Renk sapmalarını önceden yakalamak: istatistiksel süreç kontrolü

Kısa cevap

Her parti tolerans içinde ölçülse de süreç sorunlu olabilir, çünkü tolerans yalnız her partinin kabul edilip edilmeyeceğini söyler, sürecin nereye gittiğini söylemez. Bir boya partisi, bir pigment teslimatı ya da bir makine ayarı rengi her partide biraz daha aynı yöne itebilir; bu kayma uzun süre toleransın içinde kalır ve ölçümlerin hiçbiri reddedilmez. Kontrol grafikleri ise ölçümleri sürecin kendi doğal dağılımıyla karşılaştırır ve bir eğilimi, tolerans aşılmadan çok önce, çoğu zaman düzinelerce parti önce yakalar.

Tolerans ile süreç: iki ayrı soru

EN-01 bir tolerans şartnamesinin nasıl yazılacağını, EN-04 bir rengin çok tedarikçili bir zincirde nasıl korunacağını anlattı. İkisi de tek bir soruya cevap verir: bu parti kabul edilir mi? Bu ders başka bir soru soruyor: bu süreç yarın da kabul edilebilir partiler üretecek mi?

İki soru aynı şey değildir. Bir boyahanenin son otuz partisinin hepsi ΔE00 2'lik toleransın içinde olabilir. Ama partiler art arda biraz daha sarıya kayıyorsa, süreç bir yöne sürükleniyordur ve bir gün toleransı aşacaktır. O güne kadar geçen sürede boyanmış, kesilmiş, dikilmiş ürünler artık aynı rafta yan yana durduğunda birbirini tutmaz. EN-04'teki beş tedarikçinin standartları gibi, bu partiler de tek tek kabul edilebilir ama birlikte sorunludur.

İstatistiksel süreç kontrolü bu ikinci soruyu sormak için geliştirildi. NIST'in istatistik el kitabına göre Walter Shewhart 1920'lerde kontrol grafikleri için genel bir model önerdi ve bu model bugün de sanayinin temel aracıdır.

Kontrol sınırı ile şartname sınırı

Kontrol grafiğinin en çok karıştırılan yanı, üzerindeki sınırların anlamıdır. Kontrol sınırları müşterinin istediğinden değil, sürecin kendisinden hesaplanır. Shewhart modelinde merkez çizgi sürecin ortalamasıdır; üst ve alt sınırlar bu ortalamadan belirli sayıda standart sapma uzaktadır. NIST'e göre bu sayı tarihsel olarak 3 olarak yerleşmiştir ve sanayide kabul görmüş bir standarttır.

Bu ayrımın sonucu şaşırtıcıdır. Bir ölçüm şartnamenin içinde kalıp kontrol sınırının dışına çıkabilir: ürün kabul edilebilir, ama süreçte olağan dağılımla açıklanamayan bir şey olmuştur. Tersi de mümkündür: bir süreç kararlı olabilir, yani bütün noktalar kontrol sınırlarının içinde kalabilir, ama dağılımı toleranstan geniş olduğu için düzenli olarak ret üretebilir. Birinci durum bir değişimin, ikincisi yetersiz bir sürecin işaretidir.

Kontrol sınırlarını güvenle hesaplamak için yeterli veri gerekir. NIST, Shewhart'ın bir sürecin istatistiksel kontrol altında olduğuna, aynı koşullarda alınmış ve kontrol altında görünen, dörder ölçümlük en az yirmi beş örnekten oluşan bir dizi elde edilmeden hükmedilemeyeceği yolundaki kuralını aktarır. Renk üretiminde çoğu zaman her parti tek bir ölçümle temsil edilir; bu durumda bireysel ölçüm grafiği kullanılır.

Bireysel ölçüm grafiği

Her partinin tek bir renk değeri varsa, dağılım art arda gelen iki partinin farkından tahmin edilir. İki ardışık ölçüm arasındaki mutlak farka hareketli aralık denir; bütün hareketli aralıkların ortalaması 1,128'e bölündüğünde sürecin standart sapmasının bir tahmini elde edilir. Kontrol sınırları ortalamanın üç standart sapma üstünde ve altında çizilir.

