Mezopotamya matematiği: neden saatte 60 dakika var?

Öğrenme hedefleri

• Mezopotamya'nın altmışlık sayı sistemini, basamak değeri ilkesini ve bu sistemin güçlü ve zayıf yanlarını açıklayabileceksin.
• Plimpton 322 ve YBC 7289 gibi tabletleri, Mezopotamya matematiğinin düzeyini ve amacını anlamak için kaynak olarak değerlendirebileceksin.
• Saatin altmış dakikaya, dairenin üç yüz altmış dereceye bölünmesinin Mezopotamya'dan bugüne nasıl ulaştığını tartışabileceksin.

Okuma metni

Kanca — bir koleksiyoncunun tableti

1920'lerin başında New Yorklu yayıncı George Plimpton, eski belgeler toplayan bir koleksiyoncu olarak, Irak'ta kazı yapmış bir Amerikalı antika satıcısı Edgar Banks'ten küçük bir kil tablet satın aldı. Tablet kırıktı; üzerinde dört sütun hâlinde düzenlenmiş, çivi yazısıyla yazılmış sayılar vardı. Plimpton, ölümünden önce koleksiyonunu New York'taki Columbia Üniversitesi'ne bağışladı; tablet de «Plimpton 322» adıyla orada kaldı.

1945'te Avusturya kökenli matematik tarihçisi Otto Neugebauer ve meslektaşı Abraham Sachs, tabletteki sayıları çözümledi. Sonuç şaşırtıcıydı: tablet, bir dik üçgenin kenarları arasındaki ilişkiyi sağlayan sayı üçlülerini, yani bugün «Pisagor üçlüsü» dediğimiz sayıları içeriyordu. Tablet, yaklaşık MÖ 1800'e aitti; yani Pisagor'dan bin yıldan fazla önce yazılmıştı. Bu bölüm, Mezopotamyalıların nasıl saydığını, nasıl hesapladığını ve bu hesapların neden bugün saatlerimizde yaşadığını soruyor.

Bağlam — altmışlık sistem

Mezopotamya'da sayılar, iki temel çivi yazısı işaretiyle yazılıyordu: bir dikey çivi «bir», köşeli bir çivi «on» anlamına geliyordu. Bu işaretler yan yana dizilerek birden elli dokuza kadar bütün sayılar yazılabiliyordu. Altmışa gelindiğinde, bugün onluk sistemde dokuzdan ona geçerken yaptığımız gibi, bir üst basamağa geçiliyordu.

Mezopotamya'nın ilk sayı sistemleri, sayılan şeye göre değişiyordu: tahıl için bir sistem, hayvanlar için bir başka sistem kullanılıyordu. Yazının erken dönemlerine ait bu karmaşık düzen, zamanla sadeleşti. Yaklaşık MÖ yirmi birinci yüzyılda, Ur'un kralları döneminde, kâtipler bütün hesaplar için ortak bir altmışlık basamak değeri sistemi kullanmaya başladı.

Bu sistemin bir güçlü yanı, kesirleri de aynı biçimde yazabilmesiydi: tıpkı bugün onluk kesirlerde virgülden sonra onda birleri, yüzde birleri yazdığımız gibi, Mezopotamya kâtipleri de altmışta birleri, üç bin altı yüzde birleri yazabiliyordu. Bu, karmaşık hesapların hızla yapılmasını sağlıyordu.

Ama sistemin önemli bir eksiği vardı: başlangıçta sıfır için bir işaret yoktu. Bir basamağın boş olduğunu göstermek için çoğu zaman yalnızca bir boşluk bırakılıyordu; «1» ile «60» aynı biçimde yazılabiliyordu. Kâtipler, sayının büyüklüğünü bağlamdan anlıyordu. Boş basamağı gösteren özel bir işaret, ancak çok sonra, MÖ son yüzyıllarda astronomi metinlerinde kullanılmaya başlandı.

Gelişme — neden altmış?

