Ne zaman durmalı?

Bir an

Satış elemanı ilanı yayımlanalı bir hafta oldu. Tuğba görüşme takvimini masaya seriyor: önümüzdeki beş haftada haftada iki görüşme, toplam on aday. Geçen yılki deneyimi açık: iyi bir adaya o gün teklif verilmezse, birkaç gün içinde başka bir yerle anlaşıyor. Görüşmeden çıkan adayı sonradan geri çağırmak pek işe yaramıyor.

Nermin Hanım'ın önerisi basit: "İlk iyi adayı alalım, beş hafta bekleyemeyiz." Erkan tersini savunuyor: "Hepsini görelim, sonra en iyisini seçelim." Tuğba ikisinin de olmayacağını söylüyor. İlk adayın iyi olup olmadığını, karşılaştıracak kimse görmeden bilemezler; hepsini görüp sonra seçmek ise, beklettikleri iyi adayları kaybetmek demek.

Selin bir yerde okuduğu bir kuralı hatırlıyor: adayların yaklaşık üçte birini görüp hiçbirini almamak, sonra o ana kadarkilerin hepsinden iyi olan ilk adayı almak. Ama kuralın neden üçte bir dediğini, hangi varsayımlara dayandığını bilmiyor.

Soru

Sırayla gelen seçenekler arasında, geri dönme imkânı yokken, ne zaman durup seçmek gerekir? Matematiğin verdiği cevap, gerçek bir işe alımda ne kadar geçerlidir?

Nasıl işler

Tuğba'nın sorunu iki hatanın arasında sıkışmıştır. Erken durursa, ileride daha iyi bir adayın geleceği ihtimalini kaçırır. Geç durursa, en iyi aday çoktan geçmiş ve gitmiş olabilir. Bu tür sorulara matematikte ayrı bir alan ayrılmıştır.

Bu alanın en ünlü örneği "sekreter problemi"dir. Problemin klasik biçiminde aday sayısı bilinir, adaylar rastgele bir sırayla gelir, her aday yalnız o ana kadar görülenlere göre sıralanabilir, reddedilen aday geri çağrılamaz ve amaç yalnız en iyi adayı bulmaktır; ikinci en iyi aday da başarısızlık sayılır. Bu koşullarda en iyi kuralın biçimi bellidir.

Aday sayısı büyüdükçe, gözlem döneminin en iyi uzunluğu adayların yaklaşık yüzde 36,8'ine, yani e sayısının tersine yaklaşır. En iyi adayı bulma olasılığı da yaklaşık aynı orana, yüzde 36,8'e yaklaşır. Selin'in hatırladığı "üçte bir" bu kuraldır.

Kuralın en kırılgan varsayımı yedinci varsayımdır.

Kanıt

Aynı bölüm, varsayımlardan biri değişince cevabın da değiştiğini gösterir.

İnsanların bu tür problemlerde gerçekte nasıl davrandığı da ölçüldü.

Nerede çöker

Yüzde 37 kuralı, sekiz varsayımın hepsine bağlıdır ve gerçek bir işe alım bunların çoğunu ihlal eder. Tuğba aday sayısını kesin bilmez; ilan beklenenden çok ya da az başvuru alabilir. Geri çağırma tamamen kapalı değildir: reddedilen bir aday bazen birkaç gün daha bekler. Adaylar yalnız birbirine göre sıralanmaz; özgeçmiş ve görüşmeden gerçek bir değerlendirme puanı çıkar ve şirket önceki yıllardaki adaylardan "iyi"nin neye benzediğini kabaca bilir. Bu, Ferguson'un andığı tam bilgi durumuna daha yakındır; orada başarı olasılığı da daha yüksektir.

