Formların kesişimi

Öğrenme hedefi

İki form birbirine değdiğinde oluşan çizgiyi tahminle değil, formların yüzeyinden yola çıkarak bulmak bu dersin becerisi. Silindirin kutuya, silindirin silindire ve kürenin silindire bağlandığı yerlerde kesişim çizgisini kurabilecek, organik bağlantılarda hangi formun ötekini sardığını okuyabileceksin.

Kanca

Bir kupanın sapına bak. Sapın gövdeye değdiği yer düz bir çizgi değildir; kupanın yuvarlak yüzeyine oturduğu için hafifçe kıvrılır. Kendi koluna bak: kolun omza bağlandığı yer ne bir çizgidir ne de keskin bir köşe; omuz kası kolun üst ucunu bir başlık gibi sarar ve iki biçim birbirine akar. Çizimde bu bağlantılar çoğu zaman en zayıf yerdir; formlar ayrı ayrı doğru çizilmiş olsa bile birleşim yeri yapıştırılmış gibi durur. Kol gövdeye nasıl bağlanır? Cevap geometride.

Bu dersin cevabı, iki yüzeyin buluştuğu çizgide. O çizginin biçimi rastgele değildir; iki formun biçiminden ve birbirine göre konumundan çıkar. Onu bulmayı öğrendiğinde, kupanın sapı da kolun omzu da kâğıtta birbirine oturur.

Bağlam

On sekizinci yüzyılın sonunda Fransız matematikçi Gaspard Monge, mühendislerin taştan kemerleri, kaleleri ve makine parçalarını kâğıtta nasıl kusursuzca tanımlayabileceği sorusuyla uğraştı. 1794 ve 1795'te verdiği dersler, 1799'da tasarı geometri adıyla bir kitap olarak yayımlandı. Monge, üç boyutlu bir cismi birbirine dik düzlemlere izdüşürerek onun uzunluklarını, açılarını ve başka cisimlerle kesiştiği çizgileri kâğıt üzerinde bulmayı sistemli bir yönteme dönüştürdü. Kitabında silindirlerin ve kürelerin kesişimleri de vardır.

Monge'dan üç yüzyıl önce Leonardo da Vinci bu soruyu başka bir yerden, insan bedeninin içinden sordu. Windsor'daki Kraliyet Koleksiyonu'nda duran ve yaklaşık 1510 yılına tarihlenen bir sayfada Leonardo, bir erkeğin sağ omzunu ve kolunu farklı açılardan, kaslarıyla birlikte çizer. Omuz kasının kolun üst ucunu nasıl sardığı, kasların birbirinin altına nasıl girdiği, kolun gövdeden nasıl çıktığı sayfada katman katman görünür. Mühendisin taşı ile anatomistin kası aynı soruyu sorar: iki biçim birbirine nerede ve nasıl değiyor?

Ana anlatım

Kesişim çizgisi nedir?

İki form birbirinin içine geçtiğinde, iki yüzeyin buluştuğu yerde bir çizgi oluşur. Bu çizgiye kesişim çizgisi denir ve iki formun birbirine nasıl bağlandığını anlatan tek bilgidir. Düz bir masaya dik oturan bir silindirde bu çizgi basittir: silindirin tabanındaki elips. Ama iki eğri yüzey buluştuğunda çizgi de eğrilir ve biçimi, formlar hakkında gözün hemen okuduğu bir bilgi taşır.

Kesişim çizgisini tahminle çizmek, genellikle düz bir çizgi çekmek anlamına gelir. Kupanın sapını gövdeye düz bir çizgiyle bağlamak, sapı gövdenin önüne yapıştırılmış bir karton gibi gösterir. Doğru eğriyi bulmak ise sapı gövdenin yuvarlak yüzeyine oturtur.

Kesişim yalnızca çizgiyle değil tonla da okunur. İki yüzeyin birbirine yaklaştığı köşe, ışığın kolayca giremediği dar bir boşluktur; bu yüzden birleşim yeri, çevresindeki yüzeylerden genellikle biraz daha koyu görünür. Sapın gövdeye oturduğu yerde ince, koyu bir gölge çizgisi bırakmak, iki formun gerçekten birbirine değdiğini gözün hemen kabul etmesini sağlar.

Kesişim çizgisi nasıl bulunur?

Kesişim çizgisini bulmanın en güvenilir yolu, bir önceki derste öğrendiğin çapraz konturdur. İki formun birleşme yerine yakın, her iki formun üstünden birkaç çapraz kontur geçir. Bir formun çapraz konturu öbür formun yüzeyine değdiği her noktada kesişim çizgisinin bir noktası vardır. Bu noktaları birleştirdiğinde kesişim çizgisi ortaya çıkar.