Mezopotamyalıların neden altmışı seçtiği, kesin olarak bilinmiyor; bu soru, matematik tarihinin eski ve hâlâ açık sorularından biridir. En sık öne sürülen açıklama, altmışın çok sayıda böleni olmasıdır: altmış; iki, üç, dört, beş, altı, on, on iki, on beş, yirmi ve otuza tam olarak bölünür. Bu, kesirlerle hesap yapmayı çok kolaylaştırır: bir malın üçte birini, dörtte birini ya da beşte birini hesaplamak, altmışlık sistemde tam sayılarla yapılabilir.

Başka bir açıklama, altmışlık sistemin, farklı ölçü birimlerinin birleşmesinden doğduğunu ileri sürer. Mezopotamya'nın ağırlık birimleri, örneğin mina ve şekel, birbirine altmışa bir oranıyla bağlıydı; bir mina altmış şekeldi. Bu tür ölçü birimlerinin sayı sistemini biçimlendirmiş olabileceği düşünülüyor. Parmak boğumlarıyla sayma alışkanlığının rol oynadığına dair öneriler de var; ama bunlar kanıtlanmış değildir.

Dönüş noktası — tablet evinde matematik

Mezopotamya'da matematik, kâtiplerin eğitim gördüğü okullarda öğretiliyordu.

Nippur ve Ur gibi kentlerde, Eski Babil dönemine ait öğretmen evlerinden binlerce okul tableti bulundu. Bu tabletlerin önemli bir kısmı çarpım tablolarından, ters sayılar tablolarından ve alıştırmalardan oluşur.

Mezopotamya'nın matematik problemleri, gündelik hayattan alınmış gibi görünür: bir kanalı kazmak için kaç işçi gerekir, bir duvar için kaç tuğla lazım, bir tarlanın alanı nedir? Ama bu problemlerin çoğu, gerçek bir hesaptan çok, kâtiplerin becerisini sınayan alıştırmalardı. Bazıları, gerçek hayatta hiç karşılaşılmayacak kadar karmaşık ya da yapaydı; tıpkı bugünkü ders kitaplarındaki bazı problemler gibi. Örneğin bir problem, bir dikdörtgenin alanı ile iki kenarının farkını verip kenarların kendisini sorar; gerçek bir tarla ölçümünde böyle bir durumla karşılaşılmaz, ama bu, ikinci dereceden bir denklemi çözmeyi öğretmek için iyi bir alıştırmadır.

Plimpton 322'nin ne için yazıldığı da tartışmalıdır. Bazı araştırmacılar, onun bir trigonometri tablosu olduğunu ileri sürdü. İngiliz matematik tarihçisi Eleanor Robson ise, tabletin bir öğretmenin öğrencilerine problem hazırlamak için kullandığı bir yardımcı tablo olabileceğini savundu.

Robson'un yaklaşımı, bir tableti yalnızca içerdiği matematik açısından değil, nerede, ne zaman ve kimin tarafından yazıldığı açısından da incelemenin önemini gösterdi. Plimpton 322'nin satırlarını hazırlayan kâtip, büyük olasılıkla kendisini bir «matematikçi» olarak değil, bir kâtip ve öğretmen olarak görüyordu. Bu tartışma, bir tabletin içeriğini çözmekle onun işlevini anlamanın farklı şeyler olduğunu gösteriyor.

Cevap — Babil'den saatlerimize

Öyleyse neden saatte altmış dakika var? Bu sorunun cevabı, uzun bir aktarım zincirinde yatar. Mezopotamya'nın gökbilimcileri, gökyüzünü yüzyıllar boyunca gözlemleyip kaydetti ve hesaplarını altmışlık sistemle yaptı. Günü on iki «çift saate» bölüyorlardı. Yunan tarihçi Herodotos, MÖ beşinci yüzyılda, Yunanlıların güneş saatini ve günün on iki bölümünü Babillilerden öğrendiğini yazdı.

