Saymanın temel ilkeleri: toplama ve çarpma kuralı

Kanca

Bir kamu kurumunun yemekhanesi her gün 3 çorba, 4 ana yemek ve 2 tatlı çıkarıyor. Personel bir çorba, bir ana yemek ve bir tatlı seçiyor. Kaç farklı tepsi hazırlanabilir? Akla ilk gelen 3 + 4 + 2 = 9'dur; oysa doğru sayı 24'tür. Aynı yemekhanede bir gün yalnız bir tatlı ya da yalnız bir meyve alınabilseydi ve 2 tatlıya 3 meyve eşlik etseydi, seçenek sayısı bu kez toplama ile bulunurdu: 5.

İki soru da sayma sorusudur, ama biri çarpma ister, öbürü toplama. Farkı sayılar değil, seçimin yapısı belirler. Bu ders, bu yapıyı tanımayı ve doğru kuralı seçmeyi öğretiyor. Ünitenin sonraki bütün konuları, permütasyon, kombinasyon ve olasılık, bu iki kuralın üzerine kurulur.

Büyük resim

Sayma sorularında amaç, olasılıkları tek tek yazmadan saymaktır. Az sayıda seçenek elle listelenebilir, ama birkaç aşamalı bir seçimde liste hızla yüzlerce satıra ulaşır. Toplama ve çarpma kuralları bu listeyi yazmadan uzunluğunu verir.

Ayrım tek bir soruya dayanır: seçim birbirini dışlayan yollardan biriyle mi yapılıyor, yoksa art arda aşamalarla mı? Birinci durumda toplanır, ikincisinde çarpılır. Gerçek sorular çoğunlukla ikisini birlikte kullanır; bu yüzden soruyu önce durumlara, sonra her durumu aşamalara ayırmak gerekir.

Kavram çekirdeği

Toplama kuralı

Bir iş, birbirini dışlayan iki yoldan biriyle yapılabiliyorsa, birinci yolla m, ikinci yolla n farklı biçimde yapılabiliyorsa, iş toplam m + n biçimde yapılabilir. "Birbirini dışlayan", iki yolun ortak seçeneği olmaması demektir. İzmir'den Ankara'ya 4 otobüs seferi ya da 3 uçak seferiyle tek araçla gidilebiliyorsa 4 + 3 = 7 seçenek vardır. Yolcu ya otobüsü ya uçağı seçer; ikisini birden seçmez.

Toplama kuralının kümelerdeki karşılığı ayrık kümelerin birleşimidir. Yollar ortak seçenek içeriyorsa 2.7.6'daki gibi ortak kısım bir kez çıkarılır. Sayma sorularında bu durum seyrektir, ama "ya da" ile kurulan bir soruda iki grubun kesişip kesişmediğine bakmak alışkanlık olmalıdır.

Çarpma kuralı

Bir iş art arda iki aşamada yapılıyorsa, birinci aşama m, ikinci aşama n farklı biçimde yapılabiliyorsa ve ikinci aşamanın seçenek sayısı birincide ne seçildiğine bağlı değilse, iş m · n biçimde yapılabilir. Kural aşama sayısı kadar uzatılır. Yemekhanedeki tepsi sayısı 3 · 4 · 2 = 24'tür: her çorbanın yanına 4 ana yemek, her çorba ve ana yemek ikilisinin yanına 2 tatlı gelir.

Çarpma kuralı bir ağaç diyagramıyla görülebilir. İlk aşamada 3 dal açılır, her dalın ucundan 4 dal, her birinin ucundan 2 dal. En uçtaki dal sayısı 24'tür. Ağacı çizmek küçük sorularda iyi bir sağlamadır; büyük sorularda ise kuralın neden çarpma olduğunu hatırlatır.

"Ya da" toplar, "ve" çarpar

Pratik bir ölçüt: seçimi anlatan cümlede "ya da" geçiyorsa toplama, "ve sonra", "ve yanına" geçiyorsa çarpma kuralı devrededir. Ölçüt kaba bir işarettir; asıl belirleyici, seçimlerin aynı anda mı yapıldığı, birbirinin yerine mi geçtiğidir. 4 gömlek ve 3 pantolondan bir kombin 4 · 3 = 12 biçimde seçilir, çünkü kombin iki parçadan oluşur. 4 gömlek ya da 3 tişörtten bir üst ise 4 + 3 = 7 biçimde seçilir, çünkü üst tek parçadır.

