive; of two ciphers is cipher. [...] The product of cipher and negative, or of cipher and affirmative, is nought; of two ciphers, is cipher. [...] Cipher, divided by cipher, is nought. [...] Positive, or negative, divided by cipher, is a fraction with that for denominator.

Türkçesi: İki pozitif niceliğin toplamı pozitiftir; iki negatifinki negatiftir; bir pozitif ile bir negatifinki, ikisinin farkıdır; eğer eşitlerse, sıfırdır. Sıfır ile negatifin toplamı negatiftir; pozitif ile sıfırınki pozitiftir; iki sıfırınki sıfırdır. […] Sıfır ile negatifin ya da sıfır ile pozitifin çarpımı sıfırdır; iki sıfırınki sıfırdır. […] Sıfırın sıfıra bölümü sıfırdır. […] Pozitifin ya da negatifin sıfıra bölümü, paydası sıfır olan bir kesirdir.

Kaynak: Brahmagupta, Brahmasphutasiddhanta, XVIII.31–36; Henry Thomas Colebrooke'un İngilizce çevirisi, Algebra, with Arithmetic and Mensuration, from the Sanscrit of Brahmegupta and Bháscara (Londra: John Murray, 1817), s. 339–340. Türkçesi bizim.

1. Brahmagupta'nın toplama kuralları, sıfırı bir boşluk işareti olarak mı, yoksa bir sayı olarak mı ele alıyor? Metinden bir örnekle göster.
2. Bu kurallardan hangisi bugünkü matematiğe göre yanlıştır? Brahmagupta'nın sıfıra bölme konusunda söylediklerinde ve söylemediklerinde ne dikkatini çekiyor?
3. Brahmagupta, bu kuralları kısa ve ezberlenebilir dizeler hâlinde yazdı. Bu biçim, bilginin nasıl öğretildiği ve aktarıldığı hakkında ne söylüyor?

Tarihçiler Tartışıyor

• David Eugene Smith ve Louis Charles Karpinski (1911) — Hint-Arap rakamlarının tarihini yazıtlar, el yazmaları ve Avrupa kaynakları üzerinden izledi; sistemin Hindistan'da doğduğunu kabul etti, ama yazıtlardaki örneklerin sistemin doğuşundan çok sonraya ait olduğunu ve kanıtların parçalı kaldığını vurguladı.
• George Gheverghese Joseph (1991) — Matematiğin Yunanistan'dan doğrudan modern Avrupa'ya uzanan bir çizgide geliştiğini varsayan anlatıyı eleştirdi; Hindistan'ın, Çin'in ve İslam dünyasının katkılarını bu tarihin merkezine yerleştiren bir anlatı önerdi ve sıfırla basamak değerli sistemi bu katkıların en önemlisi olarak sundu.
• Robert Kaplan (1999) — Sıfırın tarihini kültürler arasında dolaşan bir fikrin öyküsü olarak anlattı; Babil'deki yer tutucu işaretin, Yunan astronomlarının kullandığı boş basamak işaretleri aracılığıyla Hindistan'a ulaşmış olabileceği olasılığını tartıştı.
• Kim Plofker (2009) — Hint matematiğini Sanskrit bilim geleneği ve astronomi içinde, kendi terimleri ve amaçlarıyla inceledi; kesin tarihlere ve «ilk» iddialarına ihtiyatla yaklaşarak, erken kanıtların sınırlarını açıkça gösterdi.

Bu tartışma, bir buluşun kökenini aramanın, eldeki kanıtın niteliğine ve tarihçinin hangi büyük anlatıyı sorguladığına bağlı olduğunu gösteriyor. Smith ve Karpinski, yirminci yüzyılın başında dağınık kanıtları bir araya getirip bir kronoloji kurmaya çalıştı. Joseph, Avrupa merkezli bir matematik tarihine karşı, Hindistan'ın payını öne çıkardı. Kaplan, fikirlerin sınırları aşarak dolaştığını vurgulayıp tek bir kaynak aramanın sınırlarını gösterdi. Plofker ise, kaynakların söylediğinden fazlasını söylememeye dikkat eden titiz bir okuma önerdi.

