Olasılık ve örnekleme dağılımı sezgisi

Açılış sahnesi

Danışmanın sorusu öğrencinin aklından çıkmıyor: başka bir kura çekseydin, başka kadınlarla görüşecek ve başka sonuçlar bulacaktın. Öğrenci bunu kendi gözüyle görmek istiyor. Kapı kapı hazırladığı liste bilgisayarında duruyor ve bu listedeki bütün hanelerin bakım bilgisi, görüşmelerden sonra artık elinde. Bir akşam küçük bir deneme yapmaya karar veriyor.

Listeden kurayla bir örneklem çekiyor ve bu örneklemde torununa her gün bakan kadınların payını hesaplıyor. Sonra kurayı yeniden çekiyor. Yeni örneklemde pay biraz farklı çıkıyor. Bir daha çekiyor, yine farklı. Bir süre sonra bilgisayara bu işi yüzlerce kez yaptırıyor ve her kurada çıkan payı bir listeye yazdırıyor.

Sonra bu payların hepsini bir histograma döküyor. Karşısına beklemediği bir biçim çıkıyor. Payların çoğu ortadaki bir değerin etrafında toplanmış. O değerden uzaklaştıkça çubuklar kısalıyor ve iki yana doğru simetrik biçimde inceliyor. Öğrenci fark ediyor: tek tek kuralar öngörülemez, ama çok sayıda kuranın birlikte oluşturduğu biçim son derece düzenli. Ortadaki değer, listenin tamamındaki gerçek paya çok yakın duruyor.

Bu derste ne olacak

Bilgisayardaki liste, yüzlerce kura ve çan biçimini alan histogram bu kursun kurgusal düzenine ait. Tek bir örneklemin ardında görünmeyen çok sayıda olası örneklemin durduğu düşüncesi ise bütün çıkarımsal istatistiğin üzerine kurulduğu gerçek bir fikir. Önceki kurs betimleyici istatistiği ve bulguları doğru cümleyle yazmayı anlattı. Kapanışında bir örneklemde bulunan farkın evrende de bulunup bulunmadığı sorusu kaldı.

Bu ders çıkarımsal istatistiğin temelini, formül kullanmadan ve rakam vermeden, sezgi düzeyinde kuruyor. Olasılığın ne anlama geldiği, evrendeki gerçek değer ile örneklemden hesaplanan değer arasındaki fark, bir örneklem sonucunun olası sonuçlar arasında nerede durduğu ve örneklem büyüdükçe neyin değiştiği dersin konuları. Anket kursunda görülen örnekleme hatası ve kesinlik kavramları, bu dersin ardından çok daha somut bir anlam kazanacak.

Sıfır noktası — Şansın düzeni

Tek bir olayın sonucu çoğu zaman öngörülemez. Listeden rastgele seçilen bir büyükannenin torununa her gün bakıp bakmadığını önceden bilemeyiz. Ama çok sayıda seçim yapıldığında, sonuçlar belirli bir düzene oturur. Olasılık, bu düzeni anlatmanın dilidir.

Hazırlık derslerinde belirsizlik kavramı, bilginin eksik olduğu durumlarda bilmiyorum diyebilmenin önemi üzerinden tanıtılmıştı. Olasılık, belirsizliği yok etmez. Onu ölçülebilir ve konuşulabilir kılar.

Mekanizma — Evren, örneklem ve olası örneklemler

Çıkarımsal istatistiğin temel ayrımı, evrendeki gerçek değer ile örneklemden hesaplanan değer arasındadır.

Bir örneklem istatistiğinin ne kadar güvenilir olduğunu anlamak için, onun olası örneklemler arasında nasıl değiştiğini bilmek gerekir.

Örnekleme dağılımının biçimi çoğu zaman şaşırtıcı biçimde düzenlidir. Örneklem yeterince büyük olduğunda, birçok istatistiğin örnekleme dağılımı ortadaki bir değerin etrafında toplanan, iki yana simetrik biçimde incelen bir çan biçimine yaklaşır. Bu, evrendeki değişkenin kendisi çan biçimli olmasa bile geçerlidir. İstatistik kuramında bu düzen, örneklem ortalamalarının davranışını açıklayan merkezî bir limit sonucuyla anılır.

Örneklem büyüdükçe örnekleme dağılımı daralır. Büyük örneklemlerin sonuçları, gerçek değere daha yakın toplanır.

Kuramsal mercekler

Olasılığın ne anlama geldiği konusunda istatistik felsefesinde iki büyük yaklaşım vardır. Birinci yaklaşım olasılığı, bir olayın çok sayıda tekrarda ne sıklıkla ortaya çıktığı olarak görür. Bu yaklaşımda olasılık, uzun dönemde gözlenen bir düzenliliğin ölçüsüdür. Sosyal bilimlerde en sık kullanılan çıkarım yöntemleri bu yaklaşıma dayanır.

