Sigorta neden akıllıca?

Bir an

Pazartesi sabahı, Hüseyin Bey'in Odunpazarı'ndaki dükkânı. Saniye Hanım tezgâhın ucunda dükkânın yangın ve hırsızlık sigortasının yenileme mektubunu okuyor. Prim geçen yıla göre artmış. Hüseyin Bey söyleniyor: "Otuz yıldır bu dükkânda tek bir kıvılcım çıkmadı. Her yıl bu parayı veriyoruz, hiçbir şey almıyoruz. Bu sigortacıların kazandığı para bizim kaybımız."

Tam o sırada bir müşteri matkap alıyor. Tezgâhtaki sistem, kasada bir soru çıkarıyor: iki yıllık uzatılmış garanti ister misiniz? Müşteri tereddüt ediyor, Hüseyin Bey alışkanlıkla "alın, içiniz rahat eder" diyor. Müşteri garantiyi de ödüyor ve gidiyor.

Saniye Hanım mektubu katlıyor ve kocasına bakıyor. "Hüseyin, az önce yaptığına bak. Kendi dükkânının sigortasına 'boşa para' diyorsun, ama müşteriye matkabın garantisini sattın. Hangisi gerçekten boşa para, biliyor musun?"

Soru

Ortalamada para kaybettiren bir sigorta ne zaman akıllıca bir karardır, ne zaman yalnız huzur için ödenen pahalı bir bedeldir?

Nasıl işler

Sigortacı, aldığı primlerle ödediği tazminatlar ve masrafları arasındaki farktan kazanır. Bu yüzden ortalamada, sigortalının ödediği prim, alacağı tazminatın beklenen değerinden yüksektir. 2.1'in diliyle: sigortanın beklenen değeri, sigortalı için eksidir. Hüseyin Bey'in "bizim kaybımız" demesi bu açıdan yanlış değil.

Ama Mehmet Usta'nın peçetesini hatırla: ortalama, ancak oyunda kalana kavuşur. Dükkânın yanması Hüseyin Bey için sıradan bir kayıp olmaz; otuz yıllık işin sonu olabilir. Sigorta bu yıkım riskini bir başkasına, kayıpları birçok sigortalı arasında yayabilen birine devreder. Bunun için ödenen bedel, beklenen değerin biraz üstündedir; karşılığında alınan şey, oyunda kalma güvencesidir.

Bu düşünceyi ilk kez açıkça kuran Daniel Bernoulli'ydi. Ona göre bir miktar paranın değeri herkes için aynı değildir: yoksul biri için bin lira, zengin biri için bin liradan çok daha değerlidir.

Bernoulli'nin önerisi, kararların paranın kendisiyle değil, paranın kişiye sağladığı yararla tartılmasıdır.

Saniye Hanım'ın sorusu tam da bu ayrıma dayanıyor. Dükkân sigortası, kaldırılamayacak bir kaybı taşıyor. Matkabın garantisi ise, olsa olsa birkaç yüz liralık bir tamir masrafını; müşterinin bu masrafı kendi cebinden karşılaması onu yıkmaz.

Kanıt

Sigortanın neden akıllıca olabileceğini, 1738'de Daniel Bernoulli bir tüccarın hikâyesiyle hesapladı.

Bernoulli'nin tüccarı Cajus, Amsterdam'da aldığı ve Petersburg'da on bin rubleye satabileceği malları gemiyle getirtmektedir. O mevsimde Amsterdam'dan Petersburg'a giden yüz gemiden genellikle beşinin battığını bilir. Sigortacı sekiz yüz rubleden aşağı prim istemez. Beklenen kayıp yalnız beş yüz rubledir; yani sigorta, beklenen değer olarak pahalıdır. Bernoulli sorar: Cajus'un, mallarının dışında ne kadar serveti olmalı ki sigortayı yaptırmaması akıllıca olsun?

Bernoulli buradan bir sonuç çıkarır: sigorta her iki tarafa birden büyük yarar sağlayabilir. Yoksul tüccar yıkım riskinden kurtulur; zengin sigortacı ise ortalamada kazanır. Sigortanın bir tarafın kaybı öbürünün kazancı olan bir oyun olmadığı, beklenen fayda hesabıyla görünür.

Ama insanların sigortayı her zaman bu mantıkla aldığı söylenemez.