Derine İn

Sıfırın erken tarihine ışık tutan en tartışmalı belge, Bakhşali el yazmasıdır. 1881'de, bugünkü Pakistan'da, Peşaver yakınlarındaki Bakhşali köyünde bir tarlada bulunan bu el yazması, huş ağacı kabuğuna yazılmış yetmiş kadar yapraktan oluşur. İçinde tüccarların ve hesap öğrencilerinin karşılaşabileceği türden problemler vardır; sıfır da, bir noktayla gösterilir. El yazması bugün Oxford'daki Bodleian Kütüphanesi'nde korunuyor. 2017'de kütüphane, yaprakların bazılarının radyokarbon yöntemiyle MS üçüncü ya da dördüncü yüzyıla tarihlendiğini açıkladı; bu, yazılı sıfırın bilinen en eski örneğini birkaç yüzyıl geriye götürecek bir sonuçtu. Ama aynı ölçümlerde, farklı yaprakların birbirinden yüzyıllarca farklı tarihler verdiği ortaya çıktı. Plofker'in de aralarında bulunduğu bazı uzmanlar, tek bir el yazmasının yapraklarının bu kadar farklı çağlara ait olmasının açıklanması gerektiğini, ölçümlerin yazının kendisini değil, yazının üzerine yapıldığı kabuğun yaşını gösterdiğini hatırlattı. Tartışma sürüyor. Bu belge, bir radyokarbon tarihinin, başka kanıtlarla birlikte okunmadıkça, bir soruyu kapatmak yerine yeni sorular açabileceğini gösteren güzel bir örnektir.

Hindistan dışında da erken bir tanık vardır. Kamboçya'da bulunan ve 683 yılına tarihlenen Eski Khmer dilinde bir yazıt, tarihi yazarken sıfır için bir nokta kullanır. Güneydoğu Asya'nın krallıkları, Hint yazısını, dinlerini ve takvim hesaplarını benimsemişti; bu yazıt, Gwalior'dan yaklaşık iki yüzyıl önce, basamak değerli yazımın ve sıfırın, Hindistan'dan uzaklara yayılacak kadar yerleşmiş olduğunu gösterir. Kanıtın Hindistan'ın kendisinden değil, onun kültürel etki alanından gelmesi, sıfırın tarihinin ne kadar parçalı kanıtlara dayandığının bir başka göstergesidir.

Hint rakamlarının İslam dünyasındaki yolculuğu, rakamların biçimlerinde de iz bıraktı. Bağdat'ın çevresinde, İslam dünyasının doğusunda kullanılan rakamlar bir yöne, Kuzey Afrika'da ve Endülüs'te kullanılanlar başka bir yöne evrildi. Bugün Arap ülkelerinin çoğunda kullanılan rakamlar ilk aileden gelir; Avrupa'nın, dolayısıyla bizim bugün kullandığımız rakamlar ise ikinci aileden. Fibonacci'nin hesabı Kuzey Afrika'daki bir limanda öğrenmiş olması, bu yüzden rastlantı değildir: Avrupa'ya ulaşan rakamlar, Bağdat'tan doğrudan değil, Akdeniz'in güney kıyısı boyunca batıya uzanan ticaret ve bilgi ağlarının içinden geçerek geldi. Aynı sistemin iki farklı görünüşü, bir buluşun yayılırken nasıl yerel biçimler kazandığını gösterir; bir Arap okurla bir Türk okurun bugün aynı sayıyı farklı işaretlerle yazması, bu ayrılığın bir mirasıdır.

Sıfırın Avrupa'daki kabulü de kolay olmadı. Fibonacci'nin kitabı tüccarlar için yazılmıştı, ama Avrupa'nın ticaret kentlerinde yeni rakamlar hemen benimsenmedi. Hint rakamlarıyla yazılan sayıların kolayca değiştirilebileceği, örneğin bir sıfırın sonradan dokuza ya da altıya çevrilebileceği kaygısı dile getirildi; bazı kentlerde resmî hesap defterlerinde bu rakamların kullanımı kısıtlandı. Roma rakamları, hesap tahtasında yapılan işlemleri kaydetmek için yüzyıllarca kullanılmaya devam etti. Yeni rakamların zaferi, ancak matbaanın yayılması ve ticaret hesaplarının karmaşıklaşmasıyla, on altıncı yüzyılda kesinleşti.

Son olarak, sıfırla ilgili dil de bu yolculuğun izlerini taşır. Sanskritçe «şunya», Arapçada «sıfr» oldu. Latincede bu sözcük, bir yandan «zephirum» üzerinden İtalyanca «zero»ya, öbür yandan «cifra» üzerinden «şifre» sözcüğüne dönüştü. Bir zamanlar yalnızca sıfırı anlatan sözcük, Avrupa dillerinde zamanla bütün rakamların, sonra da gizli yazının adı oldu. Türkçedeki «sıfır» ise doğrudan Arapçadan gelir. Bir tek sözcüğün izini sürmek, bir buluşun izlediği yolun haritasını çıkarmak demektir.

Uzman Notu

Temel literatür

• Henry Thomas Colebrooke (çev.), Algebra, with Arithmetic and Mensuration, from the Sanscrit of Brahmegupta and Bháscara (Londra: John Murray, 1817).
• Walter Eugene Clark (çev.), The Aryabhatiya of Aryabhata: An Ancient Indian Work on Mathematics and Astronomy (Chicago: University of Chicago Press, 1930).
• David Eugene Smith ve Louis Charles Karpinski, The Hindu-Arabic Numerals (Boston ve Londra: Ginn and Company, 1911).
• George Gheverghese Joseph, The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics (Londra: I. B. Tauris, 1991).
• Robert Kaplan, The Nothing That Is: A Natural History of Zero (New York: Oxford University Press, 1999).
• Kim Plofker, Mathematics in India (Princeton: Princeton University Press, 2009).

