Tesadüf bu kadar mı olur?

Bir an

Cumartesi akşamı, Selin köyden dönüş yolunda. Telefon çalıyor; arayan Ufuk, sesi heyecanlı. Berlin'deki bir yazılım konferansında, öğle arasında kahve kuyruğuna girmiş ve önündeki adam dönünce lisedeki sıra arkadaşı Kerem çıkmış. On iki yıldır görüşmüyorlarmış. Kerem de aynı konferansa başka bir şirketten gelmiş.

"Milyonda bir ihtimal," diyor Ufuk. "Berlin'de, bu kalabalıkta, aynı kuyrukta. Kerem bunun bir işaret olduğunu söyledi. Ben de yarı inanacağım."

Selin gülüyor. Ama aklına geçen hafta apartman toplantısında annesinin anlattığı şey geliyor: otuz kişilik toplantıda iki komşunun doğum günü aynı çıkmış ve herkes buna şaşırmış. Saniye Hanım da "bu kadar tesadüf olmaz" demiş. Selin yolun geri kalanında iki hikâyeyi düşünüyor. İkisi de inanılmaz geliyor. İkisi de belki o kadar inanılmaz değil.

Soru

"İnanılmaz" tesadüfler gerçekten ne kadar nadirdir? Bir rastlantının bize neden bu kadar şaşırtıcı geldiğini, şaşkınlığımızın hesabını nerede yanlış yaptığını nasıl görebiliriz?

Nasıl işler

Bir tesadüfün olasılığını sorduğumuzda, çoğu zaman yanlış soruyu sorarız. "Benim, bu kişiyle, bu yerde karşılaşma olasılığım nedir?" sorusunun cevabı gerçekten çok küçüktür. Ama şaşırmamız için Kerem'le karşılaşmamız şart değildi: herhangi bir eski tanıdıkla, herhangi bir şehirde, herhangi bir yıl karşılaşsaydık da aynı şaşkınlığı yaşardık. Şaşırtıcı sayılabilecek olayların toplamının olasılığı, tek bir olayınkinden çok daha büyüktür.

Bunun en temiz örneği doğum günüdür.

Sezgimiz bu soruyu, "biri benim doğum günümü paylaşıyor mu?" sorusuyla karıştırır. Oysa yirmi üç kişilik bir grupta karşılaştırılabilecek 253 ayrı kişi çifti vardır ve her çiftin eşleşme şansı vardır. Eşleşmenin kimde olacağını önceden belirtmediğimiz için, olasılık bütün bu çiftlere yayılır.

Aynı mantık en büyük ölçekte de işler. Bir olay tek bir kişi için milyonda bir olasılıklıysa, milyonlarca insanın yaşadığı bir ülkede bu olayın her gün bir yerlerde birkaç kez yaşanması beklenir. Yaşayan için inanılmazdır; ülke için sıradandır.

Şaşkınlığı büyüten bir şey daha vardır: tesadüfü olduktan sonra tanımlamak. Ufuk, Kerem'le karşılaşmasaydı da, Berlin'de aynı mahalleden biriyle, aynı yıl mezun olduğu üniversiteden biriyle ya da ilkokul öğretmeninin oğluyla karşılaşsa yine şaşırırdı. "Neredeyse aynı" olan pek çok olay, sonradan bakıldığında tek bir şaşırtıcı olay gibi sayılır.

Kanıt

Diaconis ve Mosteller, görünür nedeni olan tesadüfler ayrıldıktan sonra geriye kalanların büyük kısmını dört ilkeyle açıklar: gizli neden, bellek ve algının psikolojisi, çoklu son noktalar ve çok büyük sayılar yasası. Makalenin başındaki R. A. Fisher alıntısı bu bakışı özetler: milyonda bir olasılık, bize olduğunda ne kadar şaşırsak da, tam kendi sıklığıyla gerçekleşecektir.

Nerede çöker

Diaconis ve Mosteller'in ilk ilkesi gizli nedendir ve bu ilke rastlantı açıklamasının sınırını çizer. Ufuk ile Kerem'in karşılaşması tamamen rastlantı değildi: ikisi de yazılım mühendisi, ikisi de aynı alanda, ikisi de aynı konferansı seçmişti. Aynı lisede okumuş iki mühendisin aynı sektör konferansına gitme olasılığı, rastgele iki insanın Berlin'de karşılaşma olasılığından çok yüksektir. Tesadüf hesabı yaparken, olayları birbirine yaklaştıran ortak nedenleri bulmak, "çok büyük sayılar" demekten önce gelir.

