Beklenen değer

Bir an

Pazartesi sabahı, satış biriminin odası. Nermin Hanım'ın masasında bir ihale dosyası duruyor: büyük bir beyaz eşya üreticisi, yeni bir kompresör parçası için tedarikçi arıyor. Teklif hazırlamak kolay değil; numune üretmek, mühendislik çizimleri, test raporları. Selin hesaplamış: teklifin hazırlanması fabrikaya yaklaşık yirmi bin liraya mal olacak, kazanılırsa da ilk yılda yüz yirmi bin lira kâr getirecek.

Nermin Hanım tereddütlü. "Geçen yıl dört ihaleye girdik, birini aldık. Bu da kaybedersek yirmi bin lira çöpe gider. Kazanma ihtimalimiz düşük; bence girmeyelim." Selin bir kâğıda iki satır yazıyor. "Dörtte bir ihtimalle yüz yirmi bin, dörtte üç ihtimalle sıfır. Hazırlık her durumda yirmi bin." Altına bir sayı daha yazıyor ve kâğıdı çeviriyor: artı on bin.

Nermin Hanım kâğıda bakıyor, sonra Selin'e. "Peki ama bu ihaleden on bin lira kazanmayacağız ki. Ya yüz bin kazanacağız ya yirmi bin kaybedeceğiz."

Soru

Belirsiz sonuçlu bir seçeneğin değerini nasıl hesaplarız, ve bu hesabın verdiği sayı tek bir kararda bize neyi söyler, neyi söylemez?

Nasıl işler

Selin'in kâğıda yazdığı hesap, her olası sonucu kendi olasılığıyla tartıp toplamaktır. İhale kazanılırsa yüz yirmi bin kâr gelir ve bunun ihtimali dörtte birdir; kaybedilirse hiçbir şey gelmez. Ortalamada beklenen kazanç yüz yirmi binin dörtte biri, yani otuz bindir. Hazırlığın yirmi binlik bedeli her durumda ödenir. Geriye artı on bin kalır.

Nermin Hanım'ın itirazı da doğru: on bin lira bu ihalenin sonuçlarından biri değil. Bu ihale ya yüz bin liralık net kazançla ya da yirmi bin liralık kayıpla bitecek. Beklenen değer tek bir denemenin sonucunu tahmin etmez. Söylediği şey başkadır: bu türden kararlar tekrar tekrar verildiğinde, ortalamada nereye varılacağı.

Bu yüzden beklenen değerin anlamı, tekrar sayısına bağlıdır. Fabrika her yıl dört ihaleye giriyorsa ve her biri bu ihaleye benziyorsa, bazı yıllar hiç ihale kazanmayıp seksen bin kaybedecek, bazı yıllar iki ihale kazanıp hazırlık bedelleri düşüldükten sonra yüz altmış bin kâra ulaşacaktır. Ama yıllar biriktikçe ortalama, ihale başına on bin liraya doğru yaklaşacaktır.

Kararı veren için bundan çıkan sonuç, kararın kaç kez verileceğine bağlıdır. Sık tekrarlanan kararlarda beklenen değer güçlü bir rehberdir: tek tek kayıplar ortalamada telafi edilir. Bir kez verilen kararda ise beklenen değer yalnız bir başlangıç noktasıdır; yanında olası sonuçların ne kadar dağıldığını ve en kötü sonucun ne kadar acıtacağını da bilmek gerekir. Bu dağılım ve bu acı, sonraki derslerin konusu.

Kanıt

Beklenen değer fikri, bir kumar sorusuna verilen cevapla doğdu. Bir oyun bitmeden yarıda kesilirse, ortadaki para oyuncular arasında nasıl adil biçimde paylaşılmalıdır? On beşinci ve on altıncı yüzyılda Pacioli, Cardano ve Tartaglia gibi İtalyan matematikçiler bu soruyu tartışmıştı.

Pascal'ın örneği şöyledir: iki oyuncu otuz ikişer pistole koymuş, üç sayıya ulaşan kazanıyor. Birinci oyuncu iki sayıda, öteki bir sayıda iken oyun durursa ne olmalı? Pascal'ın akıl yürütmesi şu: bir el daha oynansa, birinci oyuncu kazanırsa altmış dördün tamamını alacak; kaybederse durum iki ikiye eşitlenecek ve herkes otuz ikisini geri alacak. Yani birinci oyuncu, ne olursa olsun otuz ikiye sahiptir. Kalan otuz iki için ise iki tarafın şansı eşittir, o yüzden onu yarı yarıya bölmek gerekir. Birinci oyuncu kırk sekiz, öteki on altı almalıdır.

