Rastlantı kümelenir

Bir an

Cumartesi öğleden sonra, Sivrihisar'a bağlı köyde Melike Nine'nin bahçesi. Selin hafta sonu gelmiş, babaannesi çay demlerken ilçedeki büfenin hikâyesini anlatıyor. Son iki yılda büyük ikramiye ilçede iki kez çıkmış, ikisi de çarşıdaki aynı büfeden satılan biletlere. Şimdi köylüler ilçeye inince biletlerini oradan alıyor. "Şanslı yer," diyor Melike Nine. "Bir şey var o büfede."

Selin bir hafta önce fabrikada benzer bir şey duymuştu. Rıza Usta'nın bakım defterinde, iki ayda üç arıza aynı haftaya düşmüştü ve ustabaşı "o hafta gece vardiyasında bir şey oluyor" diye soruşturma açtırmıştı. Soruşturma bir şey bulamamış, herkes biraz huzursuz kalmıştı.

Selin çayını alırken soruyor: "Nine, o büfe ilçenin en kalabalık büfesi mi?" Melike Nine düşünüyor. "Çarşının ortasında, herkes oradan alır zaten."

Soru

Rastgele dağılan olaylar neden düzgün yayılmış değil de kümeler hâlinde görünür? Bir kümenin bir nedeni olup olmadığını nasıl anlarız?

Nasıl işler

Bir avuç pirinci yere serptiğini düşün. Taneler ızgara gibi eşit aralıklarla dizilmez; bazı yerlerde üst üste yığılır, bazı yerlerde hiç tane olmaz. Eşit aralıklı bir dağılım, tanelerin birbirinden uzak durmasını sağlayan bir düzen gerektirir. Rastlantının böyle bir düzeni yoktur; her tane, öbürlerinin nereye düştüğünü bilmeden düşer.

Sezgimiz ise rastlantıyı eşit dağılım gibi hayal eder. 3.3 ve 3.4'te gördüğümüz temsil edicilik beklentisi burada mekâna taşınır: rastgele bir haritanın her köşesinde aşağı yukarı aynı sayıda nokta olmalıdır. Bir köşede birkaç nokta yan yana görünce, onları bir arada tutan bir neden ararız.

Rastlantının ne kadar kümelenmesi gerektiğini hesaplamanın bir yolu vardır. Olaylar birbirinden bağımsızsa ve her bölgeye düşme ihtimali aynıysa, bir bölgeye kaç olay düşeceği belli bir olasılık dağılımına uyar.

Bu dağılım bize bir karşılaştırma ölçütü verir. Gözlenen yığılmalar Poisson'un öngördüğünden belirgin biçimde fazlaysa, olayları bir araya toplayan bir şeyin var olduğundan şüphelenmek için sebep vardır. Öngörülen kadarsa, gördüğümüz kümeler rastlantının sıradan işidir.

Kanıt

Clarke'ın sonucu, kümeleri gören Londralıların yanıldığını, ama gördüklerinin yine de gerçek olduğunu gösterir: yedi kare gerçekten dört bomba, bir kare beş ya da daha fazla bomba almıştı. Kümeler gerçekti; yanılgı, onlara yüklenen anlamdaydı.

Kümelerin gerçek bir nedeni olduğu durumlar da vardır ve onları rastlantıdan ayırmak bugün de zordur.

Nerede çöker

Clarke'ın sınaması kümelenmenin olmadığını kanıtlamaz; yalnız verinin rastlantıdan belirgin bir sapma göstermediğini söyler. Kareler daha büyük ya da daha küçük seçilseydi, alan başka bir yerden alınsaydı, sonuç değişebilirdi. Clarke alanı, ortalama yoğunluğun sabit olduğu bir bölge olarak bilerek seçmişti. Bu seçim, yoğunluğun Londra'nın başka bölgelerinde aynı olmadığını da ima eder: ızgaranın ölçeği ve yeri değişince sorulan soru da değişir.

