Ortalaması aynı iki hayat

Bir an

Salı öğleden sonra, Nermin Hanım'ın masasında artık iki dosya var. Biri dünkü beyaz eşya ihalesi: hazırlık yirmi bin, dörtte bir ihtimalle yüz yirmi bin kâr. Öteki bu sabah geldi: büyük bir otomotiv tedarikçisinin parça ihalesi. Hazırlığı yine yirmi bin, ama kazanma ihtimali çok düşük, yirmide bir kadar. Kazanılırsa getireceği kâr ise altı yüz bin.

Selin iki dosyanın beklenen değerini hesaplıyor ve gülüyor: "İkisi de artı on bin. Matematik bize ikisinin aynı olduğunu söylüyor." Nermin Hanım başını sallamıyor. "Aynı olamaz. Birinde dört ihaleden birini alıyoruz, alışkın olduğumuz bir şey. Ötekinde yıllarca hiçbir şey almayabiliriz, sonra bir gün büyük ikramiye. Hangi yıl patron bize 'yine mi kaybettiniz' diyecek, onu düşünüyorum."

Aynı akşam satış temsilcisi Erkan da benzer bir seçimle evine gidiyor. Ona iki maaş teklifi yapılmış: biri sabit, öteki düşük sabit artı yüksek prim. Hesaplamış: iyi bir yılda prim ötekinden çok getirir, kötü bir yılda ise kira zor çıkar. Ortalamada ikisi aşağı yukarı aynı.

Soru

Beklenen değeri aynı iki seçenekten birini öbürüne yeğlemek için bir gerekçe olabilir mi, ve sonuçların ne kadar dağınık olduğu bir kararı nasıl değiştirir?

Nasıl işler

Beklenen değer bir uzun yolun ortalamasıdır. Ama iki seçeneğin ortalaması aynıysa, aralarındaki fark sonuçların ortalamanın etrafında nasıl dağıldığındadır. Beyaz eşya ihalesinde sonuçlar birbirine yakındır: ya yirmi bin kayıp ya yüz bin kazanç. Otomotiv ihalesinde ise ya yirmi bin kayıp ya beş yüz seksen bin kazanç; ikinci sonuç çok seyrek, ama çok büyüktür.

Varyans kare alınmış birimlerle ölçüldüğü için gündelik kullanımda çoğu zaman karekökü kullanılır.

Dağınıklığın neden önemli olduğunu Nermin Hanım'ın itirazı gösteriyor. Tek bir yıl içinde sonuçlar ortalamayı yaşamaz; o yılın sonucunu yaşar. Otomotiv ihalesine girmek, büyük ihtimalle birkaç yıl üst üste yalnız hazırlık parası harcamak demek. Bu yıllarda nakit azalır, ekip moral kaybeder, yönetim sorular sorar. Ortalama sonuçlar bu sıkıntılı yılları göstermez.

Erkan'ın seçimi de aynıdır. Primli maaş ortalamada sabit maaşla aynı olsa da, kötü yıllarda kirayı ödeyemeyecek kadar düşebilir. Pek çok insan, aynı ortalamada daha öngörülebilir olanı seçer; hatta biraz daha düşük bir ortalamayı, daha az dağınık olduğu için kabul eder.

Kanıt

Ortalamanın yetmediği fikrini yatırım dünyasına bir kural olarak sokan, 1952'de yayımlanan kısa bir makale oldu.

İnsanların dağınıklığı gerçekten bir bedel olarak gördüğünü deney de gösterdi.

Nerede çöker

Varyans, dağınıklığın iki yönünü birbirinden ayırmaz. Otomotiv ihalesinin varyansını büyüten şey, altı yüz binlik büyük kazanç ihtimalidir. Kimse bu kazançtan korkmaz; korkulan şey, üst üste gelen yirmi binlik kayıplardır. Varyans bu iki şeyi aynı sayıda toplar. Bu yüzden yatırım ve karar literatüründe yalnız aşağı yönlü sapmayı ya da en kötü sonucu ölçen başka risk ölçüleri de kullanılır. Bir seçeneğin "riskli" olup olmadığını sorarken, hangi yönde riskli olduğunu da sormak gerekir.

