Kombinasyon

Kanca

Bir okul müdürü, 8 öğretmen arasından sınav güvenliği için 3 kişilik bir gözetim ekibi kuracak. Ekipte unvan yok; üç kişi aynı işi birlikte yapacak. Müdür önce "birinci, ikinci, üçüncü" diye sayar ve 8 · 7 · 6 = 336 bulur. Sonra fark eder: Ayten, Burak ve Cem'den oluşan ekip, bu üç adın hangi sırayla yazıldığından bağımsız olarak tek bir ekiptir. Üç ad 3! = 6 farklı sırayla yazılabildiği için 336'nın içinde her ekip altı kez sayılmıştır. Gerçek ekip sayısı 336 / 6 = 56'dır.

Sıranın önemsiz olduğu bu seçimlere kombinasyon denir. Bu ders kombinasyonun formülünü, pratik özelliklerini ve koşullu seçim sorularını işliyor.

Büyük resim

Permütasyon ile kombinasyon aynı soruya iki farklı yanıt verir: n nesneden r tanesi seçildiğinde sıra önemli mi? Görev, sıra, basamak, konum varsa permütasyon; yalnızca "kimler seçildi" önemliyse kombinasyon kullanılır. Kombinasyon sayısı, permütasyon sayısının r!'e bölünmesiyle bulunur, çünkü her seçilen grup r! farklı sırayla dizilebilir.

Sınavda kombinasyon koşullu seçim sorularında da karşımıza çıkar: belirli sayıda kadın ve erkek, belirli bir kişinin kesin dahil olması, "en az bir" koşulu. Geometride doğru ve üçgen sayısı, gündelik hayatta tokalaşma ve maç sayısı da birer kombinasyondur. Bu sorularda iş, seçimi doğru parçalara ayırmak ve 2.9.1'deki toplama ile çarpma kuralını kombinasyonla birlikte kullanmaktır.

Kavram çekirdeği

Tanım ve formül

n farklı nesneden sıra gözetmeksizin r tanesinin seçilme sayısı C(n, r) ile gösterilir ve C(n, r) = n! / (r! · (n - r)!) = P(n, r) / r! formülüyle bulunur. Hesapta faktöriyelleri sonuna kadar açmak gerekmez. Paya n'den geriye doğru r çarpan, paydaya r! yazılır: C(8, 3) = (8 · 7 · 6) / (3 · 2 · 1) = 56. C(10, 2) = (10 · 9) / 2 = 45. Kesir her zaman tam sayı çıkar; çıkmıyorsa hesapta bir hata vardır.

Pratik özellikler

Üç özellik hesabı kısaltır. Birincisi, C(n, 0) = C(n, n) = 1: hiçbir şey seçmenin de hepsini seçmenin de tek yolu vardır. İkincisi, C(n, 1) = n. Üçüncüsü ve en kullanışlısı, C(n, r) = C(n, n - r): r nesne seçmek, dışarıda kalacak n - r nesneyi seçmekle aynıdır. C(10, 8) hesaplanırken 8 sayı çarpmak yerine C(10, 2) = 45 yazılır.

Kombinasyon, kümelerdeki alt küme sayısıyla da bağlanır. n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt küme sayısı C(n, r)'dir. Bütün r değerleri için toplandığında 2ⁿ elde edilir: 5 elemanlı bir kümede 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32 = 2⁵.

Tokalaşma, doğru ve üçgen

Bazı sorular kombinasyonu gizler. 10 kişi birbiriyle birer kez tokalaşıyorsa her tokalaşma iki kişilik bir seçimdir: C(10, 2) = 45. Ali'nin Banu ile tokalaşması, Banu'nun Ali ile tokalaşmasıyla aynıdır; sıra yoktur. Bir ligde 10 takım birbiriyle birer kez karşılaşıyorsa maç sayısı da 45'tir.

