Çan eğrisi ve kuvvet yasası

Bir an

Pazartesi sabahı, fabrikanın insan kaynakları odası. Selin yıllık rapordan iki grafik istemiş, yeni vardiya planı için. Birinci grafik dört yüz çalışanın boy dağılımı: iş güvenliği ekipmanı sipariş edilecek. İkinci grafik aynı çalışanların aylık ücretleri: vardiya primi hesaplanacak.

Boy grafiği bir tepe gibi: çalışanların çoğu 165 ile 180 santimetre arasında, iki yana doğru giderek azalıyorlar. En uzun çalışan ile en kısa çalışan arasındaki oran 1,3'ü bile bulmuyor. Ücret grafiği ise başka bir şekil: çalışanların büyük kısmı soldaki dar bir bölgede yığılmış, sağa doğru incelen ama bitmeyen bir kuyruk uzanıyor. En yüksek ücret, en düşüğün on iki katı.

Raporu hazırlayan uzman "ortalama ücret" yazmış, sayı herkesin kazandığından yüksek. Selin bir an duruyor: boy için "ortalama çalışan" demek anlamlı geliyor; ücret için aynı kelime bir şeyi gizliyor gibi.

Soru

Bazı büyüklükler neden ortada toplanıp bir tepe çizer, bazıları neden uzun bir kuyruğa yayılır? "Ortalama" kelimesi hangi dağılımda bir şey söyler, hangisinde yanıltır?

Nasıl işler

Boy, birçok küçük ve birbirinden bağımsız etkenin toplamından doğar: genler, beslenme, çocukluktaki hastalıklar. Bu tür toplamlar ortalamanın etrafında toplanma eğilimindedir; çok uzun ya da çok kısa olmak için pek çok etkenin aynı yöne çekmesi gerekir ve bu nadir olur.

Servet, şehir nüfusu ya da bir kitabın satış sayısı ise başka bir mantıkla oluşur. Burada etkenler toplanmaz, çarpılır; 4.1'de gördüğümüz bileşik büyüme gibi, büyük olan daha da büyür. Böyle büyüklüklerde birkaç dev değer ile çok sayıda küçük değer yan yana bulunur.

İki dağılımın en önemli farkı, tipik bir değerin olup olmadığıdır. Normal dağılımda ortalama, tipik bir üyeyi iyi temsil eder. Kuvvet yasasında ise "tipik" bir değer yoktur; ortalama, birkaç büyük değer tarafından yukarı çekilir ve üyelerin çoğu ortalamanın altında kalır.

Kanıt

Bu ayrım her çarpık dağılımın kuvvet yasası olduğu anlamına gelmez. Newman da aynı uyarıyı yapar.

Nerede çöker

Kuvvet yasası çekici bir fikirdir ve bu yüzden her yerde görülmeye yatkındır. Logaritmik eksenlerde düz görünen bir çizgi her zaman kuvvet yasası değildir; log-normal gibi başka çarpık dağılımlar da benzer çizgiler verebilir. Newman'ın kendisi, bazı iddia edilen kuvvet yasalarını yetersiz kanıtlandığı için derlemesine almadığını yazar. Bir dağılımı kuvvet yasası diye adlandırmadan önce, hangi aralıkta ve hangi yöntemle sınandığını sormak gerekir.

Kuvvet yasaları çoğu zaman yalnız kuyrukta geçerlidir. En zengin Amerikalıların servet dağılımı, Newman'ın verisinde 600 milyon doların üstündeki serveti kapsar; aynı formülü bütün nüfusa uygulamak, verinin göstermediği bir şeyi iddia etmek olur. Selin'in ücret grafiği de çarpıktır, ama ücretler asgari bir tabanla ve kurumsal bir tavanla sınırlıdır; bu yüzden servet kadar uzun bir kuyruğu yoktur.

Normal dağılım da her zaman güvenli değildir. Bir büyüklüğün toplam gibi oluştuğu varsayımı bozulduğunda, örneğin birkaç etken birbirini güçlendirdiğinde, çan eğrisinin kuyrukları beklenenden kalın olabilir. 5.4'te bu tür kuyruklardaki seyrek ama büyük olayları ayrıca ele alacağız.

Yaygın yanılgılar

Sayılarla

Farkı bir benzetimle görelim. Ortalaması 175, standart sapması 7 santimetre olan bir çan eğrisinden bin kişilik üç grup çektiğimizde, grupların ortalaması 174,9 ile 175,2 arasında kalır ve ortancalarla neredeyse aynıdır. Hangi gruba bakarsak bakalım, ortalama aynı şeyi söyler.

Şimdi üssü 2,1 olan, en küçük değeri 1 olan bir kuvvet yasasından bin değerlik beş grup çekelim. Bu dağılımın teorik ortalaması 11'dir. Çektiğimiz grupların ortalaması ise 5,1 ile 6,3 arasında değişir, yani teorik ortalamanın yarısı civarındadır, çünkü ortalamayı belirleyen dev değerler bin değerlik bir örneklemde çoğu zaman çıkmaz. Ortanca ise her grupta 1,8 ile 2 arasında, teorik değeri olan 1,88'e yakın kalır. Her grupta tek bir değer, toplamın yüzde 6 ile 11'ini oluşturur. Bu sayılar, Newman'ın verdiği formülle üretilmiş rastgele sayılarla tarafımızca hesaplandı.

Benzetimin dersi şudur: uzun kuyruklu bir dağılımda ortanca kararlıdır ve tipik üyeyi anlatır; ortalama ise kararsızdır ve elimizdeki örneklemde hangi dev değerin bulunduğuna bağlıdır.

Herkes için aynı mı?

Ortalamanın yanıltıcılığı en çok uzun kuyruğun alt tarafındakileri etkiler. Bir ülkenin ortalama serveti ya da ortalama geliri yükselirken, çoğunluğun durumu değişmeyebilir; artış, kuyruğun ucundaki birkaç kişiden geliyor olabilir. "Ortalama vatandaş" diye bir sayı kullanıldığında, bu sayının kimin hayatını anlattığını sormak gerekir.

Kuvvet yasasının dünyasında kuyruğun ucunda olmak da risklidir. Bir yazarın, bir müzisyenin ya da bir girişimcinin geliri böyle dağılır: birkaç kişi çok büyük başarı elde eder, çoğunluk ise ortalamanın çok altında kalır. Bu alanlara girmeyi düşünen biri için ortalama kazanç değil, ortanca kazanç ve başarısızlık olasılığı daha gerçekçi bir rehberdir.

Kendi hayatında

Bir sayıyla karşılaştığında önce hangi tür dağılımdan geldiğini sor. "Bu meslekte ortalama gelir şu kadar" diyen bir haber, mesleğin gelir dağılımı çarpıksa, çoğu çalışanın kazandığından yüksek bir sayı veriyordur. "Bu kurslara katılanlar ortalama şu kadar kazanıyor" diyen bir reklam, birkaç çok başarılı katılımcının etkisini gösteriyor olabilir. Ortanca biliniyorsa ona bak; bilinmiyorsa, ortalamanın birkaç uç değerden etkilenip etkilenmediğini sor.

Ortalama ile ortanca arasındaki fark büyükse, o sayıya dayanan bir kararı ortanca üzerinden yeniden düşün. Bu karşılaştırmayı karar defterine yaz; bir sonraki benzer kararda ilk bakacağın sayı ortanca olsun.

Kapanış

1. Toplam gibi oluşan büyüklükler, örneğin boy, ortalamanın etrafında toplanan bir çan eğrisi çizer; çarpım gibi büyüyen büyüklükler, örneğin servet ve şehir nüfusu, uzun kuyruklu ve çoğu zaman kuvvet yasasına yakın dağılır.
2. Newman'ın derlemesinde boyların en büyük ile en küçük arasındaki oranı 4,8 iken, ABD şehir nüfuslarında bu oran en az 150 bindir; kuvvet yasasının üssü 2 ya da altındaysa sonlu bir ortalama yoktur.
3. Uzun kuyruklu dağılımda ortanca tipik üyeyi anlatır, ortalama ise birkaç dev değere bağlıdır; ama her çarpık dağılım kuvvet yasası değildir ve kuvvet yasaları çoğu zaman yalnız kuyrukta geçerlidir.

Beş soru

1. Selin'in boy grafiği ile ücret grafiği arasındaki temel fark nedir ve bu fark "ortalama" kelimesini nasıl etkiler?
2. Boy neden çan eğrisine, servet neden uzun kuyruklu bir dağılıma yakındır?
3. Üssü 2,1 olan bir kuvvet yasasından çekilen bin değerlik grupların ortalaması neden teorik ortalamanın altında kalır?
4. Logaritmik grafikte düz görünen her dağılımın kuvvet yasası olmaması neden önemlidir?
5. Bir meslekteki gelirleri değerlendirirken neden ortancaya bakmak daha akıllıcadır?

Yanıtlar

Boy grafiği ortalamanın etrafında simetrik bir tepe çizer; ortalama çalışan gerçekten tipik bir çalışandır. Ücret grafiği ise sağa uzanan bir kuyruğa sahiptir; birkaç yüksek ücret ortalamayı yukarı çeker ve çalışanların çoğu ortalamanın altında kalır.

Boy, birbirinden bağımsız birçok küçük etkenin toplamından doğar ve toplamlar ortalamanın etrafında toplanır. Servet ise bileşik büyüme gibi çarpımlarla oluşur; büyük olan daha da büyür ve birkaç dev değer ile çok sayıda küçük değer yan yana bulunur.

Teorik ortalamayı belirleyen çok büyük değerler seyrek görülür ve bin değerlik bir örneklemde çoğu zaman yer almaz. Bu yüzden örneklem ortalaması çoğunlukla teorik ortalamanın altında kalır ve hangi dev değerin örneklemde bulunduğuna göre gruptan gruba değişir.

Bir dağılıma kuvvet yasası demek, onun ortalaması, kuyruğu ve uç olayların sıklığı hakkında güçlü sonuçlar çıkarmak demektir. Log-normal gibi başka çarpık dağılımlar da benzer görünebilir ama farklı sonuçlar verir; yanlış adlandırma, yanlış öngörülere yol açar.

Gelir dağılımı çoğu meslekte sağa çarpıktır; birkaç çok yüksek kazanç ortalamayı yukarı çeker. Ortanca, çalışanların yarısının üstünde yarısının altında kazandığı noktadır ve tipik bir çalışanın kazancını daha iyi anlatır.

Sonraki derse köprü

Aynı gün öğleden sonra Nermin Hanım müşteri listesini Selin'e gösteriyor: yüz yirmi müşterinin satışları sıralanmış ve en büyük yirmi beş müşteri cironun yaklaşık beşte dördünü oluşturuyor. "Seksene yirmi kuralı," diyor Nermin Hanım. "Her yerde böyle." 5.2, 80/20 ilkesi dersi bu oranın Pareto'nun servet gözleminden nasıl doğduğunu ve neden bir yasa olmaktan çok bir eğilim olduğunu ele alıyor.