Olasılıkta sık yapılan hatalar

Kanca

Bir çay ocağında iki memur yazı tura atıyor. Para art arda beş kez tura gelmiş. Birisi "şimdi kesin yazı gelir, artık sırası geldi" diyor; öbürü "hayır, para tura moduna girdi, yine tura gelir" diye karşı çıkıyor. İkisi de yanılıyor. Paranın hafızası yoktur; altıncı atış da ilk atış gibi yarı yarıya sonuçlanır.

Olasılık hesabı çoğu zaman tek bir bölmedir, ama sezgi bu bölmenin payını ya da paydasını sessizce değiştirir. 2.9.4'te tanım, tümleyen, birleşim ve torbadan çekme kurallarını gördük; o derste örnek uzayı yanlış kurmak ve ortak sonucu iki kez saymak gibi hatalara da değindik. Bu ders, kurallar bilindiği hâlde sonucu bozan başka hataları ele alıyor ve her birini bir seçeneğe dönüştüğü yerde yakalamayı öğretiyor.

Büyük resim

Olasılık hataları büyük ölçüde üç kaynaktan doğar. Birincisi sezgidir: geçmiş sonuçların geleceği etkilediğini sanmak, ya da "iki sonuç var, demek ki yarı yarıya" demek. İkincisi dildir: "en az bir" ile "tam bir", "ayrık" ile "bağımsız", "biliniyor" ile "isteniyor" arasındaki farkı gözden kaçırmak. Üçüncüsü saymadır: sırasız sonuçları eşit şanslı sanmak ya da verilen bilgiye rağmen paydayı daraltmamak.

Bu hataların ortak noktası, her birinin makul görünen ve çoğu zaman seçeneklerde yer alan bir kesir üretmesidir. Bu yüzden ustalık, doğru formülü bilmekten çok, bulunan sonucun hangi hatanın ürünü olabileceğini tanımaktır. Sonucu bir kez de "bu sayı hangi yanlış okumadan çıkardı?" diye sınamak, bu derste kurulacak alışkanlıktır.

Kavram çekirdeği

Kumarbaz yanılgısı: bağımsız olayın hafızası yoktur

Hilesiz bir paranın her atışı öncekilerden bağımsızdır. Art arda dört tura gelmiş olması, beşinci atışın olasılığını değiştirmez; yazı da tura da 1/2'dir. Karışıklık, iki farklı sorunun birbirine karıştırılmasından doğar. "Beş atışın beşinin de tura gelme olasılığı" atışlar başlamadan sorulursa cevap (1/2)⁵ = 1/32'dir. Ama dört tura zaten gelmişse soru yalnız beşinci atışla ilgilidir ve cevap 1/2'dir. Seçeneklerde 1/32 ya da 1/16 görmek, bu karışıklığın tuzağıdır.

İki sonuç, eşit şans değildir

"Ya olur ya olmaz, demek ki 1/2" cümlesi, olasılığı sonuç sayısıyla karıştırır. İki para atıldığında "bir yazı bir tura" sonucunun olasılığını bulurken sırasız sonuçlar, yani "iki yazı", "iki tura" ve "bir yazı bir tura" sayılırsa 1/3 bulunur. Oysa eşit şanslı sonuçlar sıralıdır: YY, YT, TY, TT. Bir yazı bir tura olayı YT ve TY olmak üzere iki sonuç içerir ve olasılığı 2/4 = 1/2'dir. 2.9.4'teki iki zar örneğiyle aynı ders burada da geçerlidir: sonuçlar eşit şanslı değilse sayılamaz.

"En az bir" ile "tam bir" farkı

Bir çift zarda "en az bir 6" ile "tam bir 6" farklı olaylardır. En az bir 6, iki 6'yı da içerir: 11 sonuç, olasılık 11/36. Tam bir 6 ise (6, 6)'yı dışarıda bırakır: 10 sonuç, olasılık 10/36 = 5/18. Soru metnindeki tek bir kelime sonucu değiştirir. Üç para atıldığında en az bir tura gelme olasılığı 1 - 1/8 = 7/8'dir; tam bir tura gelme olasılığı ise YYT, YTY, TYY sonuçlarıyla 3/8'dir.

Bu tür sorularda olasılıkları toplamak da tehlikelidir. Üç atışın her birinde tura gelme olasılığı 1/2 diye "en az bir tura" için 1/2 + 1/2 + 1/2 = 3/2 yazmak, 1'den büyük bir olasılık verir. Olasılığın 1'i aşması, ortak sonuçların çok kez sayıldığının kesin işaretidir.