Birkaç sık karşılaşılan durum bu yöntemi somutlaştırır. Bir silindir bir kutunun düz yüzüne dik girdiğinde kesişim çizgisi, silindirin o yüzeydeki kesiti olan bir elipstir. Aynı çapta iki boru birbirine dik açıyla birleştiğinde, yani bir T bağlantısında, kesişim çizgisi iki yandan aşağı inen, ortada yükselen bir eğridir; bu biçime eyer eğrisi denir, çünkü bir at eyerinin kenarına benzer. Bir silindir bir kürenin merkezinden geçecek şekilde ona girdiğinde ise kesişim bir dairedir ve açıdan görüldüğünde bir elips olarak çizilir.

İki boru aynı çapta değilse eğri değişir. İnce bir boru kalın bir boruya dik girdiğinde kesişim çizgisi daha az eğilir ve bir elipse yaklaşır, çünkü ince boru kalın borunun yüzeyinde neredeyse düz sayılabilecek küçük bir alana değer. Çaplar birbirine yaklaştıkça eğri derinleşir ve eyer biçimi belirginleşir.

Bu durumları ezberlemek gerekmez. Önemli olan, her birinde çizginin iki formun kesitlerinden çıktığını görmektir. Kesitleri çizebildiğin sürece, hiç görmediğin bir bağlantının kesişim çizgisini de bulabilirsin.

Hangi form hangisini sarar?

Üretilmiş nesnelerde kesişim çizgisi keskindir: bir borunun bir kutuya girdiği yer net bir kenardır. Canlı biçimlerde ise formlar birbirine akar ve kesişim yumuşar. Burada sorulacak ikinci soru, hangi formun ötekinin üstüne bindiği, yani hangisinin ötekini sardığıdır.

Omuzda omuz kası, kolun üst ucunu dıştan bir başlık gibi sarar; kol omzun altından çıkıyormuş gibi görünür. Bu yüzden kolun konturu omzun konturunun altına girer, onun üstünden geçmez. Bu binmeler, bir önceki modülde gördüğün örtüşmenin formun içindeki hâlidir: kontur çizgisi bir formun ötekinin önünde olduğu yerde kesintisiz sürer, arkasında kaldığı yerde öbür formun konturuna girip kaybolur.

Organik bir bağlantıyı kurarken önce formları basit geometrik parçalar olarak yerleştirmek, sonra kesişimi çapraz konturla bulmak, en son hangi formun ötekini sardığına bakarak çizgiyi yumuşatmak işe yarar. Leonardo'nun omuz sayfası, bu katmanları tek tek açarak gösterir.

Uygulama

Üç temel kesişimi kurduğun bir sayfa. Bir kâğıt, açık ve koyu iki kalem yeterli.

1. Bir kutu çiz ve üst yüzüne dik giren bir silindir ekle; silindirin kutunun yüzeyine değdiği yeri bir elips olarak kur.
2. Yatay duran bir silindir çiz ve üstünden dik açıyla aynı çapta ikinci bir silindir indir; iki silindirin üstüne birleşme yerine yakın üçer çapraz kontur geçir.
3. Çapraz konturların birbirine değdiği noktaları işaretle ve birleştir; ortaya çıkan eyer eğrisini koyu kalemle çiz.
4. Bir küre çiz ve merkezinden geçecek şekilde ona giren bir silindir ekle; kesişimi, açıdan görülen bir elips olarak çiz.
5. Aynı sayfada bir kolun omza bağlandığı yeri, üst kol için bir silindir ve omuz için bir küre kullanarak kur; sonra omuz kasının kolu sardığı yerde konturu yumuşat.
6. Her kesişimin yanına, çizgiyi bulmak için kaç çapraz kontur kullandığını not et.

Sık yapılan hatalar

Kapanış

Kol gövdeye nasıl bağlanır? Cevap geometride: iki formun yüzeyleri bir kesişim çizgisinde buluşur ve bu çizginin biçimi formların kesitlerinden çıkar. Çapraz konturları birleşim yerine yakın geçirip değdikleri noktaları bulmak, kutuya giren silindirin elipsini, iki borunun eyer eğrisini ve kürenin içinden geçen silindirin dairesini ortaya çıkarır. Canlı biçimlerde buna bir soru daha eklenir: hangi form ötekini sarıyor? Monge'un tasarı geometrisi ve Leonardo'nun omuz çizimleri aynı soruya iki ayrı yoldan cevap verir.