Helenistik dönemde Yunan gökbilimciler, Babil'in gözlem kayıtlarını ve altmışlık kesirleri kullandı. MS ikinci yüzyılda İskenderiyeli gökbilimci Klaudios Ptolemaios, büyük astronomi kitabında hesaplarını altmışlık kesirlerle yaptı: bir dereceyi altmış parçaya, her parçayı da yeniden altmış parçaya böldü. Ortaçağ'da bu parçalar Latincede «birinci küçük parça» ve «ikinci küçük parça» olarak adlandırıldı; bugünkü «dakika» ve «saniye» kelimelerinin Batı dillerindeki karşılıkları da bu adlardan gelir.

Günün yirmi dört saate bölünmesi ise, büyük ölçüde Mısır'ın gece ve gündüzü on ikişer bölüme ayıran geleneğinden gelir. Bugünkü saatimiz, bu yüzden, Mısır'ın ve Mezopotamya'nın mirasının bir birleşimidir: saat sayısı Mısır'dan, saatin altmışa bölünmesi Mezopotamya'dan.

Bugünle bağ — dört bin yıllık bir alışkanlık

Bugün kol saatine baktığımızda, bir haritada enlem ve boylamı okuduğumuzda ya da bir açıyı ölçtüğümüzde, dört bin yıl önce Mezopotamya'nın tablet evlerinde öğrenilen bir sayı sistemini kullanıyoruz. On sekizinci yüzyılın sonunda Fransa'da, zamanı da onluk sisteme göre ölçen, günü on saate ve her saati yüz dakikaya bölen bir takvim ve saat düzeni denendi; ama bu deneme kısa sürede terk edildi. Mezopotamya'nın altmışı, zamanın ölçüsünde bugün de yaşıyor.

Birincil kaynak

Yunan tarihçi Herodotos, MÖ beşinci yüzyılda, Mısır'da geometrinin nasıl doğduğunu ve Yunanlıların bazı bilgileri nereden öğrendiğini şöyle anlatır:

They said that this king distributed the land to all the Egyptians, giving an equal square portion to each man, and from this he made his revenue, having appointed them to pay a certain rent every year: and if the river should take away anything from any man's portion, he would come to the king and declare that which had happened, and the king used to send men to examine and to find out by measurement how much less the piece of land had become, in order that for the future the man might pay less, in proportion to the rent appointed: and I think that thus the art of geometry was found out and afterwards came into Hellas also. For as touching the sun-dial and the gnomon and the twelve divisions of the day, they were learnt by the Hellenes from the Babylonians.

Türkçesi: Söylediklerine göre bu kral, toprağı bütün Mısırlılara dağıttı, her adama eşit, kare biçiminde bir parça verdi ve her yıl belirli bir kira ödemelerini kararlaştırarak gelirini buradan sağladı. Eğer nehir birinin payından bir parça alırsa, o kişi krala gelip olanı anlatırdı; kral da, belirlenen kiraya oranla, adamın bundan sonra daha az ödemesi için toprağın ne kadar küçüldüğünü incelemeleri ve ölçerek bulmaları için adamlar gönderirdi. Sanırım geometri sanatı böyle bulundu ve sonra Yunanistan'a geçti. Güneş saatine, gnomona ve günün on iki bölümüne gelince, Yunanlılar bunları Babillilerden öğrendi.

Kaynak: Herodotos, Tarih, II.109; Macaulay çevirisi, cilt 1 (1890), Project Gutenberg. Türkçesi bizim.

1. Herodotos'a göre geometri hangi pratik ihtiyaçtan doğdu?
2. Herodotos, Yunanlıların Babillilerden neleri öğrendiğini söylüyor? Bu bilgiyi bugünkü kanıtlarla nasıl sınayabiliriz?
3. Herodotos'un «sanırım» ifadesi, onun bu konudaki bilgisinin kesinliği hakkında ne söylüyor?

