Olasılık

Kanca

Bir kurumda yılbaşı hediyeleşmesi için 20 çalışanın adı numaralı toplara yazılıp bir torbaya konuyor. Muhasebeden Selin, kendi numarasının 3'ün ya da 5'in katı olmasını umuyor; o numaralar ödül kazanacak. Selin önce 3'ün katlarını sayar: 6 tane. Sonra 5'in katlarını: 4 tane. "10 numara, şansım 10/20" der. Ama 15 hem 3'ün hem 5'in katıdır ve iki kez sayılmıştır. Gerçek şans 9/20'dir.

Olasılık, bir olayın gerçekleşme şansını sayıyla ifade eder. Hesabın kendisi bir bölmedir, ama pay ve paydanın doğru sayılması 2.9.1'den beri işlediğimiz sayma araçlarını ister. Bu ders olasılığın tanımını, tümleyen ve birleşim kurallarını, bağımsız olayları ve torbadan çekme sorularını işliyor.

Büyük resim

Bir deneyin bütün olası sonuçlarının kümesine örnek uzay denir; örnek uzayın her alt kümesi bir olaydır. Sonuçların hepsi eşit şanslıysa bir olayın olasılığı, o olaydaki sonuç sayısının örnek uzaydaki sonuç sayısına oranıdır. Bu tanım olasılığı bir sayma problemine dönüştürür: paydayı ve payı doğru saymak yeterlidir.

Olasılık her zaman 0 ile 1 arasındadır. Hiç gerçekleşmeyecek olayın olasılığı 0, kesin gerçekleşecek olayın olasılığı 1'dir. Hesap sonucu 1'den büyük ya da negatif çıkıyorsa bir sayım hatası vardır. Sınav soruları bu temel tanımın üzerine dört araç ekler: tümleyen, birleşim, bağımsız olaylarda çarpma ve torbadan çekme.

Kavram çekirdeği

Tanım: istenen bölü tüm

E örnek uzay ve A bir olay ise, sonuçlar eşit şanslı olduğunda P(A) = s(A) / s(E) olur. Bir zar atıldığında örnek uzay {1, 2, 3, 4, 5, 6}'dır. Asal sayı gelme olayı {2, 3, 5}'tir ve olasılığı 3/6 = 1/2'dir. 1'in asal olmadığını hatırlamak burada sonucu değiştirir; 1'i saymak 4/6 = 2/3 gibi yanlış bir sonuç verir.

"Eşit şanslı" koşulu önemlidir. İki zar atıldığında toplam 2 ile 12 arasında 11 değer alabilir, ama bu 11 değer eşit şanslı değildir. Örnek uzay, sıralı ikililerden oluşan 6 · 6 = 36 sonuçtur. Toplamın 7 olduğu sonuçlar (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)'dir; olasılık 6/36 = 1/6'dır. Toplamın 8 olduğu sonuçlar 5 tanedir ve olasılık 5/36'dır. 2.8.2'deki sıralı ikili fikri burada doğrudan kullanılır: (2, 5) ile (5, 2) farklı sonuçlardır.

Tümleyen: olmama olasılığı

A olayının gerçekleşmeme olasılığı P(A') = 1 - P(A)'dır. "En az bir" içeren sorularda bu kural sayımı kısaltır, tıpkı 2.9.3'teki kombinasyon sorularında olduğu gibi. İki zar atıldığında en az birinin 6 gelme olasılığını bulmak için önce hiçbirinin 6 gelmemesi sayılır: her zarda 5 seçenek, 5 · 5 = 25 sonuç, olasılık 25/36. En az bir 6 gelme olasılığı 1 - 25/36 = 11/36'dır.

Sonuçları tek tek saymak da 11'e varır: birinci zar 6 olan 6 sonuç, ikinci zar 6 olan 6 sonuç, ama (6, 6) iki kez sayıldığı için 6 + 6 - 1 = 11. "1/6 + 1/6 = 1/3" demek, bu ortak sonucu iki kez saymaktır.

