Bileşik büyüme

Bir an

Pazar sabahı, Aydoğdu'ların kahvaltı masası. Ufuk Berlin'den dönmüş, konferansta duyduğu cümleyi tekrar ediyor: "Kendini her gün yüzde bir geliştirirsen, bir yılın sonunda otuz yedi kat ilerlemiş olursun." Hüseyin Bey çayını bırakıyor: "Saçma. Yüzde birin üç yüz altmış beş günü yüzde üç yüz altmış beş eder, beş kat bile etmez."

Saniye Hanım, otuz yılını bir muhasebe bürosunda geçirmiş, bugün de apartmanın yöneticisi. Elindeki kalemle peçeteye bir şey yazmaya başlıyor. "İkiniz de kendi hesabınızı yapıyorsunuz," diyor. "Biri her gün aynı yüzde biri ekliyor, öbürü her gün bir öncekinin yüzde birini. Apartmanın yedek akçesini bankaya koyarken ben de bu farkı hesaplıyorum."

Sonra bir sayı daha yazıyor: 72. "Bunu bana ilk patronum öğretmişti. Faize böl, paranın kaç yılda ikiye katlanacağını verir. Nereden geldiğini hiç sormadım."

Soru

Her dönem bir öncekinin üstüne eklenen büyüme, sezgimizin beklediğinden neden bu kadar hızlı büyür? Büyüme oranındaki küçük bir fark uzun sürede ne kadar büyük bir farka dönüşür, ve 72 kuralı bu farkı ne kadar doğru hesaplar?

Nasıl işler

Hüseyin Bey'in hesabı, her gün aynı miktarın eklendiği bir büyümeyi anlatır. Başlangıçta 100 varsa ve her gün 1 eklenirse, bir yıl sonra 465 olur. Ufuk'un aktardığı hesap ise her gün o günkü değerin yüzde birinin eklendiği bir büyümeyi anlatır. İlk gün eklenen 1'dir, ama yüzüncü gün eklenen yaklaşık 2,7'dir, çünkü artık büyüyen bir değerin yüzde biri ekleniyordur.

Bu son özellik bileşik büyümeyi tanımanın en kolay yoludur. Değer her on iki yılda ikiye katlanıyorsa, on iki yılda 100'den 200'e, sonraki on iki yılda 200'den 400'e, sonrakinde 800'e çıkar. Her dönemde eklenen miktar bir öncekinin iki katıdır. Basit büyümede ise her dönemde eklenen miktar aynıdır.

İkiye katlanma süresinin kesin hesabı logaritma ister. Pratik bir kestirme ise yüzyıllardır kullanılır.

Kuralın gücü, oranı küçük bir farkla değiştirmenin uzun sürede yarattığı farkı göz önüne sermesidir. Yüzde 6 ile yüzde 8 arasındaki fark küçük görünür. Ama ilkinde para 12 yılda, ikincisinde 9 yılda ikiye katlanır; otuz yılda bu fark, ilkinde paranın yaklaşık 5,7 katını, ikincisinde 10 katını bulmasıdır.

Kanıt

Kuralın ne kadar doğru olduğunu Pacioli'nin kendi örnekleri üzerinde sınayabiliriz.

Nerede çöker

Bileşik büyüme hesabının en zayıf varsayımı, oranın sabit kalmasıdır. Pacioli'nin hesabındaki yüzde 6, otuz yıl boyunca yüzde 6 kalırsa doğru sonuç verir. Gerçek dünyada faiz oranları değişir, bir işin büyüme hızı yavaşlar, bir yatırımın getirisi bir yıl artı bir yıl eksi olur. 2.3'teki çarpımsal oyunda olduğu gibi, ortalaması aynı olan iki getiri dizisinden dalgalı olanı daha yavaş büyür; bileşik hesap ortalamayı değil, çarpanların dizisini izler.

