Fikrini ne kadar değiştirmeli?

Bir an

Çarşamba sabahı, Burak bakım atölyesine elinde bir kutuyla giriyor. Yeni kalıpçı firma, kalıbın ilk deneme parçalarını, yani numuneleri, beklenenden üç gün önce göndermiş. "Usta, bak," diyor Burak, "bu iyi işaret değil mi? Cuma kesin yetişir."

Rıza Usta numuneleri tezgâha diziyor, bir süre bakıyor. Sonra yağlı defterini yeniden açıyor. "Dün sana on kalıbın dördünün zamanında geldiğini söyledim. Şimdi bir şey daha bakalım: zamanında gelen dört kalıbın kaçında numune erken gelmişti?" Parmağıyla sayıyor: üçünde. "Geç gelen altı kalıbın kaçında?" Biraz daha arıyor: birinde.

Burak bekliyor. "Yani?" Rıza Usta defteri kapatıyor. "Yani numune erken geldiyse, artık yüzde kırktan konuşmuyoruz. Ama yüzde yüzden de konuşmuyoruz."

Soru

Yeni bir işaret eski tahmini ne kadar oynatmalı, ve bu miktarı hesap makinesine sarılmadan, yalnız sayarak bulabilir miyiz?

Nasıl işler

Burak'ın aklındaki hareket iki uçtan birine sıçramak: ya işareti görmezden gelip eski fikirde kalmak, ya da işareti görür görmez "kesin" demek. Doğru hareket ikisinin arasında bir yerdedir ve o yerin neresi olduğunu iki şey belirler: başlangıçtaki tahmin ve işaretin ne kadar ayırt edici olduğu.

Rıza Usta'nın yaptığı şey bu kuralı formülsüz uygulamaktı. Önce taban oranı: on kalıptan dördü zamanında. Sonra işaretin ayırt ediciliği: erken numune, zamanında gelen kalıplarda dörtte üç, geç gelenlerde altıda bir görülmüş. Yani bu işaret, zamanında gelen kalıplarda geç gelenlere göre çok daha sık görülüyor.

Bu hesabı yapmanın en kolay yolu, sayıları yüzde olarak değil, gerçek sayılar olarak düşünmektir. Rıza Usta'nın defterinde kalıpları tek tek sayabilirsin: numunesi erken gelen kalıplar dört tane, bunların üçü zamanında gelmiş. Yani numunesi erken gelen bir kalıbın zamanında gelme oranı dörtte üç. Hiç yüzde, hiç formül kullanmadan.

Kanıt

Doğal sıklıkların neden işe yaradığını Gerd Gigerenzer ve Ulrich Hoffrage sınadı. Bayes problemlerinin insanlar için zor olduğu, insanların taban oranını görmezden geldiği uzun süredir biliniyordu. Gigerenzer ve Hoffrage sorunun bir kısmının bilginin sunuluş biçiminde olabileceğini düşündüler.

Bulgunun açıklaması tartışma yarattı.

Mellers ve McGraw yazılarının girişinde bu literatürün eski bir gözlemini de hatırlatır: Ward Edwards'ın 1960'lardaki deneylerinde insanlar fikirlerini yeni kanıt karşısında doğru yönde ama yeterince değiştirmiyordu. Edwards onlara "tutucu Bayesçiler" demişti. Yani insanlar bazen kanıta fazla, bazen az tepki verir; doğru miktar ancak hesapla bulunur.

Nerede çöker

Bayes kuralı matematik olarak kusursuzdur, ama girdilerine muhtaçtır. Rıza Usta'nın hesabı on kalıba dayanıyor. Zamanında gelen dört kalıptan üçünde numune erkendi; bu dörtte üç, dörtte iki de olabilirdi, dörtte dört de. Küçük bir defterden çıkan olabilirlik oranı kaba bir tahmindir. Küçük sayıların ne kadar oynak olduğunu 3.2'de göreceksin. Hesap doğru yapılsa bile, sonuç defterin güvenilirliğini aşamaz.

Kanıtın bağımsızlığı da bir koşuldur. Burak yarın bir işaret daha getirirse, örneğin "firma sahibi de çok iyimser", bu ikinci işaret ilkinden bağımsız olmayabilir: numuneyi erken gönderen firma muhtemelen iyimser konuşan firmadır. Aynı bilgiyi iki kez saymak, tahmini hak ettiğinden fazla oynatır.