Nerede çöker

Beklenen değer hesabı, girdileri kadar sağlamdır. Selin'in dörtte birlik kazanma ihtimali, geçen yılın dört ihalesinden çıkarıldı; dört ihale bir olasılığı tahmin etmek için çok azdır. Yüz yirmi binlik kâr da bir tahmindir. Hesap kesin bir sayı verir, ama o sayının arkasındaki belirsizlik yok olmaz, yalnız görünmez olur.

Hesap, parasal değerin herkes için aynı anlama geldiğini de varsayar. Yirmi bin liralık bir kayıp, nakit sıkıntısı çeken bir atölye için batmak demek olabilir; büyük bir fabrika için ise bir ayın küçük bir kalemidir. Aynı beklenen değer, kaybı kaldıramayacak olan için kötü bir karar olabilir. Bu ayrımı 2.3'te yıkım riskiyle, 2.5'te sigortayla ayrıca ele alacağız.

Büyük sayılar yasası tekrara dayanır, ama hayattaki en büyük kararların çoğu tekrarlanmaz. Bir meslek seçmek, bir ev almak, bir ortaklığa girmek, çoğu zaman bir kez yapılır. Bu kararlarda "ortalamada kazandırır" demek, sonuçların ortalamasını hiçbir zaman yaşamayacak birine bir ortalama vaat etmektir.

Yaygın yanılgılar

Sayılarla

İhalenin hesabını açalım. Kazanma ihtimali yüzde 25, kazanılırsa kâr 120 bin lira; kazanılmazsa kâr yok. Hazırlık bedeli her durumda 20 bin. Beklenen değer: 0,25 çarpı 120 bin, yani 30 bin, eksi 20 bin, yani artı 10 bin lira. Kazanma ihtimali yüzde 15 olsaydı beklenen değer 18 bin eksi 20 bin, yani eksi 2 bin olurdu. Kararın yönü, olasılıktaki on puanlık bir farka duyarlıdır.

Şimdi tek bir kararla tekrarlanan kararlar arasındaki farkı basit bir oyunla görelim. Yazı gelirse 100 lira kazandığın, tura gelirse 80 lira kaybettiğin bir oyun düşün. Beklenen değer oyun başına artı 10 liradır. Tek bir oyunda zararda kalma ihtimalin yüzde 50'dir. On oyundan sonra toplamda zararda olma ihtimalin yaklaşık yüzde 38'dir. Yüz oyundan sonra yaklaşık yüzde 14'e, bin oyundan sonra ise binde birin de altına, yaklaşık on binde 2'ye iner. Bu sayılar akademinin kendi hesabıdır: her oyunun bağımsız ve hilesiz olduğu varsayımıyla yazı sayısının olası bütün değerleri tek tek toplanarak bulunmuştur.

Hesap aynı zamanda bir uyarıdır. On oyunda zararda kalma ihtimalinin yüzde 38'de kalması, beklenen değeri artı olan bir oyunun bile kısa vadede kolayca kaybettirebileceğini gösterir. Beklenen değer yalnız yeterince uzun bir yolda güvenilir bir pusuladır.

Herkes için aynı mı?

Hayır. Beklenen değerden yararlanabilmek için oyunda kalabilmek gerekir; oyunda kalma gücü ise servetle ve güvenceyle dağılır.

Büyük bir fabrika her yıl onlarca ihaleye girebilir; tek tek kayıplar onun için bir maliyet kalemidir ve uzun vadede ortalamadan kazanç sağlar. Küçük bir atölye ise yılda bir ya da iki ihaleye girebilir; bir kayıp, ikinciye girecek parayı bırakmayabilir. Aynı artı beklenen değerli fırsat, büyük oyuncuya kazandırır, küçük oyuncuyu ise bir şanssızlıkta oyundan atabilir. Tekrar edebilmek, bir kaybı sindirebilmekle başlar.

