Yıkım riski

Bir an

Perşembe öğle arası, fabrikanın yemekhanesi. Selin'in karşısında fabrikaya fason parça işleyen küçük bir atölyenin sahibi Mehmet Usta oturuyor. Atölyesinde üç tezgâh, dört çalışan var. Kasasında yaklaşık yüz bin lira nakit duruyor ve bu parayla ne yapacağını soruyor.

"Duydum ki siz otomotiv ihalelerine giriyorsunuz," diyor. "Ben de gireyim diyorum. Her ihalenin hazırlığı yirmi bin, kazanırsam altı yüz bin. Yirmide bir ihtimalle bile hesap artıya çıkıyor, Nermin Hanım öyle söyledi." Selin hesabı biliyor: beklenen değer gerçekten artı. Ama Mehmet Usta'nın kasasındaki yüz bin lira, beş ihalenin hazırlığına yetiyor.

Selin peçeteye bir sayı yazıyor: beş ihalenin beşini de kaybetme ihtimali. Mehmet Usta sayıyı görünce kaşığını bırakıyor. "Yüzde yetmiş yedi mi? Yani büyük ihtimalle büyük ikramiyeyi hiç göremeden atölyeyi kapatırım."

Soru

Ortalamada kazandıran bir seçenek, kaybedince oyundan çıkarıyorsa, neden akıllıca olmayabilir, ve ortalamaya güvenmek ne zaman yanıltır?

Nasıl işler

2.1'de beklenen değerin, bir kararın çok kez tekrarlanması hâlinde ortalamada ne getireceğini söylediğini gördük. Bu ortalamanın gerçekleşmesi için tekrar etmek gerekir. Selin'in fabrikası yılda birçok teklif verebilir, kayıplarını sindirir ve uzun vadede ortalamaya kavuşur. Mehmet Usta ise beş kaybettikten sonra altıncıya giremez. Onun için ihaleler, kasa boşalana kadar süren kısa bir yoldur; uzun dizi ona hiç gelmez.

Yıkımın bir başka biçimi daha var ve o, ilk bakışta hiç tehlikeli görünmeyen yerlerde saklanır. Bir oyun düşün: elindeki paranın tamamını her hafta bir yazı turaya koyuyorsun. Yazı gelirse paran yarı yarıya artıyor, tura gelirse yüzde kırkı gidiyor. Bir hafta için ortalama sonuç olumludur: yüz liralık paranın beklenen değeri yüz beş liraya çıkar. Ama oyunu üst üste oynayan biri için tablo tersine döner. Bir yazı ve bir tura sonrasında paran yüz liradan yüz elliye, sonra doksana iner. Her iki haftada bir, ortalama olarak, paranın yüzde onunu kaybedersin.

Bu çelişki, iki farklı ortalamanın karıştırılmasından doğar. Çok sayıda insan aynı haftada bu oyunu bir kez oynarsa bazıları kazanır, bazıları kaybeder ve ortalamaları artıdadır. Tek bir insan aynı oyunu hafta hafta oynarsa ise parası zamanla erir.

İki ortalama birbirine eşitse, yani bir durumda tek bir kişinin uzun yolu topluluğun ortalamasını yansıtıyorsa, bu duruma ergodik denir. Kazancın her seferinde birikime eklendiği ve bir önceki sonucun bir sonrakinin büyüklüğünü belirlediği durumlarda, yatırımda ya da her şeyi ortaya koyduğun bir işte olduğu gibi, iki ortalama birbirinden ayrılabilir.

Kanıt

Yıkım riskinin en eski hâli, olasılık kuramının kendisi kadar eskidir: kumarbazın yıkımı problemi. Adil bir oyunda bile, sınırlı parası olan bir oyuncu, parası çok daha fazla olan bir rakibe karşı oynamaya devam ederse, er geç bütün parasını kaybeder. Klasik çözüme göre adil bir oyunda iki oyuncunun yıkıma uğrama olasılığı, rakibin servetinin toplam servete oranına eşittir.

Yıkım riskinin daha ince biçimini, yani topluluk ortalaması ile zaman ortalamasının ayrılmasını, fizikçi Ole Peters ve Murray Gell-Mann bir yazı tura oyunuyla gösterdi.