Birleşim: "ya da" olasılığı

A ya da B olayının olasılığı P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) ile bulunur. Bu, 2.7.6'daki birleşim formülünün olasılık biçimidir. Kanca'daki torbada 3'ün katı 6, 5'in katı 4 numara vardır; ikisinin de katı olan tek numara 15'tir. Olasılık 6/20 + 4/20 - 1/20 = 9/20'dir. İki olayın ortak sonucu yoksa olaylar ayrıktır ve kesişim terimi sıfır olur; o zaman olasılıklar doğrudan toplanır.

Bağımsız olaylar: "ve" olasılığı

Bir olayın sonucu öbürünün olasılığını değiştirmiyorsa iki olay bağımsızdır ve ikisinin birlikte gerçekleşme olasılığı çarpımla bulunur: P(A ve B) = P(A) · P(B). Bir zar ve bir para atıldığında zarın 6, paranın tura gelme olasılığı 1/6 · 1/2 = 1/12'dir. Bir para iki kez atıldığında iki kez yazı gelme olasılığı 1/2 · 1/2 = 1/4'tür. Bu kural, saymadaki çarpma ilkesinin olasılıktaki karşılığıdır: 12 eşit şanslı sonuçtan biri.

Torbadan çekme: geri koyarak ya da koymadan

Bir torbada 5 kırmızı ve 3 mavi top olsun. İki top çekiliyor ve ikisinin de kırmızı olma olasılığı soruluyor. Sonuç, çekilen topun geri konup konmamasına bağlıdır.

Geri koymadan çekilirse ikinci çekiliş birinciye bağlıdır. Birinci topun kırmızı olma olasılığı 5/8'dir; o top çıktıktan sonra torbada 4 kırmızı ve toplam 7 top kalır. İkinci topun da kırmızı olma olasılığı 4/7'dir. Sonuç 5/8 · 4/7 = 20/56 = 5/14'tür. Aynı sonuç kombinasyonla da bulunur: iki top birlikte çekiliyormuş gibi C(5, 2) / C(8, 2) = 10 / 28 = 5/14. İki yolun aynı sonucu vermesi, ardışık ve birlikte çekmenin bu soruda aynı olayı tarif ettiğini gösterir.

Geri koyarak çekilirse her çekiliş aynı torbadan yapılır ve olaylar bağımsızdır: 5/8 · 5/8 = 25/64. Soru metnindeki "geri atılmadan", "birlikte", "art arda ve geri konarak" gibi ifadeler hangi hesabın kullanılacağını belirler.

Kombinasyonla olasılık

Seçim sorularında pay ve payda çoğunlukla kombinasyondur. Dokuz kişilik bir birimde beşi kadın, dördü erkek olsun ve kurayla üç kişi seçilsin. 2.9.3'te bulduğumuz gibi C(9, 3) = 84 üçlü mümkündür ve yalnız erkeklerden oluşan üçlü sayısı C(4, 3) = 4'tür. Seçilenlerin hepsinin erkek olma olasılığı 4/84 = 1/21, içlerinde kadın bulunma olasılığı 1 - 1/21 = 20/21'dir. Pay ve payda aynı sayma yöntemiyle kurulduğu sürece kesir doğru çıkar.

Görsel harita

Olasılık sorusu çözüm sırası

1. Örnek uzayı belirle ve sonuçların eşit şanslı olduğundan emin ol.
2. "En az bir" varsa tümleyenle çalış.
3. "Ya da" varsa ortak sonuçları bir kez say.
4. "Ve" varsa olayların bağımsız olup olmadığına bak; bağımsızsa çarp.
5. Torba sorusunda geri konup konmadığını oku.
6. Sonucun 0 ile 1 arasında olduğunu denetle.

Sınav gözüyle

Olasılık sorularında payda hatası, pay hatasından daha zor fark edilir. İki zar sorusunda örnek uzayı 36 yerine toplamın alabileceği 11 değer olarak almak ya da torba sorusunda ikinci çekilişte paydayı azaltmayı unutmak, sonucu makul görünen ama yanlış bir kesre götürür. Paydayı yazdıktan sonra "bu sonuçların hepsi eşit şanslı mı?" diye sormak bu hataları yakalar.