Bilgi de eşit değildir. Selin'in hesabı geçmiş ihalelerin kayıtlarına dayanıyordu. Kayıt tutmayan ya da bu kayıtlara erişemeyen biri, kazanma ihtimalini tahmin etmekte zorlanır ve beklenen değeri hesaplayamaz. Bu yüzden beklenen değer düşüncesi, sayıları ve tekrar etme imkânı olanlar için daha güçlü bir araçtır; ikisinden yoksun olanlar için ise başka korumalar, örneğin 2.5'te göreceğimiz sigorta, daha önemli olabilir.

Kendi hayatında

Bir kararını beklenen değerle hesaplayıp tek denemenin riskiyle yan yana koy.

Hesabını karar defterine geçir. Olasılıkları nereden aldığını da not et; 1.3'teki taban oranı burada işe yarar.

Kapanış

1. Beklenen değer, her olası sonucun değeri ile olasılığının çarpımlarının toplamıdır; bir seçeneğin, çok kez tekrarlansaydı ortalamada ne getireceğini söyler.
2. Pascal ve Fermat'nın 1654 mektuplaşması bu fikri yarıda kalan bir oyunun payını bölerken kurdu: önde olan oyuncu, ne olursa olsun sahip olduğu payı ve belirsiz kısmın yarısını almalıydı.
3. Beklenen değer tek bir denemenin sonucunu tahmin etmez; artı beklenen değerli bir oyunda bile on denemede zararda kalma ihtimali yüzde 38 olabilir, bu yüzden hesap tekrar sayısıyla ve kaybın kaldırılabilirliğiyle birlikte okunmalıdır.

Beş soru

1. Bir piyango biletinin beklenen değeri bilet fiyatından düşükse, bilet almak her zaman yanlış mıdır? Hangi bilgi daha gerekir?
2. Kazanma ihtimali yüzde 20, kazanılırsa kârı 150 bin lira, hazırlık bedeli 25 bin lira olan bir ihalenin beklenen değeri nedir?
3. Pascal'ın örneğinde birinci oyuncu neden kırk sekiz pistole almalı?
4. Beklenen değeri artı 10 lira olan bir oyunda on oyundan sonra zararda kalma ihtimalinin yüzde 38 olması ne anlama gelir?
5. Aynı artı beklenen değerli ihale, büyük bir fabrika için iyi bir karar olup küçük bir atölye için kötü bir karar olabilir mi? Neden?

Yanıtlar

İlk soruda beklenen değer negatifse, bilet almak parasal olarak ortalamada kaybettirir. Ama kararın yanlış olup olmadığı başka şeylere de bağlıdır: biletin bedeli kişi için ne kadar küçük, kişi umut etmenin keyfine ne kadar değer veriyor ve bu harcama başka bir ihtiyaçtan kesiliyor mu? Beklenen değer parasal ortalamayı söyler, kararın tamamını söylemez.

İkinci soruda kazanma beklentisi 150 binin yüzde 20'si, yani 30 bindir. Hazırlık bedeli 25 bin düşülünce beklenen değer artı 5 bin lira olur.

Üçüncü soruda birinci oyuncu, bir el daha oynansa da kaybetse de en az otuz iki pistoleye sahip olacaktır, çünkü kaybederse oyun eşitlenir ve herkes payını geri alır. Kalan otuz iki için iki tarafın şansı eşittir, o yüzden yarısı, yani on altı, ona düşer. Toplam kırk sekiz eder.

Dördüncü soruda beklenen değerin artı olması, kısa vadede kazanacağın anlamına gelmez. On oyun gibi kısa bir yolda, şans yüzünden zararda kalmak hâlâ oldukça olasıdır; beklenen değer ancak çok sayıda tekrarda ortalamaya güvenilir biçimde yansır.

Beşinci soruda olabilir. Büyük fabrika çok sayıda ihaleye girerek ortalamadan yararlanabilir ve tek tek kayıpları kaldırabilir. Küçük atölye için tek bir kayıp, sonraki ihalelere girecek imkânı ortadan kaldırabilir; artı beklenen değerden yararlanmak için oyunda kalmak gerekir.

Sonraki derse köprü

Nermin Hanım'ın elinde artık başka bir dosya da var: ikinci bir ihale, beklenen değeri bununla aynı, ama sonuçları çok daha dağınık. İki seçeneğin ortalaması aynıysa, aralarında seçim yapmanın bir anlamı var mı? 2.2 ortalaması aynı iki hayatı karşılaştırıyor.