Temel istatistik: ortalama, medyan, mod, açıklık

Kanca

Bir sokaktaki yedi hanenin aylık elektrik faturaları şöyle: 400, 450, 450, 500, 550, 600 ve 4.050 TL. Sonuncusu, evinin altında küçük bir marangoz atölyesi işleten bir aileye ait. Muhtar toplantıda "sokağımızda ortalama fatura 1.000 TL" diyor. Hesap doğrudur: yedi faturanın toplamı 7.000 TL'dir. Ama yedi haneden altısı 600 TL ya da daha az ödüyor ve hiçbiri 1.000 TL'ye yaklaşmıyor.

Aynı veri, hangi ölçüyle özetlendiğine göre farklı bir hikâye anlatır. Ortadaki hane 500 TL öder; en sık görülen tutar 450 TL'dir; en yüksek ile en düşük arasındaki fark 3.650 TL'dir. Bu ders bu dört ölçüyü, ortalama, medyan, mod ve açıklığı, nasıl hesaplandıklarını ve hangisinin ne zaman yanılttığını işliyor.

Büyük resim

İstatistik, bir veri listesini birkaç sayıyla özetlemeye çalışır. Merkezi eğilim ölçüleri, yani ortalama, medyan ve mod, verinin "tipik" değerini yakalamaya çalışır. Yayılım ölçüleri ise değerlerin bu merkezden ne kadar uzağa dağıldığını gösterir; bu derste en basit yayılım ölçüsü olan açıklık işleniyor.

Her ölçü verinin farklı bir yanını gösterir ve hiçbiri tek başına yeterli değildir. Sınav soruları çoğunlukla hesap ister, ama arkasındaki asıl beceri, uç bir değerin hangi ölçüyü ne kadar etkilediğini bilmektir. Ortalama hesabının bir kısmını 2.7.5'te tablo sorularında, ağırlıklı ortalamanın mantığını 2.6.5'te yüzde sorularında görmüştük; bu ders bu parçaları bir araya getiriyor.

Kavram çekirdeği

Aritmetik ortalama

Aritmetik ortalama, değerlerin toplamının değer sayısına bölümüdür. 4, 7, 7, 9, 13 için toplam 40, değer sayısı 5, ortalama 8'dir. Sorularda formülün tersi daha sık işe yarar: toplam = ortalama · değer sayısı. Bu eşitlik, eksik ya da çıkarılan değer sorularının anahtarıdır.

Beş sayının ortalaması 12 ise toplamları 60'tır. Bir sayı çıkarıldığında kalan dört sayının ortalaması 10 oluyorsa kalanların toplamı 40'tır ve çıkarılan sayı 60 - 40 = 20'dir. Ortalamaların farkı olan 2'yi çıkarılan sayı sanmak, bu soruların hazır çeldiricisidir.

Ortalamanın davranışı

Ortalama, verinin dönüşümlerine öngörülebilir biçimde tepki verir. Her değere aynı k sayısı eklenirse ortalama da k artar; her değer k ile çarpılırsa ortalama da k ile çarpılır. Elektrik faturalarının her birine 100 TL sabit ücret eklenseydi ortalama 1.100 TL olurdu. Listeye ortalamaya eşit bir değer eklenirse ortalama değişmez; ortalamadan büyük bir değer eklenirse ortalama artar, küçük bir değer eklenirse azalır.

Ağırlıklı ortalama

Farklı büyüklükteki grupların ortalamaları birleştirilirken grupların ortalamaları düz ortalanamaz. 20 öğrencili bir sınıfın not ortalaması 70, 30 öğrencili bir sınıfınki 80 ise iki sınıfın birleşik ortalaması 75 değildir. Toplamlar üzerinden gidilir: 20 · 70 + 30 · 80 = 1.400 + 2.400 = 3.800 puan, 50 öğrenci, ortalama 76. Kalabalık grup sonucu kendine doğru çeker.

Medyan

Medyan, değerler küçükten büyüğe sıralandığında ortaya düşen değerdir. Önce sıralamak şarttır. Değer sayısı tekse tam ortadaki değer medyandır: faturalar örneğinde yedi değerin dördüncüsü, yani 500 TL. Değer sayısı çiftse ortadaki iki değerin ortalaması alınır. 3, 9, 4, 14, 8, 6 verisi sıralanınca 3, 4, 6, 8, 9, 14 olur; ortadaki iki değer 6 ve 8'dir ve medyan 7'dir.

Medyanın en değerli özelliği, uç değerlerden etkilenmemesidir. Faturalar örneğinde atölyenin faturası 4.050 TL yerine 40.050 TL olsaydı ortalama 6.000 TL'yi aşardı, ama medyan yine 500 TL kalırdı. Bu yüzden gelir, fiyat ve fatura gibi birkaç büyük değerin bulunabildiği verilerde tipik değeri medyan daha iyi yansıtır.

Mod

Mod, veride en çok tekrar eden değerdir. Faturalarda 450 TL iki kez geçtiği için mod 450'dir. Bir veride birden çok mod olabilir: iki değer aynı sayıda ve en çok tekrar ediyorsa ikisi de moddur. Hiçbir değer tekrar etmiyorsa veride mod yoktur. Mod, sayısal olmayan verilerde de kullanılabilen tek merkezi ölçüdür: bir anketteki en sık verilen yanıt, en çok satılan ayakkabı numarası gibi.