İki kuralı birlikte kullanmak

A şehrinden B'ye 3 yol, B'den C'ye 2 yol, A'dan C'ye B'ye uğramadan giden 4 yol olsun. A'dan C'ye gitmenin iki ayrı yolu vardır: B üzerinden ya da doğrudan. B üzerinden gidiş iki aşamalıdır ve 3 · 2 = 6 biçimde yapılır. Doğrudan gidiş 4 biçimde yapılır. Toplam 6 + 4 = 10'dur. Çözümün düzeni şudur: önce durumlara ayır ve topla, her durumun içinde aşamaları çarp.

Aşamaya bağlı seçenek: tekrarsız seçim

Bazı sorularda bir aşamanın seçenek sayısı önceki seçime göre azalır. 0, 1, 2, 3, 4 rakamlarıyla rakamları farklı üç basamaklı sayı yazılacaksa yüzler basamağına 0 gelemez ve 4 seçenek vardır. Onlar basamağına kullanılan rakam dışında 0 dahil 4 rakam kalır. Birler basamağına 3 rakam kalır. Sayı 4 · 4 · 3 = 48'dir. Tekrar serbest olsaydı 4 · 5 · 5 = 100 olurdu. Çarpma kuralı burada da çalışır, çünkü hangi rakam seçilmiş olursa olsun kalan seçenek sayısı aynıdır.

Kısıtlı yerden başla

Bir basamağa ya da konuma özel bir koşul konmuşsa seçime oradan başlanır. Aynı rakamlarla rakamları farklı üç basamaklı çift sayılar sayılacaksa birler basamağı kısıtlıdır: 0, 2 ya da 4 olmalıdır. Ama 0'ın yüzler basamağını da etkilemesi soruyu iki duruma böler. Birler basamağı 0 ise yüzler basamağına 4, onlar basamağına 3 seçenek kalır: 12 sayı. Birler basamağı 2 ya da 4 ise birler için 2 seçenek vardır; yüzler basamağına 0 ve kullanılan rakam dışında 3, onlar basamağına 3 seçenek kalır: 2 · 3 · 3 = 18 sayı. Toplam 12 + 18 = 30'dur. Burada iki kural birlikte işler: durumlar toplanır, her durumun içinde aşamalar çarpılır.

Bildiğimiz formüllerin arkasındaki kural

Modülün önceki ünitelerinde gördüğümüz bazı formüller aslında çarpma kuralıdır. 2.2.3'teki bölen sayısı formülü bunlardan biridir: 72 = 2³ · 3² sayısının bir böleni, 2'nin üssü için 4 seçenekten (0, 1, 2, 3) ve 3'ün üssü için 3 seçenekten birini seçer; bölen sayısı 4 · 3 = 12'dir. 2.8.1'deki 2ⁿ alt küme ve 2.8.2'deki nᵐ fonksiyon sayısı da her eleman için bağımsız bir seçimin çarpılmasıdır. Dört haneli bir şifrede her hane için 10 rakam seçilebiliyorsa 10⁴ = 10.000 şifre vardır.

Görsel harita

Sayma sorusu çözüm sırası

1. Seçimin aynı anda mı yapıldığını, birbirinin yerine mi geçtiğini belirle.
2. Birbirinin yerine geçen yolları durumlara ayır.
3. Her durumu aşamalara böl; kısıtlı aşamadan başla.
4. Her aşamanın seçenek sayısını yaz ve çarp.
5. Durumların sonuçlarını topla.

Sınav gözüyle

Sayma sorularında yapılan hataların önemli bir kısmı kural seçiminden çok, aşamaların sırasından doğar. 0 rakamının bulunduğu sorularda yüzler basamağıyla başlamak ve 0'ı dışarıda bırakmak gerekir; rakamları farklı sayılarda ise kısıtlı basamak ile 0'ın birlikte bulunması soruyu iki duruma böler. Bu iki durumu ayırmadan tek bir çarpım yazmak, seçeneklerde karşılığı bulunabilecek bir yanlış sonuç verir.