Ters yönde de dikkat gerekir. Her tesadüfü "büyük sayılarda olur zaten" diye geçiştirmek, bilimdeki birçok keşfin de bir tesadüfün peşine düşmekle başladığını unutmaktır. Yazarlar da bilimsel keşfin büyük ölçüde şaşırtıcı bir tesadüfün nedenini bulmaya dayandığını yazar. Bir tesadüf ilk kez görüldüğünde rastlantı da olabilir, bir nedenin ilk izi de; ayırt etmek için önceden tanımlanmış bir sınama gerekir, 3.5'teki önceden çizilmiş sınır gibi.

Doğum günü hesabının kendisi de varsayıma bağlıdır. Gerçek doğumlar yıla eşit dağılmaz ve gruplarda ikizler olabilir. Bu farklar hesabı biraz değiştirir; şaşkınlığın yanlış sorudan geldiği sonucunu değiştirmez.

Yaygın yanılgılar

Sayılarla

Doğum günü problemini adım adım büyütelim. On kişilik bir grupta en az iki kişinin aynı gün doğmuş olma olasılığı yaklaşık yüzde 12'dir. Yirmi üç kişide yüzde 51'e, otuz kişide yüzde 71'e, elli kişide yüzde 97'ye çıkar. Elli yedi kişide yüzde 99'u geçer.

Şimdi soruyu değiştirelim: yirmi iki kişilik bir gruba katıldın; içlerinden birinin senin doğum gününü paylaşma olasılığı nedir? Yalnız yaklaşık yüzde 6. Senin doğum gününü paylaşan biriyle yarı yarıya olasılıkla karşılaşmak için 253 kişilik bir grup gerekir. Aynı grup büyüklüğünde iki soru arasındaki fark, "herhangi bir eşleşme" ile "belirli bir eşleşme" arasındaki farktır.

Çok büyük sayılar yasasına gelelim. Diaconis ve Mosteller, 250 milyonluk ABD nüfusunda kişi başına günde milyonda bir olasılıklı bir tesadüfün, günde 250, yılda yaklaşık 100 bin kez yaşanacağını hesaplar. Aynı hesap yaklaşık 85 milyonluk bir ülke için günde 85, yılda 31 binden fazla tesadüf verir. Bu son iki sayı, her kişinin günde bir kez böyle bir olasılığa maruz kaldığı varsayımıyla, nüfusu olasılıkla çarparak tarafımızdan hesaplandı.

Herkes için aynı mı?

Tesadüfe verilen anlam kişiden kişiye çok değişir ve bu farklılık her zaman hesap hatasından gelmez. Bir yakınını kaybetmiş biri için, onun doğum gününde rastlanan bir işaret teselli olabilir; bu deneyimin hesapla küçümsenmesi kaba olur. Bu dersin amacı tesadüflerden anlam çıkarmayı yasaklamak değildir; anlamın kararlara dönüştüğü yerde hesabın da masaya gelmesini sağlamaktır.

Hesabın en çok önem kazandığı yer, tesadüfün para ya da güvenle buluştuğu yerdir. "Size özel, milyonda bir fırsat" diyen bir arayan, aynı aramayı binlerce kişiye yapıyor olabilir. Bir tesadüfün sana özel olduğu hissi, çoğu zaman onu kuranın sayılarının büyüklüğünden gelir.

Kendi hayatında

Bir tesadüfle karşılaştığında kendine soracağın ilk soru, onu "olmadan önce" nasıl tanımlayacağın olabilir. Ufuk'un yerinde olsan, Berlin'e gitmeden önce "orada tanıdık biriyle karşılaşma olasılığım nedir?" diye sorsaydın, eski okul arkadaşlarını, eski iş arkadaşlarını, aynı sektördeki tanıdıklarını ve konferansa kimlerin gidebileceğini düşünürdün. Bu hesap, "Kerem'le, kahve kuyruğunda" hesabından çok daha büyük bir olasılık verir. Kerem'in aynı sektörde olduğunu da hesaba katınca, karşılaşma şaşırtıcı olmaktan çok hoş bir rastlantıya döner.