Nerede çöker

Bernoulli'nin hesabı, faydanın servetle belirli bir biçimde, logaritmik olarak, arttığını varsayar. Bu, bir gözlemden çok bir varsayımdır ve farklı bir biçim farklı eşikler verir. Hesabın mantığı, yani yoksul için sigortanın daha değerli olduğu, varsayımdan bağımsızdır; ama kesin eşik sayıları değildir.

Sigortanın akıllıca olduğu yer, kaybın büyük ve sindirilemez olduğu yerdir. Küçük ve kolayca karşılanabilen kayıpları sigortalamak, beklenen değeri eksi bir bahsi, karşılığında kayda değer bir koruma almadan oynamaktır. Matkabın garantisi, telefonun ekran sigortası, küçük hasarlar için düşük muafiyet bu türdendir. Sydnor'un müşterileri tam da bu alanda pahalı korumayı seçiyordu. Kahneman ve Tversky'nin 1979 makalesinin özeti de düşük olasılıklara fazla ağırlık verilmesinin hem sigortayı hem kumarı çekici kılabileceğini not eder.

Ama bu yargıda da dikkat gerekir. De Meza ve Reyniers'in vurguladığı gibi, kaybın kendisi küçük olsa bile o anda parayı bulmak zor olabilir. Ay sonunda bozulan bir buzdolabını hemen değiştiremeyen biri için küçük bir kayıp, küçük kalmaz. Bir sigortanın "gereksiz" olup olmadığı, yalnız kaybın büyüklüğüne değil, kişinin o anki nakit durumuna da bağlıdır.

Yaygın yanılgılar

Sayılarla

Önce Bernoulli'nin hesabı. Cajus'un mallarının değeri 10 bin ruble, batma ihtimali yüzde 5. Beklenen kayıp 500 ruble, prim 800 ruble; sigorta beklenen değer olarak 300 ruble pahalıdır. Bernoulli'nin logaritmik fayda varsayımıyla, Cajus'un malları dışındaki serveti yaklaşık 5.043 rubleden azsa sigorta onun için akıllıcadır. Sigortayı 800 rubleye üstlenenin ise en az yaklaşık 14.243 ruble serveti olmalıdır. Prim 600 rubleye düşseydi, Cajus için eşik yaklaşık 20.478 rubleye, sigortacı için 29.878 rubleye çıkardı. Bu eşikleri Bernoulli'nin varsayımıyla yeniden hesapladık; sayılar onun verdikleriyle örtüşüyor.

Şimdi Hüseyin Bey'in iki sigortası, varsayımsal sayılarla. Dükkânın yılda beş yüzde bir ihtimalle yanacağını ve yanarsa iki milyon liralık bir kayıp doğacağını düşünelim. Beklenen yıllık kayıp 4 bin liradır. Prim yılda 6 bin lira ise, sigorta beklenen değer olarak 2 bin lira pahalıdır; ama iki milyonluk bir kaybı, otuz yıllık bir işi bitirebilecek bir kaybı taşır.

Matkabın garantisini düşünelim: matkap 3 bin lira, iki yıl içinde arızalanma ihtimali yüzde 10, arızalanırsa tamiri bin lira. Beklenen tamir masrafı 100 liradır. Garanti 450 liraya satılıyorsa, beklenen değer olarak 350 lira pahalıdır, ve karşılığında taşınan en kötü sonuç, bin liralık bir tamirdir.

Herkes için aynı mı?

Hayır, ve Bernoulli'nin hesabının özü tam olarak budur: aynı sigorta, farklı servetlerde farklı kararlar gerektirir.

Cajus'un serveti eşiğin altındaysa sigorta yaptırmalı, üstündeyse yaptırmayabilir. Aynı mantık bugün de geçerlidir: dükkânı, evi ya da sağlığı için sigorta, birikimi az olan için çok daha değerlidir, çünkü bir kayıp onu çok daha derinden sarsar. Zengin biri birçok küçük ve hatta orta büyüklükte riski kendi taşıyabilir ve sigortaya ödeyeceği primleri biriktirmeyi tercih edebilir.

Ama sigortaya erişim de eşit dağılmaz. Sigortaya en çok ihtiyacı olan, yani birikimi en az olan, primi ödemekte en çok zorlanan kişidir. Ayrıca kayıt dışı çalışan biri, bir işletme sigortası ya da düzenli bir sağlık güvencesi gibi korumalara hiç ulaşamayabilir. Bernoulli'nin hesabı sigortanın kime en çok yaradığını söyler; o kişinin sigortaya ulaşıp ulaşamadığını söylemez.

Kendi hayatında

Sigortalarını ve garantilerini iki gruba ayır.