Rastlantı uyumu bir sınamadan geçmek de gerçek bir etkinin yokluğunu garanti etmez. Etki küçükse ya da veri azsa, sınama onu fark edemeyebilir. Kanser kümesi soruşturmalarının çoğunun neden bulamaması, bir kısmının rastlantı olmasından, bir kısmının da yöntemlerin zayıf kalmasından gelebilir; Goodman ve arkadaşları da yöntemin yetersizliğini vurgular.

Kümeyi gördükten sonra sınamak da ayrı bir tuzaktır. Bir haritada önce yığılmayı fark edip sonra o yığılmanın etrafına bir sınır çizersen, hemen her rastgele haritada "anlamlı" bir küme bulursun. Sınırı önceden, veriye bakmadan belirlemek, rastlantıyı nedenden ayırmanın en temel koşuludur. Clarke'ın kareleri, bombaların nereye düştüğünden bağımsız olarak çizilmiş bir ızgaraydı.

Yaygın yanılgılar

Sayılarla

Clarke'ın tablosunu biraz açalım. 576 kareye 537 bomba düşmüş; kare başına ortalama 0,93 bomba. Bombalar tam düzgün dağılsaydı, karelerin büyük çoğunluğuna birer bomba düşer, hemen hiçbir kare boş kalmazdı. Poisson ise karelerin yaklaşık 227'sinin, yani yüzde 39'unun boş kalmasını öngörür. Gözlenen 229'du.

Aynı dağılım, dört ya da daha fazla bomba alan karelerin sayısını da öngörür: yaklaşık 8,7 kare, yani karelerin yüzde 1,5'i. Gözlenen 8'di. Bu birkaç karede yaşayan biri için, mahallesine dört bomba düşmesi bir hedef alınmış olmanın açık işareti gibi görünürdü. Oysa 576 karelik bir ızgarada sekiz kadar böyle kare, rastlantının kendiliğinden ürettiği bir şeydir.

Şimdi Melike Nine'nin büfesi. İlçede on büfe olsun ve büyük ikramiye iki yılda iki kez çıksın. Bütün büfeler eşit bilet satıyorsa, iki ikramiyenin aynı büfeden çıkma olasılığı yüzde 10'dur. Ama çarşıdaki büfe biletlerin yüzde 40'ını satıyorsa ve kalan dokuz büfe kalan payı eşit paylaşıyorsa, iki ikramiyenin aynı büfeden çıkma olasılığı yüzde 20'ye, ikisinin de çarşıdaki büfeden çıkma olasılığı yüzde 16'ya çıkar. Bu büfe sayıları ve payları varsayımsaldır; hesap, iki çekilişin birbirinden bağımsız olduğu varsayımına dayanır.

Herkes için aynı mı?

Kümelenme yanılsamasının bedelini en çok kümenin içinde kalanlar öder. Bir mahallede birkaç kanser vakası art arda görüldüğünde, o mahallede yaşayanlar için bu bir istatistik sorusu değildir; bir kaygı, bazen bir yastır. Rastlantı açıklaması onlara soğuk, hatta küçümseyici gelebilir. Oysa doğru açıklama rastlantı olsa bile, ona ulaşmak için yapılan sınama onların kaygısını ciddiye alan bir sınamadır.

Ters yönde, gerçek bir nedeni olan kümelerin üstünün "rastlantı" diye kapatılması da en çok güçsüz toplulukları etkiler. Bir fabrikanın ya da bir atık sahasının yakınında yaşayanların kaygısı, sınamadan önce reddedilirse, gerçek bir tehlike gözden kaçabilir. Bu yüzden kümeyi ne hemen bir nedene bağlamak ne de hemen rastlantı saymak doğrudur; önce karşılaştırma ölçütü sorulur.

Kendi hayatında

Kümeler en çok zamanda görünür. "Kötü şeyler üçer gelir" sözü bunun bir ifadesidir: arızalar, hastalıklar, kötü haberler takvimde düzgün dağılmaz, bazı haftalara yığılır. Rıza Usta'nın defterindeki üç arıza da böyle olabilir. Yılda kırk kadar arıza gören bir atölyede, arızalar birbirinden bağımsız olsa bile, üç ya da daha fazla arızanın aynı haftaya düşmesi yılda iki kez kadar beklenir. Soruşturma açmadan önce sorulacak soru, bu yığılmanın rastlantının sıradan payından fazla olup olmadığıdır.