Listen uzadıkça tesadüfün şaşkınlığı küçülecektir; ortak bir neden bulduysan, tesadüf bir açıklamaya dönüşecektir. İkisini de bulamadıysan, karşında gerçekten nadir bir olay vardır; onun tadını çıkar, ama ona dayanarak bir karar vermeden önce bir kez daha düşün.

Kapanış

1. Bir tesadüfün şaşırtıcılığı çoğu zaman yanlış sorudan gelir: belirli bir olayın olasılığı küçüktür, aynı şaşkınlığı yaratabilecek olayların toplam olasılığı ise çok daha büyüktür; 23 kişilik bir grupta iki kişinin aynı doğum gününü paylaşma olasılığı yarıyı geçer.
2. Diaconis ve Mosteller, görünür nedeni olmayan tesadüflerin büyük kısmını dört ilkeye bağladı: gizli neden, bellek ve algı, çoklu son noktalar, çok büyük sayılar yasası; yeterince büyük bir nüfusta milyonda bir olasılıklı olaylar her gün yaşanır.
3. Gizli neden ilkesi rastlantı açıklamasının sınırını çizer: bir tesadüfü "büyük sayılar" diye geçiştirmeden önce olayları birbirine yaklaştıran ortak nedenleri aramak gerekir.

Beş soru

1. Ufuk'un "milyonda bir ihtimal" hesabı hangi soruya cevap veriyor, hangi soruyu atlıyor?
2. Otuz kişilik bir toplantıda iki kişinin doğum gününün aynı çıkması neden şaşırtıcı değildir?
3. Yirmi iki kişilik bir grupta birinin senin doğum gününü paylaşma olasılığı neden yalnız yüzde 6 civarındadır?
4. Diaconis ve Mosteller'e göre New Jersey'deki çifte piyango kazancının "17 trilyonda bir" olarak sunulması neden yanıltıcıydı?
5. Gizli neden ilkesi, Ufuk ile Kerem'in karşılaşmasını nasıl yeniden okumamızı sağlar?

Yanıtlar

Ufuk'un hesabı, Kerem'le, Berlin'de, o kahve kuyruğunda karşılaşma olasılığını soruyor. Atladığı soru, aynı şaşkınlığı yaratacak herhangi bir eski tanıdıkla herhangi bir yerde karşılaşma olasılığıdır; bu toplam olasılık çok daha büyüktür.

Otuz kişilik bir grupta 435 ayrı kişi çifti vardır ve eşleşmenin hangi çiftte olacağını önceden belirtmeyiz. Bu kadar çift arasında en az bir eşleşme olma olasılığı yaklaşık yüzde 71'dir; eşleşme olmaması daha az olasıdır.

Bu soru belirli bir eşleşme arar: yalnız senin doğum gününle eşleşme. Her kişinin bu günü paylaşma olasılığı 365'te birdir ve yirmi iki kişide toplam olasılık yalnız yüzde 6 civarına çıkar. Herhangi iki kişinin eşleşmesini sorduğumuzda ise bütün çiftler hesaba girer.

17 trilyonda bir, iki ayrı çekilişte tek bilet alan belli bir kişinin ikisini de kazanma olasılığıydı. Kadın birçok bilet almıştı ve asıl soru, milyonlarca oyuncudan herhangi birinin iki kez kazanma olasılığıydı. Bu soruya verilen cevap, yedi yıl içinde yarıdan fazla bir olasılıkla böyle birinin çıkacağıydı.

İkisi de yazılım mühendisiydi, aynı lisede okumuşlardı ve aynı sektör konferansını seçmişlerdi. Bu ortak nedenler, karşılaşmalarını rastgele iki insanın karşılaşmasından çok daha olası kılar; tesadüfün büyük kısmı, ortak bir çevrenin sonucudur.

Sonraki derse köprü

Telefonu kapatmadan önce Ufuk, konferansta bir konuşmacının ekrana yansıttığı cümleyi anlatıyor: "Her gün yüzde bir daha iyi ol, bir yılda otuz yedi kat daha iyi olursun." Seviye 1 burada bitiyor ve rastlantının dilinden sayıların yasalarına geçiyoruz. 4.1, Bileşik büyüme dersi, bu tür cümlelerin arkasındaki matematiği ve büyüme oranındaki küçük bir farkın uzun sürede neden büyük bir farka dönüştüğünü hesaplayarak başlıyor.