Ne kadarını riske atmalı?

Bir an

Cumartesi akşamı, Aydoğdu'ların evi. Yemekten sonra Ufuk dizüstü bilgisayarını sehpaya koyuyor. Ekranda kendi yazdığı küçük bir oyun var: hileli bir para, yüzde 60 ihtimalle yazı geliyor, yüzde 40 ihtimalle tura. Herkese 100 lira veriyor, gerçek değil, ekranda. Her atışta istediğin kadarını istediğin tarafa koyuyorsun; kazanırsan koyduğun kadar kazanıyorsun, kaybedersen koyduğun gidiyor.

Hüseyin Bey ilk atışta yüzüne bakmadan hepsini yazıya basıyor. Yazı geliyor, 200 lira. İkinci atışta yine hepsini koyuyor, yine yazı, 400. Üçüncüde tura geliyor ve Hüseyin Bey'in ekranında sıfır yazıyor. "Bu para hileli," diyor gülerek, "ama ters tarafa."

Selin her atışta 10 lira koyuyor, hep yazıya. Yirmi atış sonra 140 liraya çıkmış. Ufuk ikisine de bakıyor: "Babam üç atışta battı, Selin yirmi atışta kırk lira kazandı. İkisi de yanlış oynadı. Doğrusu hangisi biliyor musunuz?"

Soru

Her atışta ortalamada kazandıran bir oyunda servetinin ne kadarını ortaya koymalısın? Hepsini koymak neden batırır, çok azını koymak neden boşa harcar?

Nasıl işler

2.1'in ölçüsüyle Ufuk'un oyunu cömerttir: her atışta koyduğun her lira, ortalamada 20 kuruş kazandırır. Koyduğun tutar büyüdükçe beklenen kazanç da büyür; bu yüzden beklenen değeri en büyük kılan hamle, her seferinde hepsini koymaktır. Hüseyin Bey tam bunu yaptı.

2.3'te Mehmet Usta'nın peçetesinde gördüğümüz sorun burada da çalışıyor. Hepsini koyan oyuncu, tek bir tura ile sıfıra iner ve sıfırdan oynamaya devam edemez. Her atışta yüzde 40 ihtimalle bu olduğu için, yeterince uzun oynayan hemen kesinlikle batar. Beklenen değer, kazanan birkaç şanslı yörüngenin devasa servetinden gelir; tipik oyuncu ise parasız kalır.

Öbür uçta Selin var. Sabit 10 lira koymak onu batırmaz, ama servetinin büyümesine ayak uyduramaz: 500 liraya çıktığında da 10 lira koyar ve fırsatın büyük kısmını kaçırır. Aradığımız şey, her atışta servetin belli bir yüzdesini koyan ve böylece hem batmayan hem de büyüdükçe daha büyük oynayan bir kural.

John Kelly 1956'da bu soruyu, bir telgraf hattından sonuçları herkesten önce öğrenen ama hattı gürültülü olduğu için yanılabilen bir bahisçi üzerinden sordu. Kelly, servetin uzun dönemde büyüme hızını en yükseğe çıkaran oranı aradı.

Ufuk'un oyununda bu fark 0,6 eksi 0,4, yani yüzde 20'dir. İlk atışta 100 liranın 20'si konur. Kazanılırsa 120 liranın 20'si, yani 24 lira; kaybedilirse 80 liranın 20'si, yani 16 lira. Oran sabittir, tutar servetle birlikte değişir.

Ödeme eşit değilse formül genişler: kazanınca koyduğunun b katını alıyorsan, Kelly oranı kazanma olasılığı eksi kaybetme olasılığının b'ye bölümüdür. Bu ders boyunca eşit ödemeli durumda kalacağız.

Kelly oranının ilginç bir yanı, ondan iki yöne sapmanın bedelinin eşit olmamasıdır. Yarısını oynamak büyümenin dörtte üçünü korur; iki katını oynamak büyümeyi neredeyse sıfıra indirir. Gerçek hayatta oran hiç tam bilinmediği için birçok oyuncu bilerek daha azını oynar.

Kanıt

Kelly'nin sonucu bir teorem olduğu için onu sınayacak deney, insanların ona uygun oynayıp oynamadığını gösterebilir, teoremin kendisini yalanlayamaz. Böyle bir deney 2016'da yapıldı.

Nerede çöker

Kelly ölçütünün en zayıf halkası ona girilen sayıdır. Ufuk'un oyununda olasılık ekranda yazıyor; hayatta hiçbir yerde yazmaz. Bir işin, bir yatırımın, bir ihalenin kazanma olasılığını tahmin ettiğimizde, 1.5'te gördüğümüz aşırı güven devreye girer. Avantajını olduğundan büyük tahmin eden, Kelly oranını olduğundan büyük hesaplar; ve iki kat fazla oynamanın büyümeyi sıfıra indirdiğini gördük. Gerçek avantajı yarısı olan birine "tam Kelly" oynatmak, onu fiilen iki katını oynatmaktır.