İkinci yaklaşım olasılığı, bir öneriye duyulan inancın derecesi olarak görür. Bu yaklaşımda olasılık, eldeki kanıta göre güncellenen bir inanç ölçüsüdür. Tek seferlik olaylar hakkında da olasılıktan söz etmeyi mümkün kılar. İki yaklaşım ayrı sorulara yanıt arar ve farklı çıkarım yöntemleri geliştirmiştir. Bu kurs, sosyolojide yaygın olan birinci yaklaşımın araçlarını öğretir.

Ölçek

Belirsizlik, hangi düzeyde bakıldığına göre farklı biçimler alır. Tek bir birimin düzeyinde sonuç neredeyse öngörülemez: rastgele seçilen bir kadının ne cevap vereceği bilinmez. Tek bir örneklemin düzeyinde belirsizlik azalır: örneklemden hesaplanan pay gerçek paya yakın olabilir, ama ne kadar yakın olduğu bilinmez. Çok sayıda olası örneklemin düzeyinde ise belirsizlik bir düzene dönüşür: örneklem sonuçlarının nasıl dağılacağı öngörülebilir.

Çıkarımsal istatistik, bu üç düzey arasında köprü kurar. Araştırmacı yalnız bir örneklem görür, ama örnekleme dağılımı hakkındaki bilgiye dayanarak evren hakkında belirsizliği ölçülmüş bir çıkarım yapar.

Türkiye bağlamı ve karşılaştırma

Türkiye'de kamuoyu araştırmalarının sonuçları çoğu zaman tek bir sayı olarak sunulur ve bu sayının başka bir örneklemde farklı çıkabileceği vurgulanmaz. Seçim öncesi yoklamalarında farklı şirketlerin farklı sonuçlar bulması, çoğu zaman şirketlerden birinin yanlış yaptığı biçiminde yorumlanır. Oysa aynı evrenden çekilen farklı örneklemlerin farklı sonuçlar vermesi, örnekleme dağılımının doğal bir sonucudur.

Türkiye'de istatistik eğitiminde olasılık kavramı çoğu zaman zar, para ve torba örnekleriyle öğretilir. Bu örnekler kavramı anlaşılır kılar, ama sosyolojik verilerle bağlantısı kurulmadığında öğrenci olasılığın toplumsal araştırmadaki rolünü göremeyebilir. Bir örneklemin olası örneklemlerden yalnız biri olduğu fikri, bu bağlantının en önemli halkasıdır.

Bu bilgiyi nasıl biliyoruz?

Örnekleme dağılımının davranışı hem matematiksel olarak kanıtlanmış hem de sayısız deneyle doğrulanmıştır. Olasılık kuramı, belirli koşullar altında örneklem istatistiklerinin nasıl dağılacağını önceden hesaplamayı mümkün kılar. Bilgisayar canlandırmaları ise bu hesapları gözle görülebilir hâle getirir.

Yaygın hatalar

Aklında kalsın

1. Olasılık tek bir sonucu değil, çok sayıda tekrarın uzun dönemli düzenini anlatır.
2. Parametre evrenin sabit ama genellikle bilinmeyen gerçek değeridir.
3. Örneklem istatistiği parametrenin tahminidir ve örneklemden örnekleme değişir.
4. Örnekleme dağılımı, bütün olası örneklemlerden hesaplanan istatistiğin dağılımıdır.
5. Örneklem yeterince büyük olduğunda, örneklem ortalamalarının dağılımı evren çarpık olsa bile çan biçimine yaklaşır.
6. Büyük sayılar yasasına göre tekrar sayısı arttıkça gözlenen sonuç gerçek değere yaklaşır.
7. Bireysel sonuçlar öngörülemezken, toplu sonuçlar düzenli bir örüntü gösterir.

Sonraki derse köprü

Öğrencinin histogramı, olası örneklemlerin nasıl dağıldığını gösteriyor. Ama gerçek bir araştırmada yalnız bir örneklem var ve olası örneklemler dünyası görünmüyor. Öğrenci şunu merak ediyor: tek bir örneklemden, örnekleme dağılımının ne kadar geniş olduğunu tahmin edebilir mi? Bulduğu payın etrafına, gerçek payın büyük olasılıkla içinde kalacağı bir aralık çizebilir mi? Bu aralık ne kadar geniş olmalı ve ona nasıl bir güvenle bakılabilir? Standart hata ve güven aralığı, tek bir örneklemden evren hakkında belirsizliği ölçülmüş bir tahmin yapmanın yolunu gösteriyor.