Ayrık ile bağımsız aynı şey değildir

Ayrık olaylar birlikte gerçekleşemez; bağımsız olaylarda biri öbürünün olasılığını değiştirmez. Bu iki kavram sık karıştırılır, oysa olasılığı sıfırdan büyük iki ayrık olay bağımsız olamaz. Tek zar atışında "çift gelme" ile "tek gelme" ayrıktır: ikisi birlikte olmaz ve P(A ∩ B) = 0'dır. Bağımsız olsalardı P(A ∩ B) = 1/2 · 1/2 = 1/4 olması gerekirdi. Tersine, birinin çift gelmesini bilmek öbürü hakkında her şeyi söyler: tek gelmemiştir. Ayrık olaylarda olasılıklar toplanır, bağımsız olaylarda çarpılır; hangisinin söz konusu olduğunu karıştırmak, toplama yerine çarpma ya da çarpma yerine toplama yazmak demektir.

Koşullu olasılık: verilen bilgi paydayı daraltır

Soru "biliniyor", "olduğuna göre", "gelen sayının çift olduğu görülüyor" gibi bir bilgi veriyorsa örnek uzay değişir. Bir zar atılmış ve gelen sayının çift olduğu biliniyorsa artık yalnız {2, 4, 6} mümkündür. Sayının 3'ten büyük olma olasılığı bu üç sonuçtan ikisiyle, yani 4 ve 6 ile, 2/3'tür. Bilgiyi yok sayıp 6 sonuç üzerinden 3/6 = 1/2 hesaplamak ya da payı 2 alıp paydayı 6 bırakmak, iki ayrı yanlış sonuç üretir.

İki zar atıldığında toplamın 8 olduğu biliniyorsa örnek uzay (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2) olmak üzere 5 sonuçtur. Zarlardan birinin 6 olma olasılığı 2/5'tir. Burada iki hata birden pusudadır: sırasız sayıp {2, 6}, {3, 5}, {4, 4} üzerinden 1/3 bulmak ve koşulu yok sayıp 36 sonuç üzerinden hesaplamak.

Bir örnek

Soru: Bir torbada 3 kırmızı ve 2 beyaz top vardır. Torbadan aynı anda iki top çekiliyor. Çekilen topların farklı renkte olma olasılığı kaçtır?

Çözüm: İki top birlikte çekildiği için sıra yoktur ve sonuçlar C(5, 2) = 10'dur. Farklı renk için bir kırmızı ve bir beyaz seçilir: 3 · 2 = 6. Olasılık 6/10 = 3/5'tir. Ardışık çekme ile de aynı sonuca varılır, ama iki sıra hesaba katılmalıdır: önce kırmızı sonra beyaz 3/5 · 2/4 = 3/10, önce beyaz sonra kırmızı 2/5 · 3/4 = 3/10; toplam 3/5.

A) 3/10. Yalnız "önce kırmızı sonra beyaz" sırası hesaplanmıştır; öbür sıra unutulmuştur.

B) 6/25. Çekilen top geri konmuş gibi 3/5 · 2/5 hesaplanmış ve tek sıra alınmıştır. İki hata birden vardır.

C) 1/2. "Ya aynı renk ya farklı renk, iki sonuç var" diye düşünülmüştür; sonuç sayısı olasılık sanılmıştır.

D) 3/5. 10 eşit şanslı ikiliden 6'sı farklı renktedir. Ardışık çekmede iki sıranın toplamı da aynı sonucu verir.

E) 12/25. İki sıra hesaba katılmış ama top geri konmuş gibi paydalar azaltılmamıştır: 2 · 3/5 · 2/5.

Aranan seçenek D. Yanlış seçeneklerin her biri bu dersteki bir hatanın tam karşılığıdır: sırayı unutmak, geri koymayı yanlış okumak, sonuç sayısını olasılık sanmak.

Görsel harita

Olasılık sonucunu denetleme sırası

1. Sonuç 0 ile 1 arasında mı?
2. Örnek uzaydaki sonuçlar eşit şanslı mı, sıralı mı sayıldı?
3. Soruda "biliniyor" ya da "olduğuna göre" varsa payda daraltıldı mı?
4. "En az" ile "tam" ayrımı doğru okundu mu?
5. Ardışık çekmede geri koyma durumu ve bütün sıralar hesaba katıldı mı?

Sınav gözüyle

Olasılık sorularında seçenekler tek bir doğru ile birkaç "neredeyse doğru" kesirden oluşabilir. Bu kesirler rastgele olmayabilir; her biri bir okuma hatasının sonucu olabilir. Bu yüzden bulunan sonuç seçeneklerde yer alıyor diye bırakılmamalı, en az bir denetim sorusuyla sınanmalıdır. Denetim sorusu çoğu zaman kısadır: "Sırayı saydım mı?", "Koşulu kullandım mı?", "En az mı, tam mı?"