Hedefin kendisi de sorgulanabilir. Kelly, servetin uzun dönemde en hızlı büyüdüğü oranı verir; bunun herkesin hedefi olması gerekmez. Tam Kelly ile oynayan biri, yolda servetinin büyük bir kısmını geçici olarak kaybettiği dönemler yaşayabilir. Paul Samuelson 1979'da Journal of Banking & Finance'ta yayımlanan kısa makalesinin başlığına bile bu itirazı koydu: yıllar uzun olsa da servetin logaritmasının ortalamasını en büyüğe çıkarmayı hedeflememeliyiz. Emekliliğine beş yıl kalmış biri için uzun dönemli büyüme hızı, yarı yolda yarı servetini kaybetmemekten daha az önemlidir.

Hayattaki bahisler ayrıca bağımsız ve tekrarlanan değildir. Bir girişime ya da bir eve konan para bir kez konur, sonucu yıllar sonra belli olur ve çoğu zaman öbür kararlarla birlikte hareket eder. Kelly formülü böyle bir kararda bir sayı üretir, ama o sayıya teoremin güvencesi eşlik etmez.

Yaygın yanılgılar

Sayılarla

Ufuk'un oyununda on atışı düşünelim ve bunların tam beklenen gibi gittiğini, altı yazı ile dört tura geldiğini varsayalım. Sıra fark etmez, çünkü her atış serveti bir çarpanla değiştirir ve çarpımın sırası sonucu değiştirmez. Herkes 100 lirayla başlıyor ve hep yazıya oynuyor.

Yüzde 10 koyan, kazandığı her atışta serveti 1,1'le, kaybettiğinde 0,9'la çarpar. On atış sonunda yaklaşık 116 lirası olur. Yüzde 20, yani Kelly oranı koyan, 1,2 ve 0,8'le çarpar ve 122 liraya çıkar. Yüzde 40 koyan, 1,4 ve 0,6'yla çarpar ve 98 liraya iner: altı yazıya rağmen başladığı yerin altındadır. Hepsini koyan ilk turada sıfırlanır.

Bu hesabı yüz atışa uzatınca fark açılır. Tipik bir yüz atışta, altmış yazı ve kırk turada, Kelly oyuncusunun 100 lirası yaklaşık 750 liraya, yüzde 10 oynayanınki yaklaşık 450 liraya çıkar, yüzde 40 oynayanınki yaklaşık 78 liraya düşer. Yarım Kelly, Kelly'nin büyümesinin kabaca dörtte üçünü yarı riskle sağlar; iki kat Kelly, büyümenin tamamını kaybeder. Bu tablo, kazanma olasılığının tam yüzde 60 olduğu varsayımıyla, çarpanların logaritmasından tarafımızca hesaplandı.

Haghani ve Dewey'in sayıları da burada durmalı. Katılımcıların ortalama bahsi servetlerinin yüzde 15'iydi, yani ortalamada Kelly'nin altındaydılar. Batanların hikâyesini ara sıra yapılan tek büyük bahis yazdı. Ödenen ortalama para 91 dolardı; herkes iyi oynasaydı yazarlar kişi başı 250 dolar ödeyecekti.

Herkes için aynı mı?

Kelly oranı servetin kendisinden bağımsızdır: zengin de yoksul da aynı oyunda servetinin yüzde 20'sini koyar. Ama "servet" dediğimiz şeyin ne olduğu kişiden kişiye çok değişir.

Ufuk için ekrandaki 100 lira oyun parasıdır; kaybetse hayatı değişmez. Mehmet Usta'nın kasasındaki 100 bin lira ise dört çalışanın maaşı ve atölyenin kirasıdır. Usta'nın "bahis için ayırdığı servet", kasasının tamamı olmamalıdır; kalan hayatını taşıyacak kısım baştan masadan kaldırılmalıdır. Kelly oranını hangi tutara uyguladığın, oranın kendisinden daha büyük bir karardır.

Olasılığı tahmin etme becerisi de eşit dağılmaz. Bir alanda yıllarını geçirmiş biri avantajını daha isabetli tahmin eder; acemi biri ise tahminine güvenmek için daha az sebebe sahiptir. Bu yüzden aynı formül, acemi için daha küçük bir kesirle oynamak demektir.