Varyans dağılımın biçimini de tam anlatmaz. İki seçeneğin hem ortalaması hem varyansı aynı olup biri seyrek ama yıkıcı bir kayıp taşıyabilir. Böyle bir seçeneği varyans gözden kaçırabilir. En kötü sonucun ne olduğunu ve onun karşılanıp karşılanamayacağını ayrıca sormak gerekir; oyundan çıkaran kayıplar bir sonraki dersin konusu.

Riskten kaçınma da tek başına bir hata ya da bir erdem değildir. Daha az dağınık seçeneği seçmek, bir miktar ortalamadan vazgeçmek pahasına huzur ve öngörülebilirlik satın almaktır. Bunun ne kadar mantıklı olduğu, kişinin kaybı kaldırma gücüne bağlıdır ve bir değer tercihidir; ders bu tercihi okura bırakır.

Yaygın yanılgılar

Sayılarla

İki ihalenin beklenen değeri aynı, artı 10 bin lira. Farkı standart sapma gösterir. Beyaz eşya ihalesinde sonuçlar ya artı 100 bin ya eksi 20 bindir; standart sapma yaklaşık 52 bin liradır. Otomotiv ihalesinde sonuçlar ya artı 580 bin ya eksi 20 bindir; standart sapma yaklaşık 131 bin liradır, yani iki buçuk katı.

Nermin Hanım'ın asıl derdi olan "kötü yıl"ı da hesaplayalım. Fabrika bir yılda bu türden dört ihaleye giriyorsa, beyaz eşya türü ihalelerde dördünü birden kaybetme ihtimali yaklaşık yüzde 32'dir, yani her üç yılın birinde hiç ihale kazanılmaz. Otomotiv türü ihalelerde ise dört ihalenin hepsini kaybetme ihtimali yaklaşık yüzde 81'dir: beş yılın dördünde hiçbir şey kazanılmaz, ancak kazanılan yıl çok büyüktür.

Ortalamalar aynı, ama yaşanacak yıllar çok farklı. Otomotiv türü ihalelerde beklenen değerin gerçekleşmesi için çok daha uzun bir süre beklemek gerekir; bu süre boyunca hazırlık bedelleri birikir. Bu hesaplar akademinin kendi hesabıdır ve her ihalenin birbirinden bağımsız olduğunu varsayar.

Herkes için aynı mı?

Hayır. Dağınıklığın ne kadar acıttığı, kişinin ya da kurumun kaybı kaldırma gücüne bağlıdır.

Erkan için primli maaşın kötü bir yılı, kirayı ödeyememek demek olabilir. Aynı primli maaş, birikimi olan ya da evde başka bir geliri olan biri için yalnız bir dalgalanmadır. İki kişi aynı ortalama ve aynı dağınıklıkla karşılaştıkları hâlde, farklı seçim yapmaları tutarsızlık değil, farklı konumların doğal sonucudur.

Kurumlarda da durum aynıdır. Büyük bir şirket otomotiv türü ihalelerin uzun kuraklıklarını taşıyabilir; küçük bir atölye taşıyamaz. Ayrıca kurum içinde dağınıklığın bedelini kimin ödediği önemlidir. Nermin Hanım'ın korktuğu şey ihalenin kendisi değil, kötü yıllarda yönetimden gelecek sorulardır. Kötü sonucun bedeli kararı verenin omzuna yükleniyorsa, karar veren ortalamaca iyi ama dağınık seçenekleri, kurum için iyi olsalar bile, reddetmeye eğilimli olur.

Kendi hayatında

Ortalaması aynı iki seçeneği dağınıklıklarıyla karşılaştır. Bir örnek: aynı işe giden iki yol düşün. Birinde yolculuk her gün kırk dakika sürüyor. Ötekinde çoğu gün otuz dakika, ama haftada bir trafik yüzünden bir buçuk saat. Ortalamaları birbirine yakın; ama ikinci yolda, önemli bir toplantının olduğu günün o bir buçuk saatlik gün olma ihtimali hep vardır.