Renk ölçümünde hangi değerin grafiğe konacağı ayrı bir karardır. En kolay seçim toplam ΔE'dir, ama iyi bir seçim değildir. ΔE bir uzaklıktır ve hiçbir zaman sıfırın altına inmez; hedefin iki yanındaki sapmaları aynı sayıya çevirir ve yönü siler. Hedefin bir yanında toplanan ile iki yanına eşit dağılan iki süreç aynı ΔE ortalamasını verebilir. Bu yüzden renk süreçleri çoğunlukla L, a ve b* bileşenleri için ayrı grafiklerle ya da bu üç değeri birlikte değerlendiren çok değişkenli bir grafikle izlenir.

Kayma kuralları

Tek bir noktanın üç standart sapma sınırını aşması, süreçte bir şeyin değiştiğinin en belirgin işaretidir. Ama yavaş bir kayma çoğu zaman sınırı aşmadan önce başka biçimlerde görünür: noktalar merkez çizginin hep aynı yanında toplanır ya da sınıra yaklaşan noktalar sıklaşır. Bu örüntüleri yakalamak için geliştirilen kuralların en bilineni Western Electric şirketinin kurallarıdır.

Kuralların her biri tek başına az rastlanan bir olayı tarif eder. Süreç gerçekten kararlıysa ve dağılımı normalse, bunların hiçbiri sık görülmez. Birden fazla kural aynı anda kullanıldıkça kaymayı yakalama gücü artar, ama yanlış alarm olasılığı da artar. Kural setini seçmek, kaçırılan bir kaymanın maliyetini boşuna durdurulan bir üretimin maliyetiyle tartmaktır.

Bir simülasyon: tolerans uyumadan önce

Kartın sorusunu bir simülasyonla somutlaştıralım. Hedef rengi, seride ortadaki ten olan C68863 olan bir ürün düşünelim ve 120 parti üretelim. İlk otuz partide her partinin L, a ve b değerleri hedefin çevresinde, sırasıyla 0,25, 0,15 ve 0,20 birimlik standart sapmayla rastgele dağılıyor. 31. partiden sonra süreçte bir şey değişiyor: b değeri her partide ortalama 0,06 birim artıyor, yani ürün yavaş yavaş sarıya kayıyor. Tolerans, EN-01'deki örnek gibi ΔE00 en fazla 2'dir.

Kontrol sınırlarını ilk 25 partiden hesapladık. Bu partilerde b* ortalaması 29,31, hareketli aralıktan tahmin edilen standart sapma 0,18, üst kontrol sınırı 29,85 çıktı. Ardından her yeni partiyi Western Electric kurallarıyla denetledik:

Kontrol grafiği kaymayı 37. partide, b* yalnızca 0,42 birim kaymışken ve o partinin rengi hedefe ΔE00 0,31 uzaklıktayken yakaladı. Tolerans ise 91. partiye kadar hiçbir şey söylemedi. Aradaki 54 parti boyunca bütün ölçümler «kabul» dedi; süreç ise ilk alarmdan beri bir yöne sürükleniyordu. Tablo şunu söyler: tolerans içindeki ölçümler, sürecin kararlı olduğunu değil, yalnızca henüz toleransı aşmadığını gösterir.

Simülasyon bir modeldir. Gerçek bir süreçte kaymanın hızı, dağılımın büyüklüğü ve alarmın ne zaman geleceği farklıdır. Ama ilkeyi gösterir: kontrol grafiği ürünün hedefe uzaklığını değil, sürecin kendi geçmişinden sapmasını izler ve bu sapma, ürünün toleranstan çıkmasından çok önce görünür.

Alarm geldiğinde

Bir kontrol grafiği alarm verdiğinde ilk soru, alarmın gerçek olup olmadığıdır. Süreç tamamen kararlı olsa bile, normal dağılan bir ölçümün ortalamadan üç standart sapmadan fazla uzaklaşma olasılığı yaklaşık binde 2,7'dir; NIST'in yeterlilik tablosundaki Cp 1,00 için verilen yüzde 0,27'lik ret oranı da aynı olasılıktan gelir. Bu, yalnız birinci kural kullanıldığında, kararlı bir süreçte ortalama olarak aşağı yukarı her 370 noktada bir yanlış alarm beklenebileceği anlamına gelir. Kurallar eklendikçe bu sıklık artar.

