Toplum bağışıklığı

Bir an

Pazartesi öğleden sonra, Tepebaşı. Cenk otuz sekiz yaşında, demiryolunda sinyal teknisyeni. Vardiya çıkışında telefonuna okulun veli grubundan bir duyuru düşüyor: «Okulumuzun 4. sınıflarından birinde kızamık vakası bildirilmiştir. İl sağlık müdürlüğü temaslıları değerlendirmektedir.»

Kızı Elvan yedi yaşında, ikinci sınıfta. İki yıldır lösemi tedavisi görüyor; çocuk hematoloji ekibi, tedavi sürerken Elvan'ın kendi bağışıklığına yaslanamayacaklarını baştan söylemişti. Elvan'ı korunan bir çocuk yapan şey, çevresindeki insanların bağışıklığı.

Cenk eşi Arzu'yu arıyor, sonra sınıf öğretmeni Sema Hanım'a yazıyor: «Hocam, sınıfta kaç çocuğun kızamık aşısı tam? Okulun oranını öğrenebilir miyiz?»

Sema Hanım'ın yanıtı akşam geliyor: aşı kayıtlarını paylaşamıyor, ama ilçenin aşılama oranının yüzde doksanın üstünde olduğunu duyduğunu yazıyor. «Yüksekmiş, merak etmeyin.»

Cenk ekrana bakıyor. İlçenin ortalaması Elvan'ın sırasında oturan çocuklar hakkında ne söyler?

Soru

Toplum bağışıklığı eşiği hangi hesaptan çıkar, aşı herkesi tam korumadığında bu hesap nasıl değişir ve yüksek bir ortalama, aşılanamayan bir çocuğun sınıfını neden her zaman korumaz?

Nasıl işler

Bir aşının onaylanması, onun tek bir insanı ne ölçüde koruduğuna dair bir karardır. Bu ders aynı soruyu kalabalığa taşıyor. Aşının işleyişini anlatan derste sürü bağışıklığı terimini tanımlamış ve kızamık eşiğini hesaplamıştık: bağışık kişiler arttıkça mikrobun bir sonraki ev sahibini bulması zorlaşır. Fine, Eames ve Heymann, terimin literatürde en az üç ayrı anlamda kullanıldığını hatırlatır: nüfusta bağışık olanların oranı, salgının sönmeye başladığı eşik oran ve bağışık olmayanların dolaylı korunması. Cenk'in sorusu üçüncüsü hakkında, ama cevabı ikincisinin hesabından geçiyor.

Temel üreme sayısı (R₀), bulaşıcı bir kişinin, kimsenin bağışık olmadığı bir toplulukta ortalama kaç kişiye bulaştırdığıdır. Etkin üreme sayısı ise aynı ortalamanın, bir kısmı bağışık olan gerçek bir toplulukta aldığı değerdir. İkisinin ayrıntısı Salgın modülünün işi; burada yalnız aralarındaki köprü gerekiyor. Toplulukta bağışık olanların payına p dersek, her bulaşıcı kişinin karşılaştığı insanların yalnız (1 − p) kadarı enfekte olabilir. Etkin sayı R₀ × (1 − p) olur. Bu çarpım 1'in altına indiğinde her vaka kendisinden azını doğurur ve zincir söner. Çarpımı 1'e eşitleyip p'yi çözünce eşik çıkar: 1 − 1/R₀.

Randolph ve Barreiro bu basit hesabın iki varsayıma dayandığını yazar. Birincisi herkesin herkesle eşit olasılıkla temas ettiği bir topluluk. İkincisi bağışıklığın kalıcı olması ve yalnız hastalığı değil bulaşmayı da durdurması. Gerçek dünyada ikisi de çoğunlukla tutmaz.

Hesabın üçüncü gizli varsayımı «aşılı» ile «bağışık» kelimelerinin aynı şey olduğudur. Hiçbir aşı her aşılanan kişide tam koruma bırakmaz. Etkinliği E olan bir aşıyla aşılananların ancak E kadarı bağışık sayılabilir. O zaman gereken aşılama oranı, eşiğin etkinliğe bölümüdür.