En sert ihlal amaçtadır. Klasik problem yalnız en iyi adayı başarı sayar; ikinci en iyi aday da, en kötü aday da aynı ölçüde başarısızlıktır. Tuğba'nın amacı böyle değildir. İyi bir satış elemanı, en iyisi olmasa da işini görür. Amacı beklenen sırayı küçültmek ya da yeterince iyi birini bulmak olan biri için, yüzde 37 kuralı fazla seçicidir ve fazla sık eli boş kalır.

Bir de kuralın gözden kaçan bedeli vardır: en iyi aday gözlem döneminde gelmişse, kural hiçbir adayı seçmez ve son adaya, kim olursa olsun, razı olunur. Bu, kuralın kendi varsayımları içinde bile azımsanmayacak bir olasılıktır.

Yaygın yanılgılar

Sayılarla

İki kural arasındaki fark, amacın seçimini sayıya döker. Yüzde 37 kuralı en iyi adayı biraz daha sık yakalar, ama sık sık sıradan bir adayla kalır. Beklenen sırayı küçülten kural en iyiyi biraz daha az yakalar, ama ortalamada daha iyi bir adayla biter. Tuğba için hangisinin daha önemli olduğu bir matematik sorusu değildir; şirketin ne aradığının sorusudur.

Aday sayısı büyüdükçe kural, Ferguson'un verdiği sınıra yaklaşır. Yüz aday için en iyi kural ilk 37 adayı geçmektir ve başarı olasılığı yaklaşık 0,371'dir. Bu durumda da en iyi adayın gözlem döneminde gelmesi, yani hiç kimsenin seçilmemesi olasılığı yaklaşık yüzde 37'dir.

Herkes için aynı mı?

Eşik kuralı, adaylara eşit davranmaz. Gözlem dönemine denk gelen adaylar, ne kadar iyi olurlarsa olsunlar, işe alınmaz; yalnız bir ölçü noktası olarak kullanılır. Kimin ilk haftada, kimin son haftada görüşmeye çağrıldığı, büyük ölçüde başvuru sırasına ya da takvime bağlıdır. Kuralı uygulayan bir şirket, adaylara karşı farkında olmadan bir şans eşitsizliği yaratır. Bu, matematiğin bir sonucu değil, kuralın gerçek insanlara uygulanmasının bir sonucudur.

Kuralın bedeli işe alanlar arasında da eşit değildir. Büyük bir şirket, kötü bir son adayla kalma riskini kaldırabilir; çok sayıda ilan açar, yanlış alımı düzeltir. Küçük bir fabrika için tek bir satış elemanının kötü seçilmesi, bir yılın satışını etkileyebilir. Bu yüzden küçük bir işletme için ortalamada iyi sonuç veren kural, en iyiyi arayan kuraldan genellikle daha uygundur. Bu bir akıl yürütmedir; burada okunan kaynaklar onu ölçmedi.

Kendi hayatında

Ufuk İstanbul'da kiralık ev arıyor. İyi ilanlar bir iki gün içinde kapanıyor; bir evi "düşüneyim" diye bıraktığında çoğu zaman bir daha bulamıyor. Bu, geri çağırmanın neredeyse olmadığı bir sıralı aramadır. Ama Ufuk'un elinde klasik problemin vermediği bir şey de var: ilan sitelerinden semtteki kiraların ve evlerin aşağı yukarı neye benzediğini önceden görebilir. Yani yalnız sıraya değil, gerçek değerlere de bakabilir.

Bu durumda iki adım işe yarar. Önce, hiçbir şey kiralamadan, birkaç günü ilanları izlemeye ayırmak; bu, kuraldaki gözlem dönemidir ve "iyi"nin neye benzediğini öğretir. Sonra, Goldstein ve arkadaşlarının katılımcıları gibi, bir eşik belirlemek: şu kiranın altında, şu semtlerde, şu özellikleri taşıyan ilk ev.

Aramayı bitirdiğinde, kaçıncı seçenekte durduğunu ve sonradan daha iyisinin çıkıp çıkmadığını karar defterine not et.