Tarihçiler Tartışıyor

• Otto Neugebauer ve Abraham Sachs (1945) — Mezopotamya'nın matematik tabletlerini, Plimpton 322 dahil, yayımlayıp çözümleyerek, bu matematiğin sanıldığından çok daha ileri olduğunu gösterdiler.
• Jens Høyrup (2002) — Mezopotamya'nın cebir problemlerinin, soyut formüllerle değil, alanları kesip yeniden birleştiren somut bir geometrik düşünceyle çözüldüğünü savundu.
• Eleanor Robson (2001) — Plimpton 322'nin bir trigonometri tablosu değil, bir öğretmenin problem hazırlamak için kullandığı bir yardımcı tablo olabileceğini göstererek, tabletleri yazıldıkları okul bağlamında okumayı önerdi.
• Daniel Mansfield ve Norman Wildberger (2017) — Plimpton 322'nin, altmışlık sistemin özelliklerini kullanan kesin bir trigonometri tablosu olduğunu ileri sürdüler; bu görüş, pek çok matematik tarihçisi tarafından eleştirildi.

Bu tartışma, eski bir matematik metnini okumanın iki farklı yolunu gösteriyor. Birinci yol, metindeki matematiği bugünkü matematik kavramlarıyla çevirmek ve onun ne kadar «ileri» olduğunu ölçmektir; Neugebauer'in ve Mansfield ile Wildberger'in çalışmaları bu yolu izler. İkinci yol, metni kendi dönemindeki kullanımı içinde, yani bir okulda, bir öğretmenin ve öğrencinin elinde anlamaya çalışmaktır; Høyrup ve Robson bu yolu izler. İki yol da değerlidir; ama birincisi, Mezopotamyalıları bugünkü matematiğin öncüleri olarak görme eğilimi taşır, ikincisi ise onların kendi düşünme biçimlerini anlamaya çalışır. Bugün pek çok araştırmacı, iki yolu birleştirmeye çalışıyor: matematiği doğru anlamak için bugünkü kavramları kullanmak, ama onu yorumlarken kâtibin kendi dünyasına sadık kalmak. Tartışma, geçmişin bilimini bugünün gözlükleriyle okumanın hem yararlarını hem de tehlikelerini gösteriyor.

Derine İn

Mezopotamya matematiğinin en şaşırtıcı yanlarından biri, soyut kanıtların yokluğudur. Yunan matematikçiler, bir sonucun her durumda doğru olduğunu genel bir akıl yürütmeyle kanıtlamaya çalışırdı. Mezopotamya kâtipleri ise, bir yöntemi somut bir örnek üzerinde adım adım gösterir, sonucu hesaplar ve genellikle «yöntem budur» gibi bir ifadeyle bitirirdi. Bu, onların genel ilkeleri bilmedikleri anlamına gelmez; ama bilgiyi aktarma biçimlerinin farklı olduğunu gösterir. Bir öğrenci, pek çok örneği çözerek genel yöntemi öğreniyordu. Bugün de matematik öğretiminde örnek problemlerin gücü tartışılıyor; Mezopotamya'nın tablet evleri, bu yöntemin dört bin yıllık bir geçmişi olduğunu hatırlatıyor.

Mezopotamya'nın cebiri, Jens Høyrup'un gösterdiği gibi, geometrik bir düşünceye dayanıyordu. Bir ikinci dereceden denklem, bir karenin ya da dikdörtgenin alanı üzerinde düşünülerek çözülüyordu: bir dikdörtgenin bir parçası kesilip başka bir yere taşınıyor, eksik bir kare tamamlanıyor ve sonuç bulunuyordu. Bugün «kareyi tamamlama» dediğimiz yöntem, bu somut geometrik işlemin soyut bir biçimidir.

Mezopotamya'nın ölçü birimleri de ilginçtir. Uzunluk, alan, hacim ve ağırlık birimleri, birbirine çoğu zaman altmışlık sisteme uygun oranlarla bağlanmıştı. Bir kâtip, bir kanalın uzunluğunu, genişliğini ve derinliğini çarptığında, sonucu doğrudan hacim birimlerine ve oradan da kazılacak toprağın taşınması için gereken işçi sayısına çevirebiliyordu. Bu sistemli bağlantılar, ölçme ile hesaplamayı tek bir düşünme biçiminde birleştiriyordu.