Kümeyi gördükten sonra sınır çizdiysen, önümüzdeki üç ay için sınırı şimdiden belirle ve sayımı o sınırla yap. Yığılma yeni sayımda da sürerse, nedenini aramak için sağlam bir sebebin olur. Sürmezse, büyük ihtimalle rastlantının kümesini görmüştün.

Kapanış

1. Rastlantı düzgün yayılmaz; bağımsız olaylar kendiliğinden boşluklar ve yığılmalar üretir, sezgimiz ise bu yığılmaları bir nedenin işareti sayar.
2. Clarke, Londra'ya düşen 537 uçan bombanın 576 kareye dağılımının Poisson dağılımına çok yakın uyduğunu gösterdi; dört bomba alan kareler bile rastlantının öngördüğü sayıdaydı.
3. Bir kümeyi rastlantıdan ayırmak için karşılaştırma ölçütü ve önceden çizilmiş bir sınır gerekir; neden bulunamaması kümenin rastlantı olduğunu kanıtlamaz, kümenin görülmesi de bir nedenin varlığını kanıtlamaz.

Beş soru

1. Melike Nine'nin büfesine "şanslı" demeden önce hangi bilgiyi öğrenmek gerekir?
2. Clarke'ın verisinde bombalar düzgün dağılsaydı tablo nasıl görünürdü, gerçek tablo neden farklıydı?
3. Clarke'ın sonucu bombaların nişan alınmadan atıldığını mı gösterir? Alanın seçimi bu soruyu nasıl etkiler?
4. Kanser kümesi soruşturmalarının çoğunun neden bulamaması neden kümelerin hepsinin rastlantı olduğunu kanıtlamaz?
5. Kümeyi gördükten sonra sınırını çizmek neden yanıltıcıdır?

Yanıtlar

Büfenin ilçedeki biletlerin ne kadarını sattığını öğrenmek gerekir. Çok bilet satan bir büfeden ikramiyenin sık çıkması beklenir; büfeyi şanslı saymak için, ikramiyelerin sattığı bilet payından belirgin biçimde fazla olması gerekir.

Bombalar düzgün dağılsaydı, karelerin büyük çoğunluğu birer bomba alır ve neredeyse hiç boş kare kalmazdı. Gerçekte bombalar birbirinden bağımsız düştüğü için 229 kare boş kaldı, birkaç kare dört ya da daha fazla bomba aldı; bu, Poisson'un öngördüğü rastlantı tablosuydu.

Hayır. Clarke, ortalama yoğunluğun sabit olduğu bir alanı bilerek seçti; bu alanın içinde bombalar rastgele dağılmıştı. Sonuç yalnız o alanın içindeki dağılım hakkındadır; bombaların şehrin hangi bölgelerine daha yoğun düştüğü, daha büyük ölçekte sorulması gereken ayrı bir sorudur.

Soruşturmalar kamuya açık raporlara, sınırlı verilere ve yazarların da yetersiz bulduğu yöntemlere dayanıyordu. Neden bulunamaması, bir kısmının rastlantı olmasından da, gerçek nedenlerin bu yöntemlerle yakalanamamasından da gelebilir.

Rastgele bir haritada hemen her zaman bir yığılma bulunur. Önce yığılmayı görüp sınırı onun etrafına çizersen, rastlantının ürettiği bir kümeyi anlamlı gösterecek biçimde seçmiş olursun. Sınırı veriye bakmadan önce belirlemek, bu seçimin etkisini ortadan kaldırır.

Sonraki derse köprü

Akşam Ufuk arıyor, sesi heyecanlı: Berlin'deki bir konferansta, lise sıra arkadaşıyla aynı kahve kuyruğunda karşılaşmış. "Milyonda bir ihtimal," diyor. "Bu kadar tesadüf olur mu?" Bu tür "inanılmaz" rastlantıların aslında ne kadar sık beklenmesi gerektiğini 3.6, Tesadüf bu kadar mı olur? dersinde, doğum günü problemi ve çok büyük sayılar yasasıyla hesaplayacağız.