Anderson ve arkadaşları bu formülü COVID-19 aşıları beklenirken kullandı ve bir eksiğine dikkat çekti: koruma kısa sürerse hesap tek seferlik bir oran olmaktan çıkar, her yıl yeniden aşılanması gerekenlerin hesabına dönüşür.

Kanıt

Yaygın yanılgılar

Sayılarla

Önce R₀'ın neden tek bir sayı olmadığına bak. Delamater ve arkadaşları, kızamık için sık aktarılan aralığın, aşının işleyişini anlatan derste geçen aralığın, ABD'de 1912–1928 ve İngiltere ile Galler'de 1944–1979 yıllarının verilerine dayandığını gösteriyor. Boğmaca için aktarılan 12 ile 17 arası da 1908–1917 ve 1944–1979 verilerinden geliyor. Kretzschmar ve arkadaşları beş Avrupa ülkesinin kan örneklerini ve temas anketlerini birleştirince boğmacanın R₀'ını her ülkede 5,5 dolaylarında buldu. Mevsimsel grip için Biggerstaff ve arkadaşlarının taradığı tahminlerin ortancası 1,28, 1918 salgını için 1,80'di. COVID-19'un ilk aylarına ait tahminler Liu ve arkadaşlarına göre 1,4 ile 6,49 arasında dağıldı, ortanca 2,79'du. Aynı mikrop farklı yerde, farklı yılda, farklı modelle farklı bir sayı verir.

Şimdi laboratuvara geç. Sağlık Laboratuvarı'ndaki «Salgın modeli (SIR / SEIR)» aracını aç. Başlangıç ayarlarıyla bulaştırıcılık süresi 7 gün, kuluçka süresi 0 gün, nüfus bir milyon, başlangıçtaki bulaştırıcı kişi 10, gözlem süresi 365 gündür. Araç eşiği grafikte yatay bir çizgiyle gösterir ve aşılı oranın eşiğin altında mı üstünde mi olduğunu yazar.

«Temel üreme sayısı (R₀)» kaydırıcısını 4'e getir. Eşik yüzde 75 olur. «Başta bağışık (aşılı) oran» sıfırken tepe 30. günde gelir ve nüfusun neredeyse tamamı enfekte olur. Oranı yüzde 70'e çıkar: başlangıçtaki etkin R 1,20'ye iner, tepe 264. güne kayar, toplam enfekte olanların payı yüzde 9'a yaklaşır. Yüzde 73'te bir yıllık pencerede eğri neredeyse düz görünür; «Gözlem süresi»ni 730 güne uzatınca tepe 501. günde ortaya çıkar. Yüzde 77'de etkin R 0,92'dir ve araç salgının büyümediğini yazar. Aynı denemeyi R₀ 2 ile yap; eşik yüzde 50'ye iner. R₀ 8 ile tekrarla; eşik yaklaşık yüzde 88'e çıkar ve eşiğin altındaki birkaç puanlık fark yine bir salgın doğurur.

Aracın bir sınırı var: aşılananları baştan tam ve kalıcı korunmuş sayar, ayrı bir etkinlik ayarı yoktur. Etkinliği elle hesaba katmak gerekir. R₀ 4 ve etkinlik yüzde 90 ise kritik kapsama 0,75 bölü 0,90, yani yaklaşık yüzde 83'tür. R₀ 8'de aynı aşıyla 0,875 bölü 0,90, yaklaşık yüzde 97 gerekir.