Düzlemde hiçbir üçü aynı doğru üzerinde olmayan 6 nokta varsa her iki nokta bir doğru belirler: C(6, 2) = 15 doğru. Her üç nokta bir üçgen belirler: C(6, 3) = 20 üçgen. "Hiçbir üçü doğrusal değil" koşulu önemlidir; doğrusal üç nokta üçgen oluşturmaz ve bu durumda o üçlüler sayımdan çıkarılır.

Gruplardan seçim: çarpma kuralıyla birlikte

Seçim iki ayrı gruptan yapılıyorsa her grubun seçimi ayrı hesaplanır ve çarpılır. 5 kadın ve 4 erkek arasından 2 kadın ve 2 erkekten oluşan bir ekip kurulacaksa kadınlar C(5, 2) = 10, erkekler C(4, 2) = 6 biçimde seçilir. Her kadın ikilisi her erkek ikilisiyle eşleşebildiği için ekip sayısı 10 · 6 = 60'tır.

Belirli kişinin dahil olması ya da olmaması

Bir kişinin ekipte kesin bulunması isteniyorsa o kişi önceden yerleştirilir ve kalan yerler kalan kişilerden seçilir. 8 öğretmenden 3 kişilik ekipte Ayten kesin yer alacaksa kalan 2 yer 7 kişiden seçilir: C(7, 2) = 21. Ayten'in ekipte olmaması isteniyorsa 3 yer 7 kişiden seçilir: C(7, 3) = 35. İkisinin toplamı 21 + 35 = 56'dır; bu, iki durumun bütün ekipleri paylaştığını gösteren iyi bir sağlamadır.

"En az bir" koşulu: tümleyen

"En az bir kadın bulunsun" koşulunu doğrudan saymak birkaç durum gerektirir: 1 kadın, 2 kadın, 3 kadın. Daha kısa yol tümleyendir: bütün seçimlerden hiç kadın bulunmayan seçimler çıkarılır. 5 kadın ve 4 erkek arasından 3 kişilik bir ekip C(9, 3) = 84 biçimde kurulur. Hiç kadın bulunmayan ekip yalnız erkeklerden oluşur: C(4, 3) = 4. En az bir kadın bulunan ekip sayısı 84 - 4 = 80'dir. Doğrudan sayım da aynı sonucu verir: 5 · 6 + 10 · 4 + 10 = 30 + 40 + 10 = 80.

Seçip sonra dizmek

Bazı sorular önce seçim, sonra diziliş ister. 8 öğretmenden 3'ü seçilip üç farklı salona birer kişi yerleştirilecekse önce C(8, 3) = 56 ekip seçilir, sonra her ekip salonlara 3! = 6 biçimde dağıtılır: 56 · 6 = 336. Bu sonuç P(8, 3)'ün kendisidir; permütasyon, "kombinasyon çarpı diziliş" olarak da okunabilir.

Görsel harita

Kombinasyon sorusu çözüm sırası

1. Sıra önemli mi? Görev ya da konum yoksa kombinasyon.
2. Seçim birden çok gruptan yapılıyorsa her grubu ayrı seç ve çarp.
3. Kesin dahil ya da kesin hariç kişileri önce düzenle.
4. "En az bir" koşulunda tümleyeni kullan.
5. Seçilenler ayrıca diziliyorsa sonucu r! ile çarp.

Sınav gözüyle

Kombinasyon sorularında belirleyici adım, sıranın önemli olup olmadığına karar vermektir. "Kurul", "ekip", "grup", "tokalaşma" gibi kelimeler genellikle sırasız seçime işaret eder; "başkan", "sıra", "yerleştirme" gibi kelimeler ise sıralı seçime. Yanlış karar, doğru cevabın r! katı ya da r!'te biri olan bir sonuç verir ve bu sonuç seçeneklerde yer alabilir.

