Permütasyon

Kanca

Bir mahalle derneği 8 gönüllü arasından başkan, başkan yardımcısı ve sekreter seçecek. Ayşe, Mehmet ve Zeynep'in seçildiğini düşünelim. Ayşe başkan, Mehmet yardımcı, Zeynep sekreter olursa bir yönetim çıkar; Zeynep başkan, Ayşe yardımcı, Mehmet sekreter olursa aynı üç kişiyle bambaşka bir yönetim çıkar. Görevler farklı olduğu için kişilerin hangi sırayla yerleştiği sonucu değiştirir.

Bu tür seçimlere permütasyon denir: sıranın, yani hangi nesnenin hangi yere geldiğinin önemli olduğu dizilişler. Dernek örneğinde 8 · 7 · 6 = 336 farklı yönetim kurulabilir. Bu ders bu sayının nereden geldiğini, nasıl kısaltıldığını ve koşullar eklendiğinde nasıl değiştiğini işliyor.

Büyük resim

2.9.1'deki çarpma kuralı, permütasyonun motorudur. Her yere bir nesne konur, konan nesne bir sonraki yerin seçeneklerinden düşer. 2.1.5'te tanımlanan faktöriyel ise bu çarpımın kısa yazılışıdır. Permütasyon, bu iki aracı birleştirip sıralı dizilişler için hazır kalıplar sunar.

Sınavda permütasyon soruları birkaç kalıba ayrılır: bütün nesnelerin dizilişi, bir kısmının sıralı seçimi, yan yana olma ya da olmama koşulu, tekrarlı nesnelerin dizilişi ve yuvarlak masa. Her kalıp aynı mantığın bir uyarlamasıdır; hangi uyarlamanın gerektiğini sorunun koşulu belirler.

Kavram çekirdeği

n nesnenin bütün dizilişi

n farklı nesne n farklı yere n! biçimde dizilir. Birinci yere n, ikinci yere n - 1, … son yere 1 seçenek kalır. 6 kişi bir banka kuyruğunda 6! = 720 farklı sırayla durabilir. 2.1.5'te gördüğümüz gibi faktöriyel hızla büyür; bu yüzden sorular sayının kendisinden çok iki faktöriyelin oranını ya da farkını isteyebilir.

r'li permütasyon: sıralı seçim

n farklı nesneden r tanesi seçilip sıraya konuyorsa diziliş sayısı P(n, r) = n! / (n - r)! olur. Bu formül, çarpma kuralında n'den başlayıp r tane azalan sayıyı çarpmanın kısa yazılışıdır. Dernek örneğinde P(8, 3) = 8! / 5! = 8 · 7 · 6 = 336'dır. 8 adaydan bir başkan ve bir yardımcı seçilecekse P(8, 2) = 8 · 7 = 56 seçenek vardır. Formülü ezberlemek yerine "n'den başla, r tane say, çarp" demek çoğu soruda yeter.

Belirli yer koşulu

Bir nesnenin yeri sabitse önce o yerleştirilir, kalanlar dizilir. 5 kişilik bir sırada Ali en başta durmak zorundaysa Ali'nin yeri tek seçeneklidir ve kalan 4 kişi 4! = 24 biçimde dizilir. Ali'nin iki uçtan birinde durması isteniyorsa önce 2 uç seçeneği, sonra 4! diziliş gelir: 2 · 24 = 48. Bu, 2.9.1'deki "kısıtlı yerden başla" ilkesinin permütasyondaki karşılığıdır.

Yan yana olma: blok yöntemi

Belli nesneler yan yana duracaksa onlar tek bir blok sayılır. 5 kişilik sırada Ali ile Banu yan yana olacaksa ikisi bir blok olur ve 4 birim 4! biçimde dizilir. Blok kendi içinde de 2! biçimde dizilir: Ali-Banu ya da Banu-Ali. Toplam 4! · 2! = 48'dir.

Aynı yöntem gruplara da uygulanır. 3 matematik ve 2 tarih kitabı rafa, aynı türden kitaplar yan yana olacak biçimde dizilecekse iki blok 2! biçimde, matematik bloğu kendi içinde 3!, tarih bloğu 2! biçimde dizilir: 2! · 3! · 2! = 24.

Yan yana olmama: tümleyen

"Yan yana olmasın" koşulunu doğrudan saymak zordur; bütün dizilişlerden yan yana olanları çıkarmak kolaydır. 5 kişi 5! = 120 biçimde dizilir, Ali ile Banu'nun yan yana olduğu 48 diziliş vardır; yan yana olmadıkları diziliş sayısı 120 - 48 = 72'dir. Bu yöntem, sayılması zor olanı, sayılması kolay olanın tümleyeni olarak bulmaktır ve olasılıkta da sık kullanılır.

Tekrarlı permütasyon

Dizilecek nesnelerin bazıları birbirinin aynısıysa, aynı nesnelerin kendi aralarında yer değiştirmesi yeni bir diziliş üretmez. n nesneden biri a kez, öbürü b kez tekrar ediyorsa diziliş sayısı n! / (a! · b!) olur. KPSS kelimesinin harfleriyle anlamlı ya da anlamsız 4 harfli dizilişler sayılırsa 4 harften S iki kez tekrar eder: 4! / 2! = 12. ANKARA kelimesinde 6 harf vardır ve A üç kez tekrar eder: 6! / 3! = 120. Yalnız tekrar eden harflerin faktöriyelleri paydaya yazılır; bir kez geçen harf için 1! = 1 olduğundan payda değişmez.