Mezopotamya matematiğinin günlük hayattaki kullanımı da önemliydi. Tapınakların ve sarayların yöneticileri, tarlaların alanını, hasadın miktarını, işçilerin tayınlarını, kanalların hacmini ve tuğla sayılarını hesaplamak zorundaydı. Ağırlık, uzunluk, alan ve hacim birimlerinin altmışlık sistemle uyumlu olması, bu hesapları kolaylaştırıyordu. Matematik, bu yüzden, yalnızca bir bilgi alanı değil, bir yönetim aracıydı.

Mezopotamya astronomisi, altmışlık sistemin en uzun süre yaşadığı alan oldu. MÖ son yüzyıllarda Babil'in gökbilimcileri, ayın ve gezegenlerin hareketlerini matematiksel modellerle hesaplayabiliyordu. Bu gökbilimciler, yüzyıllar boyunca biriktirdikleri gözlemleri kuşaktan kuşağa aktaran aileler içinde çalışıyordu ve çivi yazısını en son kullananlar arasındaydı: bilinen en son çivi yazılı tabletlerden bazıları, MS birinci yüzyıla ait astronomi metinleridir. Yunan gökbilimci Hipparkhos'un Babil gözlemlerini kullandığı biliniyor; bu gözlemler, Yunan astronomisinin gelişiminde önemli bir rol oynadı.

Mezopotamya matematiğinin bir başka ilginç yanı, onu yapan insanlardır. Matematik tabletlerinin çoğu, kâtip okullarında yetişen gençlerin elinden çıkmıştır. Bu gençlerin çoğu, seçkin ailelerin çocuklarıydı; ama bazı belgeler, kadın kâtiplerin de bulunduğunu gösteriyor. Okul tabletlerinin kenarlarındaki hatalar, silintiler ve öğretmen düzeltmeleri, bu öğrencilerin hesap yaparken nerede zorlandığını bugün bile görmemizi sağlıyor.

Son olarak, Mezopotamya matematiğinin tarihi, «ilk» sorusunun ne kadar yanıltıcı olabileceğini de gösterir. Pisagor teoremini «Pisagor'dan önce» bilen Mezopotamyalılar, bu ilişkiyi bir teorem olarak kanıtlamamıştı; ama onu kullanıyor ve öğretiyorlardı. Bir fikrin kime ait olduğunu sormak yerine, farklı toplumların aynı matematik ilişkilerini nasıl farklı biçimlerde keşfettiğini, kullandığını ve aktardığını sormak, çoğu zaman daha verimlidir.

Uzman Notu

Temel literatür

• Herodotos, The History of Herodotus, çev. G. C. Macaulay, 2 cilt (Londra: Macmillan, 1890).
• Otto Neugebauer ve Abraham Sachs, Mathematical Cuneiform Texts (New Haven: American Oriental Society, 1945).
• Otto Neugebauer, The Exact Sciences in Antiquity, 2. baskı (Providence: Brown University Press, 1957).
• Eleanor Robson, «Neither Sherlock Holmes nor Babylon: A Reassessment of Plimpton 322», Historia Mathematica 28 (2001), s. 167–206.
• Jens Høyrup, Lengths, Widths, Surfaces: A Portrait of Old Babylonian Algebra and Its Kin (New York: Springer, 2002).
• Eleanor Robson, Mathematics in Ancient Iraq: A Social History (Princeton: Princeton University Press, 2008).

Arşiv ve kaynak

Plimpton 322, New York'taki Columbia Üniversitesi'nin nadir kitaplar kütüphanesinde, YBC 7289 ise Yale Üniversitesi'nin Babil koleksiyonunda korunuyor. Nippur ve Ur'dan gelen okul tabletlerinin büyük bir kısmı Philadelphia, Londra ve Bağdat'taki müzelerde bulunuyor. Herodotos'un bu bölümünün İngilizcesi, Macaulay'ın telifsiz çevirisiyle internette açık.