Bir de çoğu gündelik karar için böyle bir defter yoktur. Bir iş görüşmesinden sonra ya da bir arkadaşın tavrından sonra fikrini ne kadar değiştireceğini sayılarla hesaplayamazsın. Bu durumlarda Bayes kuralı bir hesap olmaktan çok bir alışkanlık olarak işe yarar: başlangıç noktanı hatırla, işaretin iki ihtimali gerçekten birbirinden ayırıp ayırmadığını sor, ve iki uca sıçramaktan kaçın.

Yaygın yanılgılar

Sayılarla

Rıza Usta'nın defterini olasılık biçiminden doğal sıklığa çevirelim. On kalıp var. Dördü zamanında, altısı geç. Zamanında gelen dört kalıbın 3'ünde numune erkendi. Geç gelen altı kalıbın 1'inde numune erkendi. Numunesi erken gelen kalıp sayısı toplam 4'tür ve bunların 3'ü zamanında gelmiştir. Yeni tahmin yüzde 75'tir. Taban oranı yüzde 40'tı; ayırt edici bir işaret onu yüzde 75'e taşıdı, yüzde 100'e değil.

Aynı hesabı bahis oranıyla yapalım. Başlangıçtaki bahis oranı 4'e 6'dır. Olabilirlik oranı, dörtte üçün altıda bire bölümüdür: 0,75 bölü yaklaşık 0,167, yani 4,5. Çarpınca 18'e 6, yani 3'e 1 çıkar. Bu da yüzde 75'tir. İki yol aynı sonuca varır, ama ilki çoğu insana daha kolay gelir.

Gigerenzer ve Hoffrage'ın kullandığı problemlerden biri, alışılmış biçimde şöyle sorulur: Bir hastalık bir yaş grubunda yüzde 1 sıklıkla görülüyor; hastalık varsa test yüzde 80 olasılıkla pozitif çıkıyor, yoksa yüzde 9,6 olasılıkla yine pozitif çıkıyor; testi pozitif çıkan birinde hastalık olma olasılığı nedir? Aynı bilgiyi doğal sıklıkla söyleyelim: bin kişiden 10'unda hastalık var ve bunların 8'inde test pozitif çıkar; hastalığı olmayan 990 kişiden yaklaşık 95'inde de test pozitif çıkar. Pozitif çıkan yaklaşık 103 kişiden 8'inde hastalık vardır. Bu yaklaşık yüzde 7,8'dir; "yüzde 80" sezgisinden çok uzak. Bu örnek yalnız hesabın biçimini göstermek içindir; herhangi bir gerçek testin doğruluğu hakkında bilgi vermez.

Herkes için aynı mı?

Hayır. Bilginin hangi biçimde sunulduğu, kimin doğru hesap yapabileceğini belirler.

Gigerenzer ve Hoffrage'ın bulgusu bunu açıkça gösterir: aynı öğrenciler, aynı problemi yüzdelerle görünce çoğunlukla yanıldı, sayılarla görünce çoğunlukla doğru düşündü. Bu, Bayes çıkarımının yalnız matematik eğitimi almış kişilere özgü olmadığını, ama bilginin yanlış biçimde sunulduğunda o eğitimi almamış kişilerin daha çok dezavantajlı kaldığını gösterir. Bir sağlık raporu, bir banka sözleşmesi ya da bir sigorta poliçesi olasılıklarını yalnız yüzdelerle veriyorsa, sayılarla rahat olmayan okuru daha büyük bir hata riskine iter.

Kanıta erişim de eşit değildir. Rıza Usta'nın yağlı defteri ona olabilirlik oranını hesaplama imkânı verdi. Böyle bir kayıt tutmayan biri, aynı işaret karşısında ya hiç fikir değiştirmez ya da fazla değiştirir. Kayıt tutmak, bir alışkanlık olduğu kadar zaman ve imkân da gerektirir; yoğun çalışan biri için bu bedel daha yüksektir.

Kendi hayatında

Rıza Usta'nın yaptığı sayımı kendi küçük bir sorun üzerinde dene.