İkinci zayıflık, hangi büyümenin ölçüldüğüdür. Paranın miktarı ile paranın satın alma gücü aynı hızla büyümez. Yıllık faiz yüzde 50, fiyatlar yüzde 45 artıyorsa, para ikiye katlanma süresini 72 bölü 50 ile hesaplamak yanıltıcıdır; satın alma gücü yılda yalnız yüzde 3,4 kadar artar ve ikiye katlanması yirmi yıldan fazla sürer. Vergiler ve masraflar da oranı aynı yönde aşındırır.

Bileşik büyüme ayrıca sonsuza kadar sürmez. Hiçbir şirket, hiçbir nüfus, hiçbir beceri sabit bir oranla sınırsız büyüyemez; bir noktada kaynak, pazar ya da fiziksel sınır büyümeyi frenler. Bu frenin nasıl işlediğini 4.4'te ayrıca açacağız. Bir eğriyi bileşik büyüme formülüyle uzatmadan önce, büyümeyi besleyen kaynağın o süre boyunca var olup olmayacağını sormak gerekir.

Yaygın yanılgılar

Sayılarla

Saniye Hanım'ın peçetesindeki hesabı açalım. Apartmanın yedek akçesinde 100 bin lira var. Yılda yüzde 6 basit faizle, yani her yıl yalnız başlangıçtaki 100 bin liranın yüzde 6'sı eklenirse, otuz yıl sonra 280 bin lira olur. Aynı yüzde 6 bileşik işlerse, yani her yılın faizi bir sonraki yılın anaparasına eklenirse, otuz yıl sonra yaklaşık 574 bin lira olur. Oran yüzde 8 olsaydı, bileşik hesapta otuz yılın sonunda yaklaşık 1 milyon lira olurdu.

72 kuralının hangi oranda ne kadar tuttuğuna bakalım. Yüzde 3'te kural 24 yıl der, kesin süre 23,4 yıldır. Yüzde 6'da 12 yıl der, kesin süre 11,9. Yüzde 10'da 7,2 der, kesin süre 7,3. Yüzde 20'de 3,6 der, kesin süre 3,8. Yüzde 36'da 2 der, kesin süre 2,25. Bu kesin süreler, oranların sabit kaldığı varsayımıyla, logaritma formülünden hesaplandı.

Ufuk'un cümlesinin matematiğine de bakalım. Her gün yüzde 1 büyüyen bir değer bir yılda 37,8 kat olur. Her gün yüzde 0,1 büyüyen bir değer ise bir yılda yalnız 1,44 kat olur; on kat küçük bir günlük oran, otuz yedi kat yerine yüzde kırk dört artış demektir. Her gün yüzde 1 küçülen bir değer ise bir yıl sonunda başlangıcının yüzde 2,6'sına iner.

Herkes için aynı mı?

Bileşik büyüme matematik olarak herkes için aynıdır, ama ona katılma imkânı değildir. Paranın bileşik büyümesinden yararlanmak için önce birikecek bir paraya, sonra o parayı uzun süre çekmeden bırakabilecek bir hayata sahip olmak gerekir. Geliri ancak yeten biri için otuz yıllık bileşik büyüme hesabı soyut kalır; kira, fatura ya da beklenmedik bir masraf, parayı vadesinden önce çeker.

Aynı matematik borçta ters yönde işler. Birikimi olmayan ve borçla geçinen biri için bileşik büyüme, birikimin değil borcun büyüdüğü bir süreçtir. Aylık yüzde 4 faizle birikmeye bırakılan bir kart borcu, 72 kuralına göre yaklaşık 18 ayda ikiye katlanır. Bileşik büyümenin iki yüzü aynı toplumda yan yana yaşar: biri için servet, öbürü için borç sarmalı.

Kendi hayatında

Kendi paranın hangi oranla büyüdüğünü ya da küçüldüğünü 72 kuralıyla kabaca görebilirsin. Diyelim ki birikimin vadeli hesapta yıllık yüzde 40 faiz alıyor, ama fiyatlar yılda yüzde 35 artıyor. Paranın miktarı 72 bölü 40, yani iki yıldan az bir sürede ikiye katlanıyor gibi görünür; oysa satın alma gücün yılda yaklaşık yüzde 3,7 artar ve iki katına çıkması yirmi yıla yakın sürer. Tersine, faiz enflasyonun altındaysa satın alma gücün her yıl erir; bu erimenin hızını da aynı kuralla, ama yarılanma süresi olarak hesaplayabilirsin.