"Ya da" sorularında ortak sonucun iki kez sayılması da kolay gözden kaçar. Bulunan olasılık, olayların olasılıklarının düz toplamına eşitse olayların gerçekten ayrık olup olmadığı kontrol edilmelidir. Kanca'daki 15 numara gibi tek bir ortak sonuç, cevabı değiştirmeye yeter.

Hafıza kancaları

• "İstenen bölü tüm" — eşit şanslı sonuçlarla.
• "36, 11 değil" — iki zarın örnek uzayı sıralı ikililerdir.
• "En az bir ise birden çıkar" — tümleyen.
• "Ya da ise ortağı bir kez say" — birleşim formülü.
• "Geri koymadıysan payda küçülür" — torba soruları.

Mini test

1. (kolay) Bir zar atılıyor. Üst yüze asal sayı gelme olasılığı kaçtır?

A) 1/2 B) 1/3 C) 2/3 D) 1/6 E) 5/6

2. (kolay) İki zar birlikte atılıyor. Üst yüzlerdeki sayıların toplamının 7 olma olasılığı kaçtır?

A) 1/12 B) 7/36 C) 1/6 D) 1/11 E) 5/36

3. (orta) Bir torbada 1'den 20'ye kadar numaralandırılmış 20 top vardır. Rastgele çekilen bir topun numarasının 3'ün ya da 5'in katı olma olasılığı kaçtır?

A) 1/2 B) 3/10 C) 1/5 D) 1/20 E) 9/20

4. (orta) İki zar birlikte atılıyor. Zarlardan en az birinin 6 gelme olasılığı kaçtır?

A) 1/3 B) 1/6 C) 25/36 D) 11/36 E) 1/36

5. (sınav) Bir torbada 5 kırmızı ve 3 mavi top vardır. Torbadan geri atılmamak üzere art arda iki top çekiliyor. İki topun da kırmızı olma olasılığı kaçtır?

A) 25/64 B) 5/14 C) 5/8 D) 4/7 E) 3/28

Cevaplar

1. A — Asal sayılar 2, 3, 5: 3/6 = 1/2. C, 1'i asal saymanın sonucudur.
2. C — 36 sonuçtan 6'sı: 1/6. D, eşit şanslı olmayan 11 toplamı örnek uzay saymanın; E, toplam 8'in olasılığıdır.
3. E — 6/20 + 4/20 - 1/20 = 9/20. A, 15'i iki kez saymanın; B, yalnız 3'ün katlarının; C, yalnız 5'in katlarının olasılığıdır.
4. D — 1 - 25/36 = 11/36. A, (6, 6)'yı iki kez saymanın sonucudur; C, hiç 6 gelmeme olasılığıdır.
5. B — 5/8 · 4/7 = 5/14. A, geri koyarak çekmenin sonucudur; D, yalnız ikinci çekilişin koşullu olasılığıdır; E, iki topun da mavi olma olasılığıdır.

Özet kartı

• Eşit şanslı sonuçlarda P(A) = s(A) / s(E); olasılık 0 ile 1 arasındadır.
• Örnek uzay eşit şanslı sonuçlardan kurulur; iki zarda 36 sıralı ikili vardır.
• P(A') = 1 - P(A); "en az bir" sorularında tümleyen kısa yoldur.
• P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B); ayrık olaylarda kesişim sıfırdır.
• Bağımsız olaylarda P(A ve B) = P(A) · P(B).
• Geri koymadan çekmede her çekilişte pay ve payda azalır; geri koyarak çekmede olaylar bağımsızdır.
• Seçim sorularında pay ve payda çoğunlukla kombinasyonla bulunur.

Kaynaklar

Sonraki derse köprü

Olasılık, henüz gerçekleşmemiş bir sonucun şansını ölçer. Sonuçlar gerçekleşip bir veri listesine dönüştüğünde başka bir soru doğar: bu liste tek bir sayıyla nasıl özetlenir ve değerler ne kadar dağınıktır? Ders 2.9.5, "Temel istatistik: ortalama, medyan, mod, açıklık", bir veri setini özetleyen bu dört ölçüyü ele alıyor.