Nerede çöker

Yıkım riski düşüncesi, yıkımın gerçekten geri dönülmez olduğu yerde en güçlüdür. Bazı kayıplar oyundan çıkarmaz, yalnız geciktirir: Mehmet Usta kasasını boşaltsa bile bir yıl sonra yeniden birikim yapıp başka ihalelere girebilir. Yıkımın tanımı, "devam edemez hâle gelmek"tir ve bu sınırın nerede olduğu kişiden kişiye değişir. Sınırı yanlış yere koymak, her riski ölümcül sanıp hiçbir fırsatı değerlendirmemeye yol açabilir.

Çarpımsal oyunun dersi de koşula bağlıdır. Peters ve Gell-Mann'ın kendi gösterdiği gibi, aynı yazı tura her seferinde sabit bir tutarla, servetin tamamıyla değil, oynanırsa zaman ortalaması da artıya döner. Sorunu yaratan, her seferinde her şeyin ortaya konmasıdır. Bu yüzden çoğu zaman oyundan tamamen kaçmaya gerek yoktur; her seferinde ne kadarının ortaya konacağını ayarlamak yeter. Bu soruya 2.6'da döneceğiz.

Bir de yıkım riskini her şeyin önüne koymanın bir bedeli var. Hiç risk almamak da bir risktir: enflasyon karşısında eriyen birikim, hiç denenmemiş fırsatlar. Yıkımdan kaçınmanın anlamı, riski yıkıma götürmeyecek ölçüde tutmaktır.

Yaygın yanılgılar

Sayılarla

Önce Mehmet Usta'nın kasası. Her ihalenin kazanılma ihtimali yüzde 5 ise, kaybedilme ihtimali yüzde 95'tir. Beş ihalenin beşini birden kaybetme ihtimali, 0,95'in beşinci kuvveti, yani yaklaşık yüzde 77'dir. Mehmet Usta'nın kasası beş ihaleye yetiyorsa, her dört atölyeden üçü büyük ikramiyeyi görmeden kasasını tüketir.

Sonra çarpımsal yazı tura. Yüz liralık servet, yazıda 1,5 ile, turada 0,6 ile çarpılıyor. Bir turun beklenen değeri 1,05 kat, yani artı yüzde 5. Ama bir yazı ve bir tura sonrasında servet 1,5 çarpı 0,6, yani 0,9 kat olur: iki turda yüzde 10 kayıp, tur başına yaklaşık yüzde 5 küçülme.

On tur sonrasında servetin beklenen değeri yaklaşık 1,63 kattır; oysa beş yazı beş tura gelen tipik bir oyuncunun serveti yaklaşık 0,59 kata iner. On turun sonunda başlangıçtan fazla paraya sahip olma ihtimali yalnız yüzde 38'dir. Yüz tur sonrasında beklenen değer 131 katı aşarken, tipik oyuncunun serveti başlangıcın yaklaşık binde 5'ine düşer ve başlangıçtan fazla paraya sahip olma ihtimali yüzde 14'e iner. Beklenen değeri yukarı çeken, çok az sayıda çok şanslı oyuncunun dev kazançlarıdır. Hesabı biz yaptık; turların birbirinden bağımsız olduğunu varsaydık.

Herkes için aynı mı?

Hayır. Yıkım riskinin ne kadar büyük olduğu, kişinin oyunda ne kadar uzun kalabileceğine bağlıdır ve bu servetle, güvenceyle, destek ağıyla birlikte gelir.

Fabrika ile Mehmet Usta'nın atölyesi aynı ihaleye girdiğinde, aynı olasılıklarla ve aynı beklenen değerle karşılaşırlar. Ama fabrika kasasını beş ihale sonra tüketmez; Mehmet Usta tüketir. Aynı fırsat, büyük oyuncu için akıllıca, küçük oyuncu için tehlikeli olabilir. Bu fark, yeteneğin ya da cesaretin değil, başlangıç servetinin sonucudur.

Kişisel hayatta da aynı ayrım geçerlidir. Ailesinden destek alabilecek biri bir girişimde başarısız olduğunda yeniden deneyebilir; böyle bir desteği olmayan biri için ilk başarısızlık, yıllarca sürecek bir borç demek olabilir. Bu yüzden "risk al" öğüdü, riski kaldırabilenler için başka, kaldıramayanlar için başka bir anlam taşır. Bir öğüt verilirken dinleyenin ne kadar uzun süre oyunda kalabileceğini sormak, adil bir öğüdün parçasıdır.