Kural seçiminde ise "ve" ile "ya da" ayrımı belirleyicidir. Tek bir nesnenin seçildiği ama nesnenin farklı gruplardan gelebildiği sorularda toplama; birden çok nesnenin birlikte seçildiği sorularda çarpma kullanılır. Cevap bulunduktan sonra küçük bir kısmını ağaçla ya da listeyle saymak, kuralın doğru seçildiğini gösterir.

Hafıza kancaları

• "Ya da toplar, ve çarpar" — kural seçiminin kaba ölçütü.
• "Önce durum, sonra aşama" — durumları topla, aşamaları çarp.
• "Kısıtlı yerden başla" — 0 ve çift-tek koşulları önce.
• "Ağacın uçları" — çarpma kuralının sağlaması.
• "Formülün arkasında çarpma var" — bölen sayısı, 2ⁿ, nᵐ.

Mini test

1. (kolay) Bir yemekhanede 3 çorba, 4 ana yemek ve 2 tatlı vardır. Her birinden birer tane seçilerek kaç farklı tepsi hazırlanabilir?

A) 24 B) 9 C) 12 D) 18 E) 36

2. (kolay) İzmir'den Ankara'ya tek araçla 4 otobüs seferi ya da 3 uçak seferiyle gidilebilmektedir. Kaç farklı biçimde gidilebilir?

A) 12 B) 1 C) 3 D) 7 E) 4

3. (orta) 0, 1, 2, 3, 4 rakamları kullanılarak rakamları farklı kaç tane üç basamaklı sayı yazılabilir?

A) 60 B) 48 C) 100 D) 64 E) 36

4. (orta) A'dan B'ye 3, B'den C'ye 2 yol vardır. Ayrıca A'dan C'ye B'ye uğramayan 4 yol vardır. A'dan C'ye kaç farklı biçimde gidilebilir?

A) 24 B) 9 C) 6 D) 5 E) 10

5. (sınav) 0, 1, 2, 3, 4 rakamları kullanılarak rakamları farklı kaç tane üç basamaklı çift sayı yazılabilir?

A) 24 B) 36 C) 30 D) 18 E) 12

Cevaplar

1. A — 3 · 4 · 2 = 24. B, seçenekleri toplamanın sonucudur.
2. D — Yolcu otobüs ya da uçaktan birini seçer: 4 + 3 = 7. A, iki yolu çarpmanın sonucudur.
3. B — Yüzler 4, onlar 4, birler 3 seçenek: 48. A, yüzler basamağına 0 koymaya izin vermenin; C, rakam tekrarına izin vermenin sonucudur.
4. E — B üzerinden 3 · 2 = 6, doğrudan 4; toplam 10. C, doğrudan yolları unutmanın; A, üç sayıyı çarpmanın sonucudur.
5. C — Birler 0 iken 4 · 3 = 12, birler 2 ya da 4 iken 3 · 3 · 2 = 18; toplam 30. E yalnız birinci, D yalnız ikinci durumdur; B, 0'ın yüzler basamağına etkisini göz ardı edip 3 · 4 · 3 yazmaktan çıkar.

Özet kartı

• Birbirini dışlayan yollar toplanır: m + n.
• Art arda aşamalar çarpılır: m · n; aşama sayısı kadar uzatılır.
• Gerçek sorularda önce durumlara ayrılır ve toplanır, her durumun içinde aşamalar çarpılır.
• Tekrarsız seçimde her aşamanın seçenek sayısı bir azalır.
• Kısıtlı konumdan başlanır; 0 rakamı yüzler basamağına gelemez.
• Bölen sayısı, alt küme sayısı ve fonksiyon sayısı formülleri çarpma kuralının uygulamalarıdır.

Kaynaklar

Sonraki derse köprü

Bu derste rakamları farklı sayılar yazarken her basamakta seçenekleri birer azalttık ve sıranın önemli olduğunu kabul ettik: 123 ile 321 farklı sayılardır. Nesnelerin bir sıraya dizildiği bütün sorular aynı yapıyı taşır. Ders 2.9.2, "Permütasyon", nesnelerin sıralı dizilişlerini sayan bu yapıyı ele alıyor.