Açık sorular

• Mezopotamyalılar neden tabanı altmış olan bir sayı sistemi seçti?
• Plimpton 322 bir trigonometri tablosu mu, yoksa bir öğretmenin yardımcı tablosu mu?
• Mezopotamya'nın matematik bilgisi, Yunan matematiğine hangi yollarla ve ne ölçüde aktarıldı?

Mini sınav

1. (Hedef 1) Mezopotamya'nın sayı sisteminin tabanı kaçtır? A) On B) On iki C) Yirmi D) Altmış
2. (Hedef 1) Mezopotamya'nın altmışlık sisteminin başlangıçtaki önemli eksiği neydi? A) Sıfır için bir işaretin olmaması B) Büyük sayıların yazılamaması C) Kesirlerin yazılamaması D) Çarpma yapılamaması
3. (Hedef 2) YBC 7289 tableti neyi gösteriyor? A) Bir takvimi B) İkinin karekökünün şaşırtıcı bir doğrulukla hesaplandığını C) Bir vergi listesini D) Bir haritayı
4. (Hedef 2) Eleanor Robson, Plimpton 322'yi nasıl yorumladı? A) Bir trigonometri tablosu olarak B) Bir takvim olarak C) Bir öğretmenin problem hazırlamak için kullandığı bir yardımcı tablo olarak D) Bir ticaret kaydı olarak
5. (Hedef 3) Saatin altmış dakikaya bölünmesi hangi yolla bugüne ulaştı? A) Roma'nın askerî düzeni yoluyla B) Mezopotamya'nın altmışlık sisteminin Yunan astronomisi aracılığıyla aktarılmasıyla C) Çin'in takvimi yoluyla D) Orta Çağ Avrupası'nın icadıyla

Açık uçlu soru

(Hedef 3) Saatin altmış dakikaya ve dairenin üç yüz altmış dereceye bölünmesinin Mezopotamya'dan bugüne nasıl ulaştığını açıkla. Herodotos'un tanıklığını, Babil astronomisinin Yunan gökbilimciler tarafından kullanılmasını ve günün yirmi dört saate bölünmesinin Mısır kökenini kullanarak, bugünkü saatimizin farklı geleneklerin bir birleşimi olduğunu gerekçeleriyle tartış.

Cevaplar

1. D — Mezopotamya'nın sayı sisteminin tabanı altmıştır.
2. A — Başlangıçta sıfır için bir işaret yoktu.
3. B — YBC 7289, ikinin karekökünün şaşırtıcı bir doğrulukla hesaplandığını gösteriyor.
4. C — Robson, Plimpton 322'yi bir öğretmenin yardımcı tablosu olarak yorumladı.
5. B — Saatin altmış dakikaya bölünmesi, Mezopotamya'nın altmışlık sisteminin Yunan astronomisi aracılığıyla aktarılmasıyla bugüne ulaştı.

Güçlü bir cevap, Mezopotamya gökbilimcilerinin hesaplarını altmışlık sistemle yaptığını ve günü on iki çift saate böldüğünü, Herodotos'un Yunanlıların günün on iki bölümünü Babillilerden öğrendiğini yazdığını belirtir. Ptolemaios gibi Yunan gökbilimcilerinin dereceyi altmışlık kesirlerle böldüğünü ve dakika ile saniyenin bu bölmelerden geldiğini gösterir. Günün yirmi dört saate bölünmesinin Mısır'dan, saatin altmışa bölünmesinin Mezopotamya'dan geldiğini ve bugünkü saatin bu iki mirasın birleşimi olduğunu tartışır.

Sonraki bölüme köprü

Babil'in gökbilimcileri, Asur ve Babil krallıkları yıkıldıktan, Persler, Makedonlar ve Partlar bölgeye egemen olduktan sonra da gökyüzünü gözlemlemeyi ve kil tabletlere yazmayı sürdürdü. Bilinen son çivi yazılı tabletlerden bazıları, onların hesaplarıdır. Peki otuz yüzyılı aşkın bir süre yaşayan bu uygarlık, ne zaman ve nasıl sona erdi? Sonraki bölüm bu soruyu soruyor: Mezopotamya nasıl sona erdi?