Koşullu olasılık soruları özellikle dikkat ister, çünkü soru metni bilgiyi çoğunlukla bir yan cümleyle verir: "çekilen topun kırmızı olduğu bilindiğine göre", "gelen sayı çift olduğuna göre". Bu yan cümle, örnek uzayın artık değiştiğini söyler. Onu atlayan çözüm, payı doğru bulsa bile yanlış paydaya böler.

Hafıza kancaları

• "Paranın hafızası yok" — her atış yeniden 1/2.
• "Sonuç sayısı olasılık değildir" — eşit şanslı sonuçları say.
• "Biliniyorsa payda küçülür" — koşullu olasılık.
• "En az bir çifti de sayar, tam bir saymaz" — (6, 6) sorusu.
• "Ayrık toplanır, bağımsız çarpılır" — iki kavramı karıştırma.

Mini test

1. (kolay) Hilesiz bir para art arda 4 kez atılmış ve her seferinde tura gelmiştir. Beşinci atışta yazı gelme olasılığı kaçtır?

A) 1/32 B) 1/2 C) 4/5 D) 1/16 E) 31/32

2. (kolay) İki hilesiz para birlikte atılıyor. Paralardan birinin yazı, öbürünün tura gelme olasılığı kaçtır?

A) 1/3 B) 1/4 C) 3/4 D) 1 E) 1/2

3. (orta) Bir zar atılıyor ve gelen sayının çift olduğu görülüyor. Buna göre sayının 3'ten büyük olma olasılığı kaçtır?

A) 2/3 B) 1/6 C) 1/2 D) 1/3 E) 3/4

4. (orta) Üç hilesiz para birlikte atılıyor. En az birinin tura gelme olasılığı kaçtır?

A) 3/2 B) 3/8 C) 7/8 D) 1/8 E) 1/2

5. (sınav) İki zar birlikte atılıyor ve üst yüzlerdeki sayıların toplamının 8 olduğu görülüyor. Buna göre zarlardan birinin 6 olma olasılığı kaçtır?

A) 11/36 B) 1/3 C) 1/18 D) 2/5 E) 1/5

Cevaplar

1. B — Atışlar bağımsızdır: 1/2. A, beş atışın hepsinin belli bir sonuç vermesinin olasılığıdır; D, dört turanın olasılığıdır.
2. E — YT ve TY: 2/4 = 1/2. A, sırasız üç sonucu eşit şanslı saymanın sonucudur.
3. A — {2, 4, 6} içinde 4 ve 6: 2/3. C, koşulu yok saymanın; D, payı daraltıp paydayı 6 bırakmanın sonucudur.
4. C — 1 - 1/8 = 7/8. A, olasılıkları toplamanın; B, tam bir turanın; D, hiç tura gelmemenin olasılığıdır.
5. D — 5 sonuçtan 2'si: 2/5. B, sırasız sonuçlarla saymanın; A, koşulu yok sayıp en az bir 6 olasılığını almanın; C, "toplam 8 ve bir zar 6" olasılığını 36 üzerinden hesaplamanın; E, yalnız bir sırayı saymanın sonucudur.

Özet kartı

• Bağımsız atışların hafızası yoktur; geçmiş sonuçlar sonraki atışın olasılığını değiştirmez.
• Olası sonuç sayısı olasılık değildir; yalnız eşit şanslı sonuçlar sayılır.
• Sırasız görünen sonuçlar çoğu zaman sıralı sayılmalıdır: YT ve TY ayrı sonuçlardır.
• "En az bir" ve "tam bir" farklı olaylardır; olasılıkları toplamak 1'i aşan sonuçlar verebilir.
• Ayrık olaylarda olasılıklar toplanır, bağımsız olaylarda çarpılır; sıfırdan büyük olasılıklı ayrık olaylar bağımsız değildir.
• Verilen bilgi örnek uzayı daraltır; koşullu olasılıkta payda bilinen sonuçlardır.
• Bulunan sonuç bir seçenekte olsa da hangi hatanın ürünü olabileceği sorulmalıdır.

Kaynaklar

Sonraki derse köprü

Bu ünitede rastlantının içindeki düzeni saydık ve ölçtük. Sayısal mantık soruları ise rastlantıyı değil, kuralı arar: bir sayı dizisinin sonraki terimi, bir örüntünün devamı. Ders 2.10.1, "Sayı dizileri ve örüntüler", ardışık terimler arasındaki ilişkiyi bulmanın yollarını ele alıyor.