Tanımlanmış işlem soruları

Kanca

Deneme sınavında bir aday, soru kitapçığında daha önce hiç görmediği bir sembolle karşılaşıyor: a ∗ b = ab + a - b. Altında iç içe iki işlem ve bir bilinmeyen var. Aday sembolü tanımadığı için soruyu atlıyor. Oysa sorunun bütün bilgisi o tek satırdadır; sembol yenidir ama yapılacak iş, harflerin yerine sayı koymaktan ibarettir.

Tanımlanmış işlem soruları, ezber gerektirmeyen ve kuralı soru içinde veren sorulardır. Zorlukları kuraldan değil, kuralın nasıl uygulandığından gelir: hangi işlem önce yapılır, hangi dal seçilir, tablonun satırı mı sütunu mu okunur. Bu ders bu kararları bir düzene bağlıyor.

Büyük resim

2.8.3'te bir işlemin kuralını, değişme özelliğini, birim ve ters elemanını tek tek inceledik. Sınav soruları bu parçaları birleştirir. Bu derste beş biçim ele alınıyor: iç içe işlem, bilinmeyenli işlem, parçalı tanımlı işlem, tabloyla verilen işlem ve verilen örneklerden kuralı bulma.

Biçimlerin tuzakları farklıdır; yine de beşinde de işe yarayan iki alışkanlık var. Birincisi, her adımın sonucunu yazıp bir sonraki adıma o sayıyla girmek. İkincisi, bilinmeyen sorulduğunda seçenekleri kurala koyarak sağlamak. Seçenekler hazır olduğu için denklem kurmak her zaman en kısa yol değildir; 2.6.9'da işlenen şıklardan gitme yöntemi burada da çalışır.

Kavram çekirdeği

İç içe işlem: içten dışa

Parantez her zaman önce çözülür. a △ b = ab - a ise (2 △ 3) △ 1 için önce 2 △ 3 = 6 - 2 = 4 bulunur, sonra 4 △ 1 = 4 - 4 = 0 hesaplanır. Parantez başka yere konsaydı sonuç değişirdi: 2 △ (3 △ 1) = 2 △ 0 = -2. İşlem birleşmeli değilse parantezin yeri sonucu belirler. Bu yüzden ara sonucu yazmadan ikinci adıma geçmemek gerekir.

Bilinmeyenli işlem: kuralı denkleme çevir

İşlemin bir tarafında bilinmeyen varsa kural yazılır ve denklem çözülür. a △ b = 2a + b - 1 ve x △ 5 = 14 ise 2x + 5 - 1 = 14, yani 2x = 10 ve x = 5 olur. İç içe bir işlemde bilinmeyen içerideyse önce iç işlem x cinsinden yazılır, sonra dış işlem uygulanır. İfade uzadığında seçenekleri tek tek kurala koymak çoğunlukla daha hızlıdır.

Parçalı tanımlı işlem: önce dalı seç

Bazı işlemler koşula göre iki farklı kural kullanır. a ⊕ b, a ≥ b ise a - b, a < b ise a + b olarak tanımlansın. (2 ⊕ 5) ⊕ 3 için önce dal seçilir: 2 < 5 olduğundan 2 ⊕ 5 = 7'dir. Sonra 7 ≥ 3 olduğundan 7 ⊕ 3 = 4 bulunur. Her adımda dal yeniden seçilir; ilk adımdaki dal ikinci adıma taşınmaz. Hata çoğunlukla koşulu okumadan ilk akla gelen kuralı uygulamaktan doğar.

Tabloyla verilen işlem

İşlem bazen formül yerine bir tabloyla verilir. Satır başındaki eleman birinci, sütun başındaki eleman ikinci yerdeki elemandır. {a, b, c, d} kümesinde ∗ işlemi aşağıdaki tabloyla tanımlansın.

a ∗ d için a satırı ile d sütununun kesiştiği hücre okunur: b. Tablodan işlemin özellikleri de görülür. Birim eleman, satırı başlık satırının aynısı olan elemandır; c satırı a, b, c, d diye gider, yani birim eleman c'dir. Bir elemanın tersi, o elemanın satırında c'nin bulunduğu sütundur: d satırında c, b sütunundadır ve d'nin tersi b'dir. Tablo köşegene göre simetrikse işlem değişmelidir; bu tabloda a ∗ b = b ∗ a = d'dir ve simetri bütün hücrelerde korunur.

Kuralı örneklerden bulma

Bazı sorular kuralı vermez; birkaç örnek verir ve yeni bir değer sorar. 2 △ 3 = 7 ve 4 △ 1 = 9 ise kural 2a + b olabilir: 2 · 2 + 3 = 7 ve 2 · 4 + 1 = 9. Bu kuralla 3 △ 5 = 11 olur. Böyle sorularda bulunan kural verilen bütün örneklerde denenmelidir; tek örneği sağlayan kural yanıltabilir. Kural seçeneklerde veriliyorsa her seçenek örneklere konur ve tutmayan elenir.

Tek elemanlı semboller

Bazı sorular tek bir sayıya uygulanan sembol tanımlar. [n], n'nin rakamları toplamı olsun. [[987]] için içteki sembol önce çözülür: [987] = 9 + 8 + 7 = 24, sonra [24] = 2 + 4 = 6. Mantık iç içe işlemdekinin aynısıdır: içten dışa, her ara sonucu yazarak.

Bir örnek

Soru: Tam sayılarda a ∗ b = ab + a - b işlemi tanımlanıyor. (x ∗ 2) ∗ 1 = 19 olduğuna göre x kaçtır?

Çözüm: x ∗ 2 = 2x + x - 2 = 3x - 2. Bu sonuç dış işlemin birinci yerine girer: (3x - 2) ∗ 1 = (3x - 2) · 1 + (3x - 2) - 1 = 6x - 5. 6x - 5 = 19'dan x = 4 bulunur. Seçeneklerle sağlama da aynı yere varır.

A) 7. Yalnız iç işlemi 19'a eşitlemenin sonucudur: 3x - 2 = 19. Dış işlem atlanmıştır; sağlamada 7 ∗ 2 = 19 ve 19 ∗ 1 = 37 çıkar.

B) 3. Sağlamada 3 ∗ 2 = 7 ve 7 ∗ 1 = 7 + 7 - 1 = 13 bulunur; 19 değildir.

C) 4. 4 ∗ 2 = 8 + 4 - 2 = 10 ve 10 ∗ 1 = 10 + 10 - 1 = 19. Her iki adım da tutar.

D) 5. Sağlamada 5 ∗ 2 = 13 ve 13 ∗ 1 = 25 bulunur.

E) 6. Sağlamada 6 ∗ 2 = 16 ve 16 ∗ 1 = 31 bulunur.

Aranan seçenek C. Sağlama yapıldığında seçeneklerin dış işlemden sonra 13, 19, 25, 31 diye altışar arttığı görülür; bu düzen, 6x - 5 ifadesinin seçeneklere yansımasıdır.

Görsel harita

Tanