Her üstel eğri bir gün doyar

Bir an

Perşembe akşamı, Ufuk'un çalıştığı yazılım şirketinin toplantı odası. Ekranda şirketin uygulamasının kullanıcı grafiği var. Dört ay önce 25 bin kullanıcı varmış; her ay ikiye katlanmış ve şimdi 400 bin olmuş. Satış müdürü çizgiyi ileriye uzatıyor: "Bu hızla sekiz ay sonra ülkede uygulamayı indirmeyen kimse kalmaz. Sunucu kapasitesini ona göre alalım, ekibi üçe katlayalım."

Ufuk elini kaldırıyor. "Bu çizgi neden duracak, onu hiç konuşmadık." Müdür gülüyor: "Daha durmadı ki."

Toplantıdan sonra Ufuk Selin'e mesaj atıyor: "Rıza Usta'nın defterindeki eğri yataylaşıyordu. Bizimki hiç yataylaşmayacak mı?" Selin'in cevabı kısa: "Yataylaşacak. Ne zaman, onu kim bilecek?"

Soru

Üstel büyüyen bir şey neden bir noktada yavaşlar ve durur? Büyümenin ilk aylarına bakarak nerede duracağını tahmin edebilir miyiz?

Nasıl işler

4.1'de sabit oranla büyüyen bir değerin her eşit sürede aynı kat arttığını gördük. Bu, büyümeyi besleyen kaynak sınırsızsa doğrudur. Bir uygulamanın kullanıcıları ise sonunda ülkedeki insan sayısına, daha önce de uygulamaya ihtiyacı olan insan sayısına dayanır. Bir nüfus, toprağın ve yiyeceğin taşıyabileceği sayıya; bir salgın, henüz hastalanmamış insan sayısına dayanır.

Büyüme bu sınıra yaklaştıkça yavaşlar. Uygulamayı henüz indirmemiş insanlar azaldıkça, her ay yeni kullanıcı bulmak zorlaşır. Kullanıcı sayısı başta ikiye katlanır, sonra yüzde elli artar, sonra yüzde on, sonra neredeyse hiç.

Lojistik eğrinin ilk kısmı üstel eğriden neredeyse ayırt edilemez. Sınır henüz uzaktayken büyümeyi frenleyen etki çok küçüktür. Bu yüzden büyümenin başında çizilen bir eğri, sınırın nerede olduğu hakkında çok az şey söyler.

Kanıt

Verhulst, Fransa tablosunun, gözlemler daha büyük sayılara dayandıkça ve daha özenle yapıldıkça formülün daha isabetli göründüğünü de not eder. Ama notunun en dikkat çekici yanı, kendi formülüne yönelttiği uyarıdır.

Nerede çöker

Lojistik eğri, üstel eğrinin eksik bıraktığı şeyi, sınırı ekler. Ama sınırın kendisini bilmez. Verhulst'ün dört varsayımı gibi, büyümenin ilk dönemine uyan pek çok eğri vardır ve bunlar sınırın yeri konusunda birbirinden çok ayrılır. Büyümenin başında taşıma kapasitesini tahmin etmek, bu yüzden bir hesap olmaktan çok bir varsayımdır. Kapasiteyi verinin içinden değil, dışından, örneğin ülkedeki potansiyel kullanıcı sayısından, rakiplerin payından ya da sunucunun fiziksel sınırından düşünmek gerekir.

Sınırın kendisi de sabit kalmayabilir. Verhulst'ün de not ettiği gibi, bir ülke kendi toprağının ürününü tükettiğinde başka ürünlerini dışarıdaki yiyecekle değiştirip daha çok nüfusu besleyebilir. Teknoloji, ticaret, yeni bir ürün özelliği ya da yeni bir pazar, taşıma kapasitesini yukarı itebilir. Bu yüzden lojistik eğri de, uzun vadeye uzatıldığında, üstel eğri gibi yanılabilir.

Gerçek büyüme de düzgün bir S çizmez. Bir uygulamanın kullanıcı sayısı bir rakibin gelişiyle düşebilir, bir salgın yeni bir dalgayla yeniden yükselebilir, bir nüfus göçle değişebilir. Lojistik model, büyümenin yavaşlayacağını hatırlatan iyi bir düşünme aracıdır; geleceği gösteren bir harita değildir.

Yaygın yanılgılar

Sayılarla

Ufuk'un şirketinin grafiğini iki farklı sınırla modelleyelim ve ayları başlangıçtan sayalım. İkisinde de başlangıç ayı 25 bin kullanıcıyla başlanıyor ve dördüncü ay 400 bin kullanıcıya ulaşılıyor. Taşıma kapasitesi 2 milyon olan bir lojistik eğri, ara aylarda 52, 107 ve 212 bin kullanıcı öngörür. Kapasitesi 50 milyon olan eğri 50, 100 ve 200 bin öngörür. İlk dört ayda iki eğri arasındaki fark birkaç bin kullanıcıdır; gözlenen veriye ikisi de uyar.

Başlangıçtan sekizinci ayda, yani bugünden dört ay sonra, iki eğri ayrılır. Kapasitesi 2 milyon olan eğri yaklaşık 1,7 milyon kullanıcı öngörürken, 50 milyonluk eğri yaklaşık 5,8 milyon öngörür. On ikinci ayda biri 2 milyonda durmuştur, öbürü 34 milyona yaklaşmıştır. Saf üstel büyüme, yani satış müdürünün çizgisi, on ikinci ayda 102 milyon derdi; bu, ülkenin nüfusundan fazladır.

Satış müdürünün sekiz ay sonrası için hesabı da buradan okunabilir. Her ay ikiye katlanan 400 bin kullanıcı, sekiz ay sonra 102 milyon olur. Aynı veriye uyan iki lojistik eğri ise o ay, yani başlangıçtan on ikinci ay için 2 milyon ile 34 milyon arasında bir sayı verir; aradaki on yedi katlık fark, yalnız sınıra dair varsayımdan doğar. Bu sayılar, büyüme hızı ilk ayların verisine uyacak biçimde ayarlanmış lojistik formülden tarafımızca hesaplandı.

Herkes için aynı mı?

Doyumun bedelini en çok, büyümenin süreceğine en çok yatırım yapanlar öder. Satış müdürünün planına göre ekibi üçe katlayan, sunucu alan ve ofis kiralayan bir şirket, büyüme yavaşladığında bu maliyetleri taşımak zorunda kalır. Bu kararlar çoğu zaman çalışanların işine mal olur: büyüme beklentisiyle işe alınanlar, doyum geldiğinde ilk çıkarılanlar olabilir.

Erken girenlerle geç girenler arasında da bir fark vardır. Bir pazarın üstel döneminde giren biri hızlı büyümeden yararlanır. Doyuma yakın giren ise, aynı hızlı büyümenin süreceğini varsayarak yatırım yaparsa, büyümenin en yavaş döneminde en yüksek beklentiyle oyuna girmiş olur. Bir eğilime ne zaman katıldığın, o eğilimden ne alacağını büyük ölçüde belirler.

Kendi hayatında

Kendi kararlarında doyumu görmenin yolu, büyümeyi besleyen kaynağı adlandırmaktır. Diyelim ki küçük bir işletmen var ve son altı ayda müşteri sayın her ay yüzde yirmi artmış. Bunun devam edeceğini varsayarak bir kredi çekmeden önce, müşterilerinin nereden geldiğini sor: mahalledeki herkes mi, bir sosyal medya hesabının takipçileri mi, bir okulun velileri mi? Bu kaynağın büyüklüğü, büyümenin nerede yavaşlayacağına dair verinin kendisinden daha iyi bir ipucu verir.

Yüzde onun altındaysan, büyüme muhtemelen bir süre daha hızlı devam eder. Yüzde ellinin üstündeysen, yavaşlama büyük ihtimalle yakındır ve bugünkü hıza dayanan kararlar riskli olabilir. Bu oranı ve tahminini karar defterine yaz, üç ay sonra yeniden bak.

Kapanış

1. Hiçbir büyüme sınırsız kaynakla beslenmez; büyüme bir taşıma kapasitesine yaklaştıkça yavaşlar ve lojistik bir S eğrisi çizer, ilk kısmı ise üstel eğriden neredeyse ayırt edilemez.
2. Verhulst 1838'de Malthus'un geometrik büyümesine nüfusla artan bir fren ekleyerek bir üst sınıra yaklaşan bir formül önerdi; ama frenin dört farklı biçiminin veriye aynı ölçüde uyup çok farklı sınırlar verdiğini kendisi yazdı.
3. Büyümenin başındaki veri, sınırın yeri hakkında en az bilgiyi taşır; sınırı verinin dışından, büyümeyi besleyen kaynağın büyüklüğünden düşünmek gerekir.

Beş soru

1. Satış müdürünün sekiz ay sonrası hesabında hangi varsayım gizli?
2. Lojistik eğrinin ilk kısmı neden üstel eğriden ayırt edilemez?
3. Verhulst'ün dört farklı fren varsayımı hakkındaki gözlemi neden önemlidir?
4. Kapasitesi 2 milyon ve 50 milyon olan iki lojistik eğri, ilk dört ayın verisine uyduğu hâlde on ikinci ayda nasıl bu kadar ayrılır?
5. Bir işletmenin büyümesinin ne zaman yavaşlayacağını tahmin etmek için hangi bilgiye bakmak gerekir?

Yanıtlar

Satış müdürü, kullanıcıları besleyen kaynağın sınırsız olduğunu ve her ay ikiye katlanma hızının sekiz ay daha süreceğini varsayıyor. Bu varsayımla sekiz ay sonra kullanıcı sayısı ülkenin nüfusunu aşar; büyümenin kaynağı ise uygulamaya ihtiyacı olan insanlarla sınırlıdır.

Sınır uzaktayken büyümeyi frenleyen etki çok küçüktür; büyüme hızı neredeyse sabittir. Bu yüzden ilk kısımda lojistik eğri ile üstel eğri neredeyse aynı yolu izler; fark, sınıra yaklaşıldıkça ortaya çıkar.

Verhulst, frenin biçimine dair farklı varsayımların aynı veriye eşit ölçüde uyduğunu ama çok farklı üst sınırlar verdiğini gösterdi. Bu, sınırın yalnız eldeki veriden tahmin edilemeyeceği anlamına gelir; sınıra dair tahmin, verinin taşımadığı bir varsayıma dayanır.

İlk dört ayda iki eğri de sınırdan çok uzaktır ve neredeyse saf üstel büyür; sınırın etkisi henüz görünmez. Sekizinci aydan sonra 2 milyonluk eğri sınırına yaklaşıp yavaşlar, 50 milyonluk eğri ise hızla büyümeye devam eder; on ikinci ayda biri 2 milyonda, öbürü 34 milyona yakın olur.

Büyümeyi besleyen kaynağın büyüklüğüne ve şu anki değerin bu kaynağın ne kadarını tükettiğine bakmak gerekir: işletmenin ulaşabileceği potansiyel müşteri sayısı, bu müşterilerin ne kadarına zaten ulaşıldığı ve rakiplerin payı.

Sonraki derse köprü

Bir yıl sonra Ufuk'un şirketinin büyümesi yavaşlamış ve şirketin değeri bir çeyrekte yarı yarıya düşmüş. Sonraki çeyrekte yüzde elli toparlanınca satış müdürü "kaybın büyük kısmını geri aldık" diyor. Ufuk hesap yapıyor ve yüzde elli düşüp yüzde elli çıkan bir değerin başladığı yere dönmediğini görüyor. 4.5, Kaybın asimetrisi dersi, yüzde elli kaybı geri almak için neden yüzde yüz kazanç gerektiğini ve bunun risk alma kararına etkisini hesaplıyor.