Kapanış

1. Optimal durma, sırayla gelen ve geri dönülemeyen seçenekler arasında ne zaman duracağına karar verme problemidir; klasik sekreter probleminde en iyi kural, ilk yaklaşık yüzde 37'yi gözlemleyip sonra o ana kadarki en iyiyi seçmektir.
2. Ferguson'un gösterdiği gibi bu kural sekiz varsayıma dayanır ve en iyi adayı bulma olasılığı yalnız yüzde 37 civarındadır; amaç beklenen sırayı küçültmek ya da gerçek puanlar da görülüyor olsaydı, en iyi kural ve sonuç farklı olurdu.
3. Gerçek bir işe alım, aday sayısının belirsizliği, kısmi geri çağırma, gerçek puanlar ve "yeterince iyi" amacı yüzünden klasik problemden ayrılır; Goldstein ve arkadaşlarının deneyinde ise insanlar tekrar ettikçe en iyi eşiklere yaklaştı.

Beş soru

1. Klasik sekreter probleminin hangi varsayımları Tuğba'nın işe alımında tutmaz?
2. Eşik kuralı nedir ve gözlem döneminin işlevi nedir?
3. On aday için yüzde 37 kuralının yüzde 30'luk bir olasılıkla ortaya çıkan bedeli nedir?
4. Amaç en iyi adayı bulmak yerine beklenen sırayı küçültmek olduğunda kural nasıl değişir?
5. Goldstein ve arkadaşlarının deneyi, insanların bu problemlerdeki davranışı hakkında ne gösterdi?

Yanıtlar

Aday sayısı kesin bilinmez, reddedilen bir aday bazen birkaç gün daha bekleyebilir, adaylar yalnız birbirine göre değil gerçek bir değerlendirme puanıyla da değerlendirilir ve şirketin amacı yalnız en iyiyi bulmak değil, işini görecek iyi bir eleman bulmaktır.

Eşik kuralı, ilk belli sayıda seçeneği yalnız gözlemleyip hiçbirini seçmemek, ardından o ana kadar görülenlerin hepsinden iyi olan ilk seçeneği seçmektir. Gözlem dönemi bir öğrenme dönemidir: hiçbir şey seçilmez ama sonraki seçenekleri karşılaştırmak için bir ölçü oluşur.

En iyi aday ilk üç adayın içindeyse, ki bu yüzde 30 olasılıktır, sonraki hiçbir aday o ana kadarki en iyiyi geçemez. Kural hiçbir adayı seçmez ve Tuğba, kim olursa olsun, onuncu adayla kalır.

Kural daha esnek hâle gelir: zaman geçtikçe yalnız o ana kadarki en iyi aday değil, en iyi iki ya da üç adaydan biri de kabul edilir. On aday için bu kural, ortalama sırayı yüzde 37 kuralındaki yaklaşık 3,0'tan yaklaşık 2,56'ya indirir; buna karşılık en iyi adayı biraz daha az yakalar.

Klasik, dağılımın öğrenilemediği problemlerde önceki araştırmalar öğrenme kanıtı bulmamıştı. Goldstein ve arkadaşlarının deneyinde ise katılımcılar aynı dağılımla tekrar tekrar arama yaptı, belirgin biçimde öğrendi ve yalnız birkaç oyundan sonra en iyi eşiklere yakın eşikler kullanmaya başladı.

Sonraki derse köprü

Selin akşam babaannesi Melike Nine'yi arıyor. Melike Nine kırk yıldır aynı pazarcıdan alışveriş yapıyor; pazara yeni gelen tezgâhlara hiç uğramıyor. Selin onu önce inatçılıkla suçlayacak oluyor, sonra vazgeçiyor: seksen altı yaşında yeni bir tezgâhı denemenin değeri, otuz yaşında denemenin değeriyle aynı mı? 8.4, Keşfet mi, kullan mı? dersi, keşif ile bildiğini kullanma arasındaki gerilimi ve kalan sürenin bu dengeyi nasıl değiştirdiğini ele alıyor.