Bu yüzden bir alarm, üretimi otomatik olarak durdurmak için değil, bir soruşturmayı başlatmak için bir işarettir. Soruşturmanın sırası da bellidir. İlk bakılan ölçümdür: cihaz referans numunesinde hâlâ doğru okuyor mu, numune doğru hazırlandı mı, ölçüm koşulu değişti mi? Ardından sürece bakılır: yeni bir hammadde teslimatı geldi mi, bir makine ayarı değişti mi, reçete güncellendi mi, vardiya ya da operatör değişti mi? Bir özel neden bulunursa ortadan kaldırılır ve kontrol sınırları ancak süreç yeniden kararlı hâle geldikten sonra, yeni verilerle yeniden hesaplanır.

Alarmın kendisi kadar, alarma verilen cevabın kayda geçirilmesi de önemlidir. Her alarmın yanına bulunan nedeni ve yapılan düzeltmeyi yazan bir laboratuvar, zamanla hangi nedenlerin en sık tekrarlandığını da görür. Bu kayıt, sürecin kendisini iyileştirmenin, yani dağılımı daraltmanın ve Cpk'yı yükseltmenin başlangıç noktasıdır.

Süreç yeterliliği

Kontrol grafiği sürecin kararlı olup olmadığını söyler; kararlı bir sürecin toleransa uyup uymadığını ise süreç yeterlilik endeksleri söyler.

Simülasyondaki b* bileşeni için hedefin iki yanında ±1,2 birimlik bir bileşen toleransı düşünelim. İlk 25 partide Cpk yaklaşık 2,0'dı: süreç toleransın yalnızca yarısını kullanıyordu. Son yirmi partide ise ortalama 30,64'e kaymıştı ve aynı standart sapmayla Cpk sıfırın altına düştü: sürecin ortalaması artık toleransın dışındaydı. Yeterlilik endeksi, bir sürecin ne kadar güvenlik payı taşıdığını tek sayıyla gösterir; ama yalnız kararlı bir süreç için anlamlıdır. Kayan bir süreçte endeksi hesaplamak, hareket eden bir hedefi tek bir fotoğrafla ölçmeye benzer.

Renk üç boyutludur: Hotelling T²

Her bileşen için ayrı bir grafik tutmak kolaydır, ama bir sorunu vardır. Bileşenler çoğu zaman birbirinden bağımsız değildir: bir boyanın konsantrasyonu arttığında renk hem koyulaşır hem doygunlaşır, yani L* ile kroma birlikte hareket eder. Üç ayrı grafik bu birlikte hareketi göremez ve her biri kendi yanlış alarm olasılığını taşır.

NIST el kitabı, Hotelling'in 1947'de tanıttığı T² dağılımının tek değişkenli Student t'nin çok değişkenli karşılığı olduğunu ve belirli çok değişkenli kontrol grafiklerinin temelini oluşturduğunu yazar. Renk için anlamı şudur: T², bir partinin L, a ve b* değerlerinin birlikte, sürecin olağan dağılımının dışına çıkıp çıkmadığını sorar. ΔE'den farkı, hedefe göre değil sürecin kendi dağılımına göre ölçmesi ve bileşenler arasındaki ilişkiyi hesaba katmasıdır.

Ölçüm sistemi analizi

Bir kontrol grafiği yalnız ölçümün kendisi kadar güvenilirdir. Cihazın kendi dağılımı sürecin dağılımına eklenir ve ikisi grafikte ayırt edilemez. Cihaz çok gürültülüyse, grafik gerçek süreç değişimlerini cihazın gürültüsü içinde kaybeder; cihaz kayarsa, grafik sürecin kaydığını sanır.

NIST el kitabı, üretimde kullanılan cihazların başarımını ölçmek için bu çalışmaların adımlarını sıralar: tekrarlanabilirlik, tekrar üretilebilirlik ve kararlılığın sayısallaştırılması, sapma, çözünürlük, doğrusallık, kayma ve cihazlar ile geometriler arasındaki farklar. EN-04'teki Wyble ve Rich çalışması da renk cihazları için tekrarlanabilirliği ve cihazlar arası tekrar üretilebilirliği bu mantıkla karşılaştırmıştı. Pratikte bir renk laboratuvarı, aynı referans numunesini her gün aynı cihazla ölçer ve bu ölçümleri de kendi kontrol grafiğine işler; cihazın kendisi bir süreçtir.