Eşiğe aşı olmadan, hastalığı geçirerek ulaşmanın bedeli de aynı hesaptan okunur. Randolph ve Barreiro COVID-19 için R₀'ı 3, eşiği yaklaşık yüzde 67 ve enfekte olanlarda ölüm oranını binde 6 aldı; eşiğe hastalık yoluyla ulaşmak dünyada 30 milyonun üzerinde ölüm demekti. Yazarlar eşik geçildikten sonra da vakalar bir süre sürdüğü için bunun eksik bir tahmin olduğunu, dolan hastanelerin yol açacağı başka ölümleri de içermediğini yazıyor. Bağışıklığın kısa sürdüğü bir hastalıkta bu bedel bir kez ödenip bitmez; Anderson ve arkadaşlarının hesabı da bu yüzden her yıl yeniden aşılanacak payı soruyor.

Herkes için aynı mı?

Toplum bağışıklığının asıl yararlanıcıları, kendi bağışıklığına güvenilemeyenlerdir. Randolph ve Barreiro aşılama programlarının amacını tam da bu kişilerle tanımlar: aşılanamayacak kadar küçük bebekler ve bağışıklığı baskılanmış kişiler. Elvan gibi kanser tedavisi gören bir çocuk ya da organ nakli olmuş bir yetişkin bu gruptadır. NHS gebeliği de kızamıkla temasın ayrıca değerlendirilmesi gereken durumlar arasında sayıyor. Yaş dağılımı da belirleyici: New York salgınında vakaların yüzde 81,2'si on sekiz yaş ve altındaydı. Sosyoekonomik ve kültürel fark kümelenmenin kendisinde yatar. Seither ve arkadaşlarının raporuna göre aynı dönemde ABD'de anaokulu çocuklarının yüzde 94,7'si iki doz kızamık aşısını tamamlamıştı; Williamsburg'da 12–59 aylık çocukların en az bir doz alma oranı salgın başladığında yüzde 79,5'ti. Bu iki sayı farklı yaş ve doz ölçüleridir, ama aradaki uçurum ortalamanın neyi gizlediğini gösteriyor. Aşısızlığın birikmesi kimi yerde bir inanç, kimi yerde uzaklık ya da sık taşınmak demektir.

Ne zaman hekime?

Kızamıkla temas, herkes için aynı aciliyeti taşımaz. NHS'e göre bir yaşından küçük bir bebek ya da bağışıklığı zayıf biri kızamıklı biriyle yakın temasta bulunduysa, belirti başlamasını beklemeden hemen değerlendirilmelidir; gebeler ve kızamığı geçirmemiş ya da iki doz aşısı olmayanlar için de aynısı geçerlidir. Elvan'ı izleyen bir ekip varsa ilk telefon oraya gider, çünkü temastan sonra uygulanabilecek korumanın zamanlaması ve uygunluğu ancak çocuğun tedavisini bilen hekimin kararıdır. Kızamıktan şüphelenilen biriyle sağlık kuruluşuna habersiz gitme; NHS önce aramayı öneriyor, çünkü bekleme salonundaki bebekler ve hastalar da risk altındadır. Ateşi düşmeyen, soluğu her zamankinden zor alan, sıvı almayan ya da altını az ıslatan bir çocukta değerlendirme ertelenmez. Kızamık geçiren biri nöbet geçirirse, gözünü birkaç saniyeden uzun açık tutamıyorsa, birden şaşkınlaşırsa, başını tutamayacak kadar gevşerse ya da bardak bastırınca solmayan bir döküntü fark edilirse, NHS'in acil saydığı tablodur ve 112 aranır.

Kendi hayatında

Cenk'in sorusu iki parçaya ayrılıyor. Birincisi hesap: kızamık gibi çok bulaşıcı bir hastalıkta Elvan'ın sınıfı ancak çok yüksek bir kapsamla korunur, ve ilçe ortalaması bu kapsamın her sınıfta tuttuğunu söylemez. İkincisi bilgi: okulun kayıtları mahremdir, Sema Hanım paylaşmakta haklı. Cenk'in elindeki gerçek araç, Elvan'ın hekimiyle temastan sonra ne yapılacağını konuşmak ve evdeki herkesin, Arzu'nun, kendisinin, Elvan'ı sık gören büyükannenin aşı durumunu kontrol ettirmek. Toplum bağışıklığı, Elvan için ülke oranı değil, her gün yan yana oturduğu insanların bağışıklığıdır.