Kararı karar defterine geçir. Burada doğru cevap yok; amaç, ortalamanın arkasındaki dağınıklığı kararın bir parçası yapmak.

Kapanış

1. Beklenen değeri aynı iki seçenek, sonuçlarının ne kadar dağıldığıyla birbirinden ayrılır; bu dağınıklık varyans ve standart sapmayla ölçülür.
2. Markowitz, yatırımcının yalnız beklenen getiriyi en çoklaştırması kuralını çeşitlendirmeyi açıklayamadığı için reddetti ve beklenen getiri ile varyansın birlikte tartılmasını önerdi; Holt ve Laury'nin deneyinde insanların çoğu gerçek parayla dağınıklıktan kaçındı.
3. Varyans yukarı ve aşağı sapmayı ayırmaz ve seyrek ama yıkıcı kayıpları gözden kaçırabilir; dağınıklığın ne kadar acıttığı da kişinin kaybı kaldırma gücüne bağlıdır.

Beş soru

1. İki iş teklifinin yıllık ortalama geliri aynı, ama biri sabit, öteki büyük ölçüde prime dayalı. Hangi bilgi kararı değiştirebilir?
2. Beyaz eşya ihalesinin standart sapması yaklaşık 52 bin, otomotiv ihalesininki yaklaşık 131 bin lira. Bu sayılar Nermin Hanım'a neyi söyler, neyi söylemez?
3. Markowitz yatırımcının yalnız beklenen getiriyi en çoklaştırması kuralını neden reddetti?
4. Holt ve Laury'nin deneyinde ödüller gerçekten ödendiğinde ve büyütüldüğünde ne oldu?
5. Varyans bir seçeneğin riskini neden tam olarak ölçmeyebilir? Bir örnek ver.

Yanıtlar

İlk soruda kararı değiştirebilecek bilgi, kötü bir yılın ne kadar kötü olabileceği ve kişinin o yılı kaldırıp kaldıramayacağıdır: birikim, başka gelir kaynakları, sabit giderler. Ortalama aynı olsa da, primin kötü yılları kişinin temel giderlerini karşılayamayacak kadar düşükse, sabit ücret daha iyi bir seçim olabilir.

İkinci soruda sayılar, otomotiv ihalesinin sonuçlarının ortalamadan çok daha fazla saptığını söyler. Ama bu sapmanın hangi yönde olduğunu söylemez: otomotiv ihalesinin yüksek standart sapması büyük ölçüde nadir ama büyük kazançtan gelir. Nermin Hanım'ın asıl bilmesi gereken, kaç yıl üst üste kayıp yaşanabileceğidir.

Üçüncü soruda Markowitz, bu kuralın hiçbir zaman çeşitlendirilmiş bir portföyün tek bir yatırımdan iyi olduğu sonucuna varmadığını, oysa çeşitlendirmenin hem gözlenen hem mantıklı bir davranış olduğunu söyledi. Çeşitlendirmeyi açıklayamayan bir kural, onun için kabul edilemezdi.

Dördüncü soruda katılımcıların riskten kaçınması keskin biçimde arttı. Aynı büyütme yalnız varsayımsal ödüllerle yapıldığında ise bu artış görülmedi; yani insanlar gerçek para söz konusu olduğunda daha temkinli davrandı.

Beşinci soruda varyans büyük kazançları ve büyük kayıpları aynı biçimde cezalandırır ve seyrek ama yıkıcı kayıpları gözden kaçırabilir. Örneğin hem ortalaması hem varyansı aynı iki seçenekten biri, küçük bir ihtimalle bütün birikimi sıfırlayan bir kayıp taşıyabilir; varyans bu ayrımı tek başına göstermez.

Sonraki derse köprü

Otomotiv ihalesinin kuraklık yıllarını büyük bir şirket taşıyabilir, küçük bir atölye taşıyamaz. Bir kayıp seni oyundan tamamen çıkarıyorsa, beklenen değer hesabı ne olur? 2.3, bir kez kaybedince geri dönülemeyen riski, yıkım riskini konuşuyor.