Kendi hayatında

Kendi yıkım çizgini bul. Mehmet Usta'nın çizgisi açıktı: kasası boşalırsa maaşları ödeyemez, tezgâhları satmak zorunda kalır. Senin çizgin bir para miktarı olabileceği gibi bir durum da olabilir: kiranı ödeyemez hâle gelmek, bir kredinin taksitini kaçırmak, ailenden borç istemek zorunda kalmak.

Bunu karar defterine geçir. Yıkım çizgini bir kez yazmak, sonraki kararlarda ona ne kadar yaklaştığını görmeyi kolaylaştırır.

Kapanış

1. Beklenen değer, ancak oyunda kalabilen biri için gerçekleşir; bir kayıp oyundan çıkarıyorsa, ortalamada kazandıran bir seçenek de kişiyi bitirebilir: Mehmet Usta'nın beş ihalenin beşini kaybetme ihtimali yüzde 77'dir.
2. Topluluk ortalaması ile zaman ortalaması ayrılabilir: her seferinde bütün servetle oynanan bir yazı tura oyununda beklenen değer her tur yüzde 5 büyürken, tipik bir oyuncunun serveti her tur yaklaşık yüzde 5 erir.
3. Çözüm çoğu zaman riskten tamamen kaçmak değil, yıkım çizgisine yaklaşmayacak ölçüde risk almaktır; ve yıkım çizgisi, servete ve güvenceye göre kişiden kişiye değişir.

Beş soru

1. Bir arkadaşın bütün birikimini, beklenen getirisi yüksek tek bir işe yatırmayı düşünüyor. Ona hangi soruyu sorardın?
2. Her ihalenin kazanılma ihtimali yüzde 10 ve kasası dört ihaleye yeten biri, dördünü de kaybetme ihtimaliyle karşı karşıyadır. Bu ihtimal yaklaşık kaçtır?
3. Çarpımsal yazı tura oyununda beklenen değer neden artarken tipik oyuncunun serveti azalıyor?
4. Aynı yazı tura oyunu, her hafta servetin tamamı yerine sabit bir tutarla oynansaydı ne değişirdi?
5. Peters'in ergodiklik iktisadı önerisinin hangi kısmı tartışmasız, hangi kısmı tartışmalıdır?

Yanıtlar

İlk soruya cevap olarak arkadaşına şunu sorabilirsin: bu iş başarısız olursa devam edebilir misin? Beklenen getiri yüksek olsa da, bütün birikim tek bir sonuca bağlıysa, kötü sonuç kişiyi oyundan çıkarabilir ve beklenen getirinin gerçekleşeceği uzun yola hiç ulaşılamaz.

İkinci soruda her ihaleyi kaybetme ihtimali yüzde 90'dır; dördünü birden kaybetme ihtimali 0,9'un dördüncü kuvveti, yani yaklaşık yüzde 66'dır. Bu kişinin kasası, yaklaşık üçte iki ihtimalle hiçbir şey kazanmadan tükenir.

Üçüncü soruda beklenen değeri çok az sayıda çok şanslı oyuncunun dev kazançları yukarı çeker. Tipik bir oyuncu yaklaşık eşit sayıda yazı ve tura görür ve bir yazı ile bir turanın birleşik etkisi servetin 0,9 katı, yani her iki turda yüzde 10 kayıptır.

Dördüncü soruda iki ortalama ayrılmazdı. Sabit tutarla oynanan oyun toplamsaldır; her turun beklenen kazancı servete eklenir ve uzun vadede tek bir oyuncunun ortalaması da beklenen değere yaklaşır. Sorun oyunun kendisinde değil, her seferinde her şeyin ortaya konmasındadır.

Beşinci soruda çarpımsal oyunda zaman ortalamasının beklenen değerden ayrıldığı matematiksel olarak tartışmasızdır. Tartışmalı olan, bu fikrin iktisadın yerleşik karar kuramının yerini alması gerektiği iddiasıdır; iktisatçılar bu iddiaya itiraz etti.

Sonraki derse köprü

Mehmet Usta peçetedeki yüzde yetmiş yediyi gördüğünde bir şey hissetti: olası bir kaybın, aynı büyüklükteki bir kazançtan daha ağır geldiğini. Bu his bir hesap hatası mı, yoksa bir uyarı mı? 2.4, kaybetmenin neden daha çok acıttığını ve bu sorunun etrafındaki tartışmayı konuşuyor.