Kapanış

1. Eşik formülü 1 − 1/R₀, bağışık kişilerin payını ve etkin üreme sayısını birbirine bağlar; R₀ ise bir mikrobun sabit özelliği değildir, aynı hastalık için yer ve yıla göre geniş bir aralıkta tahmin edilir.
2. Aşı herkesi tam korumadığında gereken kapsama eşiğin aşı etkinliğine bölünmesiyle bulunur; bağışıklık zamanla azaldığında bu hesap tek seferlik bir hedef değil, sürekli yenilenmesi gereken bir orandır.
3. Eşik bir ortalamadır; aşısız kişilerin bir arada yaşadığı topluluklarda ülke ortalaması yüksekken de salgın çıkabilir ve bu salgınların bedelini en çok aşılanamayan bebekler ve bağışıklığı baskılanmış kişiler öder.

Beş soru

1. Etkin üreme sayısını R₀ × (1 − p) diye yazınca eşik formülü nasıl elde edilir?
2. R₀ 4 ve aşı etkinliği yüzde 90 iken neden yüzde 75 değil yaklaşık yüzde 83 aşılama gerekir?
3. Laboratuvarda R₀ 4 iken aşılı oranı yüzde 73'e getirdiğinde bir yıllık grafik neden yanıltıcıdır?
4. Boğmaca için aktarılan eski R₀ değerleriyle Kretzschmar ve arkadaşlarının tahmini arasındaki fark, R₀ hakkında neyi gösterir?
5. Seither ve arkadaşlarının ulusal oranı ile Williamsburg'daki oran yan yana konunca, ortalama kapsama hakkında ne öğrenilir?

Yanıtlar

Bulaşıcı kişinin temas ettiklerinden yalnız bağışık olmayanlar enfekte olabildiği için etkin sayı R₀ × (1 − p) olur. Bu çarpım 1'e eşitlenip p çözülünce p = 1 − 1/R₀ çıkar; bağışık pay bunun üstündeyse her vaka ortalama birden az yeni vaka doğurur.

Eşik bağışık kişilerin payıdır, aşılananların değil. Etkinliği yüzde 90 olan aşıyla aşılananların ancak onda dokuzu bağışık sayılır; yüzde 75 bağışıklık için 0,75 bölü 0,90, yaklaşık yüzde 83 kişinin aşılanması gerekir.

Etkin R 1'in biraz üstünde kaldığında salgın çok yavaş büyür. Bir yıllık pencerede eğri düz görünür, ama gözlem süresi iki yıla uzatılınca tepe 501. günde ortaya çıkar. Yavaş büyüyen bir salgın, salgın yok demek değildir.

Eski değerler 1900'lerin başındaki ve ortasındaki verilerden, yeni tahmin ise beş Avrupa ülkesinin güncel kan örneklerinden ve temas anketlerinden geliyor. R₀ insanların nasıl bir arada yaşadığına ve kullanılan modele bağlıdır; bir mikrobun değişmez özelliği gibi okunamaz.

Ülke genelinde anaokulu çocuklarının büyük çoğunluğu aşılıyken salgının başladığı semtte küçük çocukların belirgin bir kısmı aşısızdı. Ölçüler aynı değil, ama ortalama, aşısızların nerede toplandığını göstermez; salgın da ortalamada değil o kümelerde başlar.

Sonraki derse köprü

Cenk o akşam Elvan'ın ve kendi aşı kartlarını masaya çıkarıyor. Kartın üstünde yaş yaş dizilmiş kısaltmalar, bazılarının yanında ikinci bir tarih var. Kızamık bunlardan yalnız biri. Sıradaki derste Türkiye'nin çocukluk aşı takvimi açılacak: hangi aşı hangi hastalığı önlüyor ve neden o yaşa yerleştirilmiş.