Dairesel permütasyon

n kişi yuvarlak bir masaya oturuyorsa, herkesin bir sandalye kaydırılması aynı oturuş düzenini verir; başlangıç noktası yoktur. Bu yüzden bir kişi sabit kabul edilir ve kalan n - 1 kişi dizilir: (n - 1)!. 5 kişi yuvarlak masaya 4! = 24 biçimde oturur. Masada belirli bir sandalye işaretliyse, örneğin bir başkan koltuğu varsa, düzen artık düz sıra gibi sayılır.

Görsel harita

Permütasyon sorusu çözüm sırası

1. Sıranın önemli olup olmadığını belirle; görevler, sıra, basamak varsa sıra önemlidir.
2. Sabit yer ya da kısıtlı konum varsa önce onu yerleştir.
3. Yan yana koşulunda blok kur ve bloğun iç dizilişini unutma.
4. "Olmasın" koşulunda tümleyeni kullan.
5. Tekrar eden nesne ya da yuvarlak masa varsa ilgili düzeltmeyi uygula.

Sınav gözüyle

Permütasyon sorularında iki eksik öne çıkar: blok yönteminde bloğun iç dizilişini ve tekrarlı permütasyonda paydayı unutmak. Her ikisi de seçeneklerde yer alabilecek ve doğru cevabın tam yarısı ya da iki katı gibi görünen sonuçlar üretir. Bulunan sonuç doğru cevabın 2 katı ya da yarısıysa iç diziliş ya da tekrar düzeltmesi kontrol edilmelidir.

Yuvarlak masa sorularında ise masanın sabit bir yeri olup olmadığı belirleyicidir. Hiçbir sandalye ayırt edilmiyorsa (n - 1)!, bir sandalye işaretliyse n! kullanılır. Soru metninde "başkanlık koltuğu" ya da "kapıya en yakın sandalye" gibi bir ifade varsa düzen artık dairesel sayılmaz.

Hafıza kancaları

• "Görev varsa sıra var" — başkan, yardımcı, sekreter: permütasyon.
• "n'den başla, r tane say, çarp" — P(n, r).
• "Blok kur, içini de diz" — yan yana koşulu.
• "Olmasın ise çıkar" — toplamdan yan yana olanları.
• "Yuvarlak masada biri sabit" — (n - 1)!.

Mini test

1. (kolay) 6 kişi bir sıraya kaç farklı biçimde dizilebilir?

A) 36 B) 120 C) 720 D) 21 E) 360

2. (kolay) 8 aday arasından bir başkan ve bir başkan yardımcısı kaç farklı biçimde seçilebilir?

A) 56 B) 28 C) 64 D) 16 E) 15

3. (orta) KPSS kelimesinin harfleri yer değiştirilerek anlamlı ya da anlamsız 4 harfli kaç farklı diziliş yazılabilir?

A) 24 B) 6 C) 4 D) 8 E) 12

4. (orta) 5 kişi yuvarlak bir masanın etrafına kaç farklı biçimde oturabilir?

A) 120 B) 24 C) 60 D) 12 E) 20

5. (sınav) Ali ve Banu'nun da aralarında bulunduğu 5 kişi bir sıraya dizilecektir. Ali ile Banu'nun yan yana olmadığı kaç farklı diziliş vardır?

A) 48 B) 96 C) 24 D) 72 E) 36

Cevaplar

1. C — 6! = 720. B, 5!'tir; bir kişi eksik sayılmıştır.
2. A — 8 · 7 = 56. B, sırayı önemsiz sayıp ikiye bölmenin sonucudur; C, aynı kişinin iki görevi alabildiğini varsaymaktır.
3. E — 4! / 2! = 12. A, tekrarı yok saymanın; B, paydaya fazladan bir 2! yazmanın sonucudur.
4. B — (5 - 1)! = 24. A, masayı düz sıra gibi saymanın sonucudur; D, yönü de önemsiz sayıp ikiye bölmektir.
5. D — 5! - 4! · 2! = 120 - 48 = 72. A, yan yana olanların sayısıdır; E, bulunan sonucu gereksiz yere ikiye bölmektir.

Özet kartı

• Permütasyon, sıranın önemli olduğu dizilişlerin sayısıdır; görev, sıra ya da basamak varsa sıra önemlidir.
• n farklı nesne n! biçimde, n nesneden r'si n! / (n - r)! biçimde sıralanır.
• Sabit yer önce yerleştirilir, kalanlar dizilir.
• Yan yana nesneler blok sayılır; bloğun iç dizilişi ayrıca çarpılır.
• "Yan yana olmasın" koşulu toplamdan yan yana olanlar çıkarılarak bulunur.
• Tekrar eden nesnelerde n!, tekrarların faktöriyellerine bölünür.
• Yuvarlak masada bir kişi sabitlenir: (n - 1)!.

Kaynaklar

Sonraki derse köprü

Derneğin görev dağıtımı yerine 8 gönüllüden 3 kişilik bir denetim kurulu seçtiğini düşünelim. Kurulda görev farkı yoksa Ayşe, Mehmet ve Zeynep'in hangi sırayla seçildiği önemsizdir; 336 dizilişin her altısı aynı kurulu verir. Ders 2.9.3, "Kombinasyon", sıranın önemsiz olduğu bu seçimleri ele alıyor.