İkinci sütun, Saniye Hanım'ın "gerçekten boşa para" dediği yerin ta kendisi olabilir. Listeni karar defterine geçir ve bir sonraki yenilemede hangilerini bırakabileceğini not et. Nakit durumunun sıkışık olduğu dönemlerde bu yargının değişebileceğini de unutma.

Kapanış

1. Sigortanın beklenen değeri sigortalı için eksidir, ama yıkım riskini taşıdığı için beklenen faydayı artırabilir: Bernoulli'nin hesabında servetin değeri, kişiye sağladığı yarara göre biçilir ve bu yarar servet arttıkça azalır.
2. Bernoulli'nin tüccarı Cajus, mallarının dışında yaklaşık 5.043 rubleden az serveti varsa sekiz yüz rublelik sigortayı yaptırmalıydı; sigorta, yoksul tarafı yıkımdan korurken zengin tarafa ortalamada kazandırarak iki tarafa birden yarar sağlayabilir.
3. Küçük ve kolayca karşılanabilen kayıpları sigortalamak çoğu zaman pahalıdır; Sydnor'un verisinde müşterilerin çoğu yine de düşük muafiyeti seçti, ama kayıp anındaki nakit sıkıntısı bu seçimlerin bir kısmını açıklayabilir.

Beş soru

1. Hüseyin Bey'in dükkân sigortası ile müşteriye sattığı matkap garantisi arasındaki temel fark nedir?
2. Bernoulli'nin örneğinde sigorta primi neden beklenen değer olarak pahalıdır ve buna rağmen Cajus için neden akıllıca olabilir?
3. Cajus'un malları dışında 10 bin ruble serveti olsaydı, 800 rublelik sigortayı yaptırması Bernoulli'ye göre akıllıca olur muydu?
4. Sydnor'un bulgusu neden tartışmalıdır? Hangi açıklama öne sürüldü?
5. Zengin bir kişi için birçok sigortadan vazgeçmek neden mantıklı olabilir, ama aynı karar dar gelirli biri için neden riskli olabilir?

Yanıtlar

İlk soruda temel fark, karşılanan kaybın büyüklüğü ve kaldırılabilirliğidir. Dükkân sigortası, işin sonunu getirebilecek büyük ve sindirilemez bir kaybı taşır. Matkap garantisi ise müşterinin kendi cebinden kolayca karşılayabileceği küçük bir tamiri taşır. İkisinin de beklenen değeri eksidir, ama yalnız birincisi yıkıma karşı koruma sağlar.

İkinci soruda beklenen kayıp yüz gemiden beşinin batması üzerinden beş yüz rubledir, prim ise sekiz yüz ruble; yani prim beklenen kayıptan üç yüz ruble fazladır. Ama Cajus'un serveti küçükse, on bin rublelik malı kaybetmek onu çok derinden sarsar; Bernoulli'nin fayda hesabında bu yüzden sigorta onun için daha değerlidir.

Üçüncü soruda akıllıca olmazdı. Bernoulli'nin hesabına göre eşik yaklaşık 5.043 rubledir; Cajus'un serveti bunun üstünde olduğu için kaybı kendi taşıyabilir ve sigortadan vazgeçmesi daha akıllıcadır.

Dördüncü soruda müşterilerin düşük muafiyet seçimleri, standart bir modelle açıklanınca akla yatkın olmayan derecede büyük bir riskten kaçınma gerektiriyordu. De Meza ve Reyniers, kayıp anında parayı hemen bulmanın zorluğunun bu seçimleri kısmen açıklayabileceğini savundu; yani bazı müşteriler için düşük muafiyet, nakit sıkıntısına karşı bir korumaydı.

Beşinci soruda zengin biri küçük ve orta kayıpları kendi taşıyabilir, bu yüzden primleri biriktirmek ona ortalamada kazandırır. Dar gelirli biri için aynı kayıplar ciddi bir sarsıntı olabilir; sigortadan vazgeçmek, onu tam da kaldıramayacağı riskle baş başa bırakır.

Sonraki derse köprü

Bernoulli'nin sigortacısı, Cajus'un riskini üstlenirken servetinin ne kadarını tehlikeye attığını hesaplıyordu. Peki bir fırsatın beklenen değeri artıysa, servetinin ne kadarını ona koymalısın: hepsini mi, yarısını mı, küçük bir parçasını mı? 2.6, ne kadarını riske atmalı sorusunu Kelly ölçütüyle açıyor.