Adım adım: bir renk sürecini kontrol altına almak

1. Ölçüm sistemini doğrulayın: aynı referans numunesini birkaç gün boyunca tekrar tekrar ölçün, cihazın dağılımını belirleyin ve bu dağılımın tolerans yanında küçük kaldığından emin olun.
2. Veriyi toplayın: süreç bilinen hiçbir değişiklik olmadan çalışırken en az yirmi beş partiyi aynı koşullarda ölçün.
3. Sınırları hesaplayın: üç renk bileşeninin her birinde ortalamayı ve hareketli aralıktan standart sapmayı bulun, merkez çizgiyi ve üç standart sapma sınırlarını çizin; bileşenler birlikte hareket ediyorsa çok değişkenli bir grafiği de değerlendirin.
4. Kuralları seçin: hangi Western Electric kurallarının alarm üreteceğini ve bir alarmda ne yapılacağını önceden yazın.
5. Her partiyi işleyin: yeni ölçümü grafiğe koyun, hem toleransa hem kontrol sınırlarına göre değerlendirin ve bir alarmda özel nedeni, örneğin yeni bir boya teslimatını ya da bir makine ayarını arayın.
6. Yeterliliği izleyin: süreç kararlıyken belirli aralıklarla Cpk hesaplayın; düşüyorsa, tolerans henüz aşılmasa bile güvenlik payının azaldığını bilin.

Örnek — aynı cihaz, dört ten

Ölçüm sistemi analizinin ten rengi ürünlerde neden ayrı bir önem taşıdığını bir hesapla gösterebiliriz. Bir renk ölçüm cihazının, ölçtüğü üç renk değerinin her birinde 0 ile 1 arasındaki ölçekte 0,0005 büyüklüğünde rastgele bir gürültü taşıdığını varsayalım. Bu gürültü, ölçülen ışık miktarında her numune için aynıdır. Serinin dört ten örneğini bu cihazla 2000 kez ölçtüğümüzü düşündük ve her tende ölçümlerin ne kadar dağıldığını hesapladık:

Aynı cihaz, en açık tende ortalama 0,13 birimlik bir tekrar farkı üretirken, en koyu tende 0,90 birim üretir, yani yedi kat kadar fazla. Neden EN-03 ve EN-04'tekiyle aynıdır: koyu numuneden cihaza az ışık döner ve cihazın sabit gürültüsü bu az ışığın yanında büyük kalır. Bunun kontrol grafiği için sonucu açıktır. En koyu ton için çizilen bir grafiğin dağılımının büyük kısmı üründen değil cihazdan gelir; gerçek bir süreç kayması bu gürültünün içinde daha geç görünür. Koyu tonlar da üreten bir markanın, ölçüm sistemi analizini her ton için ayrı yapması ve gerekiyorsa koyu tonlarda birden fazla ölçümün ortalamasını alması gerekir. Hesap bir modeldir ve gürültü büyüklüğü belirli bir cihaza ait değildir; ama oranın yönü cihazdan bağımsızdır.

Sık yapılan yanlış

Özet

1. Tolerans bir partinin kabul edilip edilmeyeceğini, kontrol grafiği sürecin kararlı olup olmadığını söyler; kontrol sınırları sürecin kendi dağılımından, çoğunlukla ortalamanın üç standart sapma üstünde ve altında hesaplanır.
2. Western Electric kuralları yavaş kaymaları sınır aşılmadan önce yakalar; simülasyonda kontrol grafiği kaymayı 37. partide, ΔE00 0,31 iken yakaladı, tolerans ise 91. partide aşıldı. Cp ve Cpk kararlı bir sürecin toleransa göre güvenlik payını gösterir.
3. Renk üç boyutlu olduğu için bileşen grafikleri ya da Hotelling T² kullanılır; ölçüm sistemi analizi cihazın payını ayırır. Aynı cihaz gürültüsü, en koyu ten örneğinde en açık tendekinin yedi katı kadar bir tekrar farkı yaratır.