Açıklık

Açıklık, en büyük değer ile en küçük değer arasındaki farktır. Faturalarda 4.050 - 400 = 3.650 TL'dir. Açıklık hesabı kolaydır, ama yalnız iki değere baktığı için uç bir değer onu büyük ölçüde değiştirir. Atölye faturası çıkarıldığında açıklık 600 - 400 = 200 TL'ye düşer. Her değere sabit bir sayı eklemek açıklığı değiştirmez, çünkü en büyük ve en küçük değer aynı miktarda kayar.

Hangi ölçü ne zaman?

Simetrik ve uç değeri olmayan verilerde ortalama ile medyan birbirine yakındır ve ortalama iyi bir özet verir. Bir ya da birkaç uç değer varsa ortalama o yöne kayar; medyan tipik değeri daha iyi gösterir. Bir değerin ne sıklıkla görüldüğü önemliyse mod, verinin ne kadar dağınık olduğu önemliyse açıklık kullanılır. Faturalar örneğinde ortalama 1.000, medyan 500, mod 450 TL'dir; üç ölçünün bu kadar ayrışması, veride bir uç değer bulunduğunun işaretidir.

Görsel harita

İstatistik sorusu çözüm sırası

1. Veriyi küçükten büyüğe sırala.
2. Ortalama sorusunda toplamla çalış: toplam = ortalama · sayı.
3. Medyanda değer sayısının tek mi çift mi olduğuna bak.
4. Modda tekrar sayılarını yaz; birden çok mod ya da hiç mod olmayabilir.
5. Açıklıkta yalnız en büyük ve en küçük değeri kullan.

Sınav gözüyle

Medyan için veriyi sıralamak, istatistik sorularında kolayca atlanan bir adımdır. Liste soruda karışık verildiğinde ortadaki değeri doğrudan almak, çoğu zaman şıklardan birine denk gelen hatalı bir sayı üretir. Çift sayıda değer varsa ortadaki iki değerin ortalamasını almayı unutmak da benzer bir sonuç doğurur.

Ortalama sorularında ise iki tuzak öne çıkar: çıkarılan ya da eklenen değeri ortalamaların farkıyla karıştırmak ve farklı büyüklükteki grupların ortalamalarını düz ortalamak. İkisinin de çaresi aynıdır: ortalamalardan toplamlara geç, hesabı toplamlarla yap, sonra tekrar ortalamaya dön.

Hafıza kancaları

• "Ortalamadan toplama geç" — toplam = ortalama · sayı.
• "Medyandan önce sırala" — karışık liste ortayı göstermez.
• "Uç değer ortalamayı çeker, medyanı çekemez" — faturalar örneği.
• "Mod en kalabalık olandır" — birden çok olabilir, hiç olmayabilir.
• "Açıklık iki uca bakar" — en büyük eksi en küçük.

Mini test

1. (kolay) 4, 7, 7, 9, 13 verisinin aritmetik ortalaması kaçtır?

A) 7 B) 9 C) 40 D) 8 E) 13

2. (kolay) 3, 9, 4, 14, 8, 6 verisinin medyanı kaçtır?

A) 6 B) 7 C) 8 D) 4 E) 9

3. (orta) Beş sayının aritmetik ortalaması 12'dir. Bu sayılardan biri çıkarıldığında kalan dört sayının ortalaması 10 oluyor. Çıkarılan sayı kaçtır?

A) 2 B) 10 C) 12 D) 22 E) 20

4. (orta) 2, 5, 5, 8, 8, 8, 11, 13 verisinin modu ile açıklığının toplamı kaçtır?

A) 19 B) 16 C) 21 D) 13 E) 8

5. (sınav) 20 öğrencili bir sınıfın not ortalaması 70, 30 öğrencili başka bir sınıfın not ortalaması 80'dir. İki sınıfın bütün öğrencilerinin not ortalaması kaçtır?

A) 75 B) 78 C) 76 D) 74 E) 150

Cevaplar

1. D — 40 / 5 = 8. A, verinin modu ve medyanıdır; C, toplamdır.
2. B — Sıralı veri 3, 4, 6, 8, 9, 14; (6 + 8) / 2 = 7. E, sıralamadan ortadaki 4 ile 14'ün ortalamasını almanın sonucudur.
3. E — 60 - 40 = 20. A, ortalamaların farkıdır.
4. A — Mod 8, açıklık 13 - 2 = 11; toplam 19. B, modu 5 almanın; C, açıklık yerine en büyük değeri kullanmanın sonucudur.
5. C — (20 · 70 + 30 · 80) / 50 = 76. A, iki ortalamanın düz ortalamasıdır.

Özet kartı

• Aritmetik ortalama = toplam / değer sayısı; sorularda toplam = ortalama · sayı biçimi daha kullanışlıdır.
• Her değere k eklemek ortalamayı k artırır, açıklığı değiştirmez.
• Farklı büyüklükteki grupların ortalaması toplamlar üzerinden bulunur.
• Medyan sıralanmış verinin ortasıdır; çift sayıda değerde ortadaki iki değerin ortalamasıdır.
• Mod en çok tekrar eden değerdir; birden çok olabilir ya da hiç olmayabilir.
• Açıklık en büyük ile en küçük değer arasındaki farktır.
• Uç değer ortalamayı ve açıklığı güçlü biçimde etkiler, medyanı ve modu çok az etkiler.

Kaynaklar

Sonraki derse köprü

Bu ünitede sayma ile başlayıp olasılığa, oradan veriyi özetlemeye geldik. Ünitenin son dersi olasılığa geri dönüyor, ama bu kez kuralları değil, kuralların uygulanırken nerede kırıldığını inceliyor. Ders 2.9.6, "Olasılıkta sık yapılan hatalar", bu hataların nereden doğduğunu çözülmüş sorular üzerinden gösteriyor.