Sayılar küçükse sonuca fazla güvenme; amaç, bir işaretin ne kadar bilgi taşıdığını sormayı alışkanlık hâline getirmek. Bulduğun işareti ve sayılarını karar defterine yaz; birkaç hafta sonra örnekler arttıkça yeniden bak.

Kapanış

1. Yeni bir işaret geldiğinde tahmini, taban oranından başlayıp işaretin ne kadar ayırt edici olduğuna göre değiştirmek gerekir; ayırt edici bir işaret bir olasılığı değiştirir, nadiren kesinliğe çevirir.
2. Doğal sıklıklarla, yani gerçek sayılarla düşünmek Bayes hesabını kolaylaştırır: Gigerenzer ve Hoffrage'ın deneyinde doğru hesap oranı olasılık biçiminde yüzde 16 ile 28, sıklık biçiminde yüzde 46 ile 50 arasındaydı.
3. Kural kusursuzdur ama girdilerine muhtaçtır: küçük bir kayıttan çıkan olabilirlik oranı kabadır ve birbirine bağlı işaretleri iki kez saymak tahmini fazla oynatır.

Beş soru

1. Rıza Usta'nın defterinde numune erken gelen dört kalıptan üçü zamanında gelmişti. Bu bilgi tahmini yüzde kırktan kaça taşıdı, neden yüzde yüze taşımadı?
2. Bir işaretin olabilirlik oranı 1 ise ne anlama gelir? Gündelik hayattan bir örnek ver.
3. "Zamanında gelen kalıpların çoğunda numune erkendi" ile "numunesi erken gelen kalıpların çoğu zamanında geldi" cümleleri aynı şeyi mi söyler?
4. Gigerenzer ve Hoffrage ile Mellers ve McGraw hangi noktada anlaşıyor, hangi noktada ayrılıyor?
5. Bir hastalık yüzde 1 sıklıkta, test hastalıklılarda yüzde 80, hastalık olmayanlarda yüzde 9,6 pozitif çıkıyorsa, bin kişilik bir grupta kaç pozitif sonuç beklenir ve bunların kaçında hastalık vardır?

Yanıtlar

İlk soruda tahmin yüzde kırktan yüzde yetmiş beşe çıktı. Yüzde yüze çıkmadı, çünkü geç gelen altı kalıbın birinde de numune erken gelmişti; işaret ayırt ediciydi ama kusursuz değildi.

İkinci soruda olabilirlik oranının 1 olması, işaretin iki hipotez altında da aynı sıklıkta görüldüğü ve bu yüzden hiçbir şeyi değiştirmemesi gerektiği anlamına gelir. 1.3'teki Dick betimlemesi böyle bir işaretti; gündelik hayatta da bir satıcının "bu ürün çok kaliteli" demesi, kaliteli ve kalitesiz ürünlerin satıcılarında aynı sıklıkta duyuluyorsa böyle bir işarettir.

Üçüncü soruda aynı şeyi söylemezler. Biri zamanında gelenler içinde işaretin oranıdır, öteki işaret görülenler içinde zamanında gelenlerin oranıdır. İkisini birbirine bağlayan şey taban oranıdır; taban oranı düşükse aralarındaki fark çok büyüyebilir.

Dördüncü soruda iki taraf da sıklık biçiminin Bayes çıkarımını kolaylaştırabildiğinde anlaşır. Ayrıldıkları nokta nedendir: Gigerenzer ve Hoffrage bunu insanların bilgiyi doğal örneklemle edinmesine, Mellers ve McGraw ise nadir olayları ve iç içe geçmiş grupları görünür kılmasına bağlar.

Beşinci soruda bin kişiden on kişide hastalık vardır ve bunların sekizinde test pozitif çıkar; hastalığı olmayan 990 kişiden yaklaşık 95'inde de test pozitif çıkar. Toplam yaklaşık 103 pozitif sonucun yalnız 8'inde hastalık vardır, yani yaklaşık yüzde 7,8.

Sonraki derse köprü

Rıza Usta'nın yüzde yetmiş beşi güzel bir tahmindi. Ama Rıza Usta yıllardır "yüzde yetmiş beş" dediği şeylerin gerçekten dörtte üçünde mi haklı çıktı? Bir tahmincinin sayılarının gerçekle ne kadar örtüştüğünü ölçmenin adı kalibrasyon; 1.5 bunu kendi tahminlerine uygulamayı öğretiyor.