Bu iki sayıyı karar defterine yan yana yaz. Birikimin gerçek ikiye katlanma süresi ile borcunun ikiye katlanma süresi arasındaki fark, hangisine öncelik vermen gerektiğini çoğu zaman tek başına gösterir.

Kapanış

1. Bileşik büyümede artış birikmiş toplam değere uygulanır; değer eşit sürelerde aynı kat artar ve sezgimizin beklediği doğrusal büyümeden çok daha hızlı büyür.
2. Pacioli 1494'te 72'yi faize bölerek ikiye katlanma süresini bulma kuralını yazdı; kural yüzde 3 ile yüzde 12 arasında bir yıldan az yanılır, yüksek oranlarda ise belirgin biçimde sapar.
3. Bileşik hesap oranın sabit kaldığını, kazancın yeniden yatırıldığını ve büyümenin sürebileceğini varsayar; enflasyon, dalgalanma ve büyümeyi besleyen kaynağın tükenmesi bu varsayımları bozar.

Beş soru

1. Hüseyin Bey ile Ufuk'un yüzde birlik büyüme hesapları neden bu kadar farklı sonuç veriyor?
2. Pacioli'nin 72 kuralına göre yüzde 9 faizle bir para kaç yılda ikiye katlanır?
3. 100 bin liranın otuz yılda yüzde 6 basit faizle 280 bine, bileşik faizle 574 bine çıkmasının nedeni nedir?
4. Yıllık faiz yüzde 50, enflasyon yüzde 45 ise satın alma gücü yaklaşık kaç yılda ikiye katlanır?
5. Aylık yüzde 4 faizle büyüyen bir borç yaklaşık kaç ayda ikiye katlanır, ve bu hesap neden birikim hesabından daha acil olabilir?

Yanıtlar

Hüseyin Bey her gün başlangıç değerinin yüzde birini ekliyor; bir yılda 365 puan eklenir ve değer 4,65 katına çıkar. Ufuk ise her gün o günkü değerin yüzde birini ekliyor; eklenen miktar her gün büyür ve bir yılda değer yaklaşık 37,8 kat olur.

72 bölü 9, 8 eder; para yaklaşık 8 yılda ikiye katlanır. Kesin hesap da 8 yıldan biraz fazlasını verir.

Basit faizde her yıl yalnız başlangıçtaki 100 bin liranın yüzde 6'sı eklenir. Bileşik faizde her yılın faizi anaparaya eklenir ve sonraki yılın faizi bu büyümüş tutar üzerinden hesaplanır. Otuz yıl boyunca faizin faizi birikir ve fark iki katını aşar.

Satın alma gücü, 1,50'nin 1,45'e bölümü kadar, yani yılda yaklaşık yüzde 3,4 artar. 72 bölü 3,4 yaklaşık 21 eder; satın alma gücü yaklaşık 21 yılda ikiye katlanır.

72 bölü 4, 18 eder; borç yaklaşık 18 ayda ikiye katlanır. Birikimin gerçek ikiye katlanma süresi yıllarla ölçülürken borcunki aylarla ölçülüyorsa, borcu kapatmak çoğu zaman birikimi büyütmekten daha hızlı bir kazanç sağlar.

Sonraki derse köprü

Saniye Hanım peçeteyi katlarken Hüseyin Bey'e dönüyor: "Senin hesabını herkes yapar zaten." Gerçekten de insanların büyüyen bir borcu, bir salgını ya da birikimi tahmin ederken sistemli biçimde doğrusal düşündüğü ve üstel büyümeyi küçük gördüğü ölçüldü. 4.2, Doğrusal sezgi, üstel dünya dersi bu sezgi hatasının ne kadar büyük olduğunu ve borç kararlarına nasıl yansıdığını ele alıyor.