Bu dersle şekil ve form modülü tamamlanıyor. Ödevde silindir ile küpün ve küre ile silindirin kesişimlerini kuracaksın.

Kavram sözlüğü

Ödev

Silindir-küp ve küre-silindir kesişimlerini çiz.

1. Bir küp çiz ve farklı yüzlerine giren üç silindir ekle: biri üst yüze dik, biri yan yüze dik, biri yan yüze eğik.
2. Her silindirin küpün yüzeyine değdiği yeri çapraz konturlarla bularak çiz.
3. Bir küre çiz ve ona giren iki silindir ekle: biri kürenin merkezinden geçen, öbürü merkezden kaçık.
4. Merkezden kaçık silindirin kesişim çizgisinin daire olmadığını, çapraz konturlarla bulduğun noktalardan göster.
5. Son olarak kendi kolunu aynaya bakarak basit formlarla kur ve omza bağlandığı yeri sarma ilişkisine göre yumuşat.

Kendini değerlendir

• Oran ve Çizim: Silindirlerin çapları ve küpe göre büyüklükleri tutarlı mı?
• Kenar ve Ayrıntı: Kesişim çizgileri düz değil, formların eğrisini izleyen biçimde mi?
• Teknik ve Malzeme: Çapraz kontur yardımcı çizgileri açık, son kesişim çizgileri koyu mu?
• Kol çiziminde omuz kasının kolu sardığı yerde konturlar doğru sırayla mı kesişiyor?

Kendini sına

1. Kesişim çizgisi neyi anlatır?

• A) Formların rengini.
• B) İki formun yüzeylerinin nerede ve nasıl buluştuğunu.
• C) Işığın yönünü.
• D) Kâğıdın kenarını.

2. Aynı çaptaki iki silindir dik açıyla birleştiğinde kesişim çizgisi nasıl görünür?

• A) Düz bir çizgi.
• B) Tam bir daire.
• C) İki yandan inip ortada yükselen bir eyer eğrisi.
• D) Bir üçgen.

3. Kesişim çizgisini bulmanın en güvenilir yolu hangisidir?

• A) Birleşim yerine yakın her iki formun üstünden çapraz kontur geçirip değdikleri noktaları birleştirmek.
• B) Düz bir çizgi çekmek.
• C) Formlardan birini silmek.
• D) Kesişimi gölgeyle gizlemek.

4. Omuz ile kolun bağlantısında kolun konturu nasıl davranır?

• A) Omzun üstünden geçer.
• B) Keskin bir köşeyle biter.
• C) Tamamen kaybolur.
• D) Omuz kası kolu sardığı için omzun konturunun altına girer.

5. Bir silindir bir kürenin merkezinden geçecek şekilde ona girdiğinde kesişim çizgisi nedir?

• A) Bir eyer eğrisi.
• B) Açıdan elips olarak görünen bir daire.
• C) Düz bir çizgi.
• D) Bir spiral.

Cevaplar

1. B — Kesişim çizgisi iki yüzeyin buluştuğu yerdir ve iki formun birbirine nasıl bağlandığını anlatan bilgiyi taşır.
2. C — Aynı çaplı iki silindirin dik birleşiminde kesişim, iki yandan inen ve ortada yükselen eyer eğrisidir.
3. A — Çapraz konturlar her iki formun kesitini gösterir; birbirine değdikleri noktalar kesişim çizgisinin noktalarıdır.
4. D — Omuz kası kolun üst ucunu dıştan sarar; bu yüzden kolun konturu omzun konturunun altına girer.
5. B — Silindir kürenin merkezinden geçtiğinde kesişim bir dairedir ve açıdan bakıldığında elips olarak çizilir; merkezden kaçınca bu artık daire olmaz.

Referans görseller

• Gaspard Monge, Géométrie descriptive, Paris, 1799; silindir ve küre kesişimlerinin izdüşümlerle kurulduğu levhalar, dijital kopyası açık erişimde.
• Özgün şema: üç temel kesişim; kutuya giren silindir, T bağlantısındaki eyer eğrisi, küreden geçen silindir; çapraz konturlar ve bulunan noktalar işaretli.
• Özgün fotoğraf: bir kupanın sapı ve gövdeye oturduğu kıvrık kesişim çizgisi yakın planda.

Sonraki derse köprü

Şekil ve form modülü burada bitiyor. Bundan sonra bu formları doğru büyüklükte ve doğru oranda çizmek gerekecek. Sonraki modülün ilk dersi, beynimizin boyutlar konusunda bizi neden yanılttığını soruyor: göz kararının nerede güvenilir olduğunu, nerede ölçüme ihtiyaç duyulduğunu orada göreceğiz.