Kendini sına

1. (Kolay) Kontrol sınırı ile şartname sınırı arasındaki fark nedir?
2. (Kolay) Bireysel ölçüm grafiğinde sürecin standart sapması nasıl tahmin edilir?
3. (Orta) Tüm ölçümler tolerans içindeyken süreçte neden hala sorun olabilir?
4. (Orta) Toplam ΔE'yi kontrol grafiğine koymak neden iyi bir seçim değildir?
5. (Zor) Cpk kayan bir süreç için neden yanıltıcı olabilir?
6. (Zor) Aynı cihaz gürültüsü neden en koyu ten örneğinde en büyük tekrar farkını üretir ve bu kontrol grafiğini nasıl etkiler?

Cevaplar

1. Kontrol sınırı sürecin kendi doğal dağılımından hesaplanır ve sürecin kararlı olup olmadığını gösterir; şartname sınırı müşterinin ya da tasarımın belirlediği toleranstır ve ürünün kabul edilip edilmeyeceğini gösterir. Bkz. "Kontrol sınırı ile şartname sınırı".
2. Art arda gelen iki ölçümün mutlak farkı olan hareketli aralıkların ortalaması 1,128'e bölünerek. Bkz. "Bireysel ölçüm grafiği".
3. Çünkü tolerans yalnız her partinin kabulünü söyler, sürecin yönünü söylemez; yavaş bir kayma uzun süre toleransın içinde kalabilir. Simülasyonda kontrol grafiği kaymayı 37. partide yakaladı, tolerans ise ancak 91. partide aşıldı. Bkz. "Bir simülasyon".
4. Çünkü ΔE hiçbir zaman sıfırın altına inmeyen bir uzaklıktır; hedefin iki yanındaki sapmaları aynı sayıya çevirir ve kaymanın yönünü gösteremez. Bkz. "Bireysel ölçüm grafiği".
5. Çünkü Cpk kararlı bir süreç varsayar ve tek bir dönemin ortalamasını ve dağılımını kullanır; süreç kayıyorsa endeks hesaplandığı andaki durumu gösterir ve birkaç parti sonra geçersiz kalır. Simülasyonda b* için Cpk ilk 25 partide yaklaşık 2,0 iken son yirmi partide sıfırın altına düştü. Bkz. "Süreç yeterliliği".
6. Çünkü koyu numuneden cihaza çok az ışık döner ve sabit cihaz gürültüsü bu ışığın yanında büyük kalır; modelde tekrar farkı en açık tende 0,13, en koyu tende 0,90'dır. Kontrol grafiğinin dağılımının büyük kısmı cihazdan gelir ve gerçek kaymalar daha geç görünür. Bkz. "Örnek".

Kaynaklar

• NIST/SEMATECH, «e-Handbook of Statistical Methods», bölüm 6.3.2 «What are Variables Control Charts?» ve 6.3.2.2 «Individuals Control Charts», itl.nist.gov.
• NIST/SEMATECH, «e-Handbook of Statistical Methods», bölüm 6.1.6 «What is Process Capability?», itl.nist.gov.
• NIST/SEMATECH, «e-Handbook of Statistical Methods», bölüm 6.5.4.3 «Hotelling's T squared», itl.nist.gov.
• NIST/SEMATECH, «e-Handbook of Statistical Methods», bölüm 2.4 «Gauge R & R studies», itl.nist.gov.
• Wyble, D. R. ve Rich, D. C., «Evaluation of methods for verifying the performance of color-measuring instruments. Part I: Repeatability», Color Research & Application 32(3): 166–175, 2007.

Sonraki adım

EN-06 süreci izlemekten reçeteyi hesaplamaya geçiyor: Kubelka–Munk kuramını, pigment veritabanı oluşturmayı, reçete önerisi ve düzeltme turlarını, metamerizm indeksine göre reçete seçimini ve masterbatch'i anlatıyor ve aynı rengi veren iki reçeteden hangisinin neden tercih edilmesi gerektiğini soruyor. Kontrol grafiğinin dayandığı tolerans kararına dönmek isteyen okur için EN-01 var.