"En az bir" koşullu sorularda doğrudan sayım yapılırken bir durumun atlanması kolay gözden kaçar. Örneğin 3 kişilik ekipte yalnız 1 ve 2 kadınlı durumları sayıp 3 kadınlı durumu unutmak, 80 yerine 70 sonucunu verir. Tümleyen yöntemi bu riski taşımaz; durum sayısı ikiyi aştığında tümleyenle çözüp doğrudan sayımla sağlamak güvenli bir düzendir.

Hafıza kancaları

• "Unvan yoksa sıra yok" — ekip, kurul, grup: kombinasyon.
• "Permütasyonu r!'e böl" — C(n, r) = P(n, r) / r!.
• "Seçmek, dışarıda bırakmaktır" — C(n, r) = C(n, n - r).
• "İki nokta doğru, üç nokta üçgen" — C(n, 2) ve C(n, 3).
• "En az bir ise hiçbiri çıkar" — tümleyen.

Mini test

1. (kolay) 10 kişi birbiriyle birer kez tokalaşıyor. Toplam kaç tokalaşma olur?

A) 90 B) 100 C) 20 D) 10 E) 45

2. (kolay) C(7, 5) kaçtır?

A) 42 B) 21 C) 35 D) 2520 E) 7

3. (orta) Düzlemde hiçbir üçü aynı doğru üzerinde olmayan 6 nokta vardır. Köşeleri bu noktalar olan kaç üçgen çizilebilir?

A) 120 B) 15 C) 18 D) 20 E) 36

4. (orta) 5 kadın ve 4 erkek arasından 2 kadın ve 2 erkekten oluşan kaç farklı ekip kurulabilir?

A) 60 B) 126 C) 16 D) 20 E) 36

5. (sınav) 5 kadın ve 4 erkek arasından en az bir kadının bulunduğu 3 kişilik kaç farklı ekip kurulabilir?

A) 84 B) 40 C) 80 D) 70 E) 10

Cevaplar

1. E — C(10, 2) = 45. A, sırayı önemli sayan P(10, 2)'dir.
2. B — C(7, 5) = C(7, 2) = 21. D, sıralı seçim P(7, 5)'tir; C, C(7, 3)'tür.
3. D — C(6, 3) = 20. A, üç noktayı sıralı seçmenin; B, doğru sayısının sonucudur.
4. A — C(5, 2) · C(4, 2) = 10 · 6 = 60. B, grupları ayırmadan 9 kişiden 4'ünü seçmenin; C, iki sonucu toplamanın sonucudur.
5. C — C(9, 3) - C(4, 3) = 84 - 4 = 80. A, koşulu yok sayan toplamdır; D, 3 kadınlı durumu unutmanın; B, yalnız 2 kadınlı, E yalnız 3 kadınlı durumun sayısıdır.

Özet kartı

• Kombinasyon, sıranın önemsiz olduğu seçimlerin sayısıdır: C(n, r) = n! / (r! · (n - r)!).
• C(n, r), P(n, r)'nin r!'e bölünmesidir; her grup r! biçimde dizilebilir.
• C(n, r) = C(n, n - r); C(n, 0) = C(n, n) = 1; C(n, 1) = n.
• Tokalaşma, maç ve doğru sayısı C(n, 2); üçgen sayısı C(n, 3) ile bulunur.
• Farklı gruplardan seçimde her grup ayrı seçilir ve çarpılır.
• "En az bir" koşulunda toplamdan "hiç" durumu çıkarılır.
• Seçilenler ayrıca diziliyorsa kombinasyon r! ile çarpılır.

Kaynaklar

Sonraki derse köprü

Bu derste "kaç farklı ekip kurulabilir?" diye sorduk. Ekip kura ile belirlenseydi soru başka bir biçim alırdı: kurulan ekipte en az bir kadın bulunması ne kadar olasıdır? Ders 2.9.4, "Olasılık", bir olayın şansını, istenen durumların sayısının bütün durumların sayısına oranı olarak ele alıyor; bu derste öğrendiğimiz sayma yöntemleri o oranın payını ve paydasını verir.