Arşiv ve kaynak

Colebrooke'un Brahmagupta ve Bhaskara çevirileri ile Clark'ın Aryabhatiya çevirisi, taranmış nüshalarıyla archive.org'da; Smith ve Karpinski'nin kitabı Project Gutenberg'de bulunuyor. Bakhşali el yazması Oxford'daki Bodleian Kütüphanesi'nde korunuyor. Gwalior kalesindeki tapınak ve yazıtı yerinde görülebiliyor.

Açık sorular

• Onluk basamak değerli yazım Hindistan'da tam olarak ne zaman ve nerede oturdu?
• Babil'in ve Yunan astronomlarının yer tutucu işaretleri, Hindistan'daki sıfırın gelişimini etkiledi mi, yoksa Hint sıfırı bağımsız mı doğdu?
• Bakhşali el yazmasının yaprakları neden birbirinden bu kadar farklı radyokarbon tarihleri veriyor?

Mini sınav

1. (Hedef 1) Tarihinden şüphe duyulmayan ilk sıfır örnekleri arasında yer alan, 876 tarihli bağış yazıtı hangi kentte bulunur? A) Pataliputra B) Gwalior C) Bağdat D) Pisa
2. (Hedef 2) Sıfır ve negatif sayılarla işlem kurallarını 628'de sistemli biçimde yazan astronom kimdir? A) Aryabhata B) Bhaskara C) Harezmi D) Brahmagupta
3. (Hedef 2) Sanskritçede «boş» anlamına gelen ve sıfır için kullanılan sözcük hangisidir? A) Prasasti B) Dhamma C) Şunya D) Sutra
4. (Hedef 3) «Algoritma» sözcüğü hangi matematikçinin adından gelir? A) Harezmi B) Fibonacci C) Brahmagupta D) Aryabhata
5. (Hedef 3) Hint rakamlarını ve «zephirum» adlı sıfır işaretini 1202'de yazdığı kitapla Avrupa'ya tanıtan matematikçi kimdir? A) Severus Sebokht B) Bhaskara C) Fibonacci D) Colebrooke

Açık uçlu soru

(Hedef 3) «Sıfırı kim buldu?» sorusunu değerlendir. Cevabında Mezopotamya'daki yer tutucu işareti, Aryabhata'nın basamak düşüncesini, Brahmagupta'nın kurallarını, Gwalior yazıtını ve Hint rakamlarının Bağdat üzerinden Avrupa'ya ulaşmasını kullan. Bu soru neden tek bir isimle cevaplanamaz, ve onun yerine hangi soru sorulabilir?

Cevaplar

1. B — Bu yazıt Gwalior'dadır.
2. D — Bu kuralları Brahmagupta yazmıştır.
3. C — Bu sözcük şunyadır.
4. A — Sözcük Harezmi'nin adından gelir.
5. C — Bu matematikçi Fibonacci'dir.

Kapsamlı bir cevap, sıfırın tarihinin yer tutucu işaret, onluk basamak değerli yazım ve kuralları olan bir sayı olarak sıfır biçiminde üç ayrı adımdan oluştuğunu belirtir. Yer tutucunun Mezopotamya'da da bulunduğunu, Aryabhata'nın basamak düşüncesini kullandığını ama elimizdeki metinde sıfır işareti olmadığını, Brahmagupta'nın sıfırı bir sayı olarak ele alıp kurallarını yazdığını, Gwalior yazıtının ise sistemin yerleşmiş olduğunu gösterdiğini açıklar. Hint rakamlarının Harezmi ve Fibonacci aracılığıyla Avrupa'ya ulaşmasını da anarak, «kim buldu?» yerine «nasıl gelişti ve nasıl yayıldı?» sorusunun daha verimli olduğunu tartışır.

Sonraki bölüme köprü

Brahmagupta'nın kuralları, ezberlensin diye ölçülü dizelerle yazılmıştı; Hindistan'da bilgi, çoğu zaman ölçülü dizelerin içinde taşındı. Sanskrit şiirinin en yaygın ölçüsü olan şlokanın doğuşunu anlatan bir efsane vardır: bir bilge, avcının vurduğu bir kuşun çığlığını duyar ve acısı kendiliğinden dizelere dökülür. Sonraki bölüm, bu ölçüyle anlatılan iki büyük destana bakıyor: yüzyıllar boyunca büyüyen, yüzlerce dilde yeniden anlatılan Mahabharata ve Ramayana, kimin eseridir ve «asıl» metinleri hangisidir?