Kendi hayatında

Kelly ölçütünü hayata uygulamanın en dürüst yolu, ondan bir sınır çıkarmaktır. Diyelim ki küçük bir ikinci el işi yapıyorsun: bir parti mal alıyorsun, yüzde 70 ihtimalle yüzde 50 kârla satıyorsun, yüzde 30 ihtimalle elinde kalıyor ve parasının tamamı gidiyor. Ödeme oranı 0,5'tir. Formülle Kelly oranı 0,7 eksi 0,3'ün 0,5'e bölümü, yani yüzde 10'dur: bu işe ayırdığın paranın en fazla yüzde 10'unu tek bir partiye koymalısın. Şimdi satış ihtimalini yüzde 65'e indir. Kelly oranı eksiye düşer; bu fiyatla bu mal alınmamalıdır. Beş puanlık bir tahmin hatası, kararı "küçük oyna"dan "hiç oynama"ya taşıdı.

Gerçekte koyduğun oran ikinci hesabın üstündeyse, tahminin biraz iyimser çıktığında oyunu büyütmüyor, servetini eritiyorsun demektir. Oranı ikinci hesabın, hatta onun yarısının altına çekmek, Kelly'nin acemiye verdiği asıl öğüttür.

Kapanış

1. Avantajı olan tekrarlanan bir bahiste her seferinde hepsini koymak beklenen kazancı en büyük yapar ama uzun dönemde hemen kesinlikle batırır; sabit küçük bir tutar ise batırmaz ama servetin büyümesine ayak uyduramaz.
2. Kelly, servetin büyüme hızını en yükseğe çıkaran oranın eşit ödemede kazanma ile kaybetme olasılığı arasındaki fark olduğunu gösterdi; bu oranın iki katını oynamak büyümeyi neredeyse sıfıra indirir, yarısını oynamak büyümenin kabaca dörtte üçünü korur.
3. Gerçek hayatta olasılık bilinmez ve çoğu zaman olduğundan büyük tahmin edilir; bu yüzden Kelly bir hedef sayıdan çok bir tavandır, ve oran ancak kalan hayatı taşımayan paraya uygulanmalıdır.

Beş soru

1. Ufuk'un oyununda Hüseyin Bey neden beklenen değeri en büyük yapan hamleyi seçtiği hâlde battı?
2. Selin'in sabit 10 lira stratejisi neden Kelly oranından daha kötüdür, hangi anlamda daha iyidir?
3. Kazanma olasılığı yüzde 55 olan eşit ödemeli bir bahiste Kelly oranı nedir?
4. Haghani ve Dewey'in katılımcıları ortalamada Kelly'nin altında oynadıkları hâlde neden çoğu kötü sonuç aldı?
5. Avantajını iki katı büyük tahmin eden biri tam Kelly oynarsa ne olur, ve kesirli Kelly bu riske nasıl bir cevap verir?

Yanıtlar

Hüseyin Bey'in her seferinde hepsini koyması beklenen değeri gerçekten en büyük yapar, ama bu beklenen değer, art arda yazı gelen çok küçük bir ihtimalin büyük servetinden gelir. Her atışta yüzde 40 ihtimalle sıfıra iner ve sıfırdan geri dönüş yoktur; tek bir tura onu oyundan çıkardı.

Selin batmaz, çünkü 10 lira servetinin küçük bir parçasıdır. Ama serveti büyüdükçe de 10 lira koyar; servetle orantılı büyüyen bir bahis koymadığı için büyümesi Kelly oyuncusunun çok gerisinde kalır. Batmama güvencesi onun güçlü yanı, fırsatı kaçırması zayıf yanıdır.

Yüzde 55'lik bahiste Kelly oranı 0,55 eksi 0,45, yani yüzde 10'dur. Avantaj küçüldükçe koyulması gereken oran da küçülür.

Katılımcıların ortalama bahsi düşüktü, ama dağılımı dengesizdi: birçoğu ara sıra servetinin tamamını ya da büyük kısmını tek atışa koydu ve bazıları turaya oynadı. Kelly hesabında tek bir aşırı bahis, birçok küçük ve temkinli bahsin kazandırdığını silebilir.

Avantajını iki katı büyük tahmin eden biri, hesapladığı oranın gerçek Kelly oranının iki katı olduğunu bilmeden oynar ve büyümesi neredeyse sıfıra iner. Kesirli Kelly, örneğin hesaplanan oranın yarısını oynamak, bu durumda kişiyi gerçek Kelly oranına yaklaştırır; tahmin doğru çıkarsa da büyümenin büyük kısmı korunur.

Sonraki derse köprü

Hüseyin Bey üç atışta battıktan sonra bir tur daha istedi ve bu kez temkinli oynayıp ilk beş atışta beş yazı tuttu. Sonraki beş atışta sonuç sıradanlaştı. Bunun sebebi Hüseyin Bey'in "elinin soğuması" mı, yoksa uç bir başlangıcın ardından sonuçların kendiliğinden ortalamaya yaklaşması mı? 3.1, Ortalamaya dönüş dersinde Galton'un bu eğilimi nasıl fark ettiğini ve bir başarıdan sonra gelen düşüşü neden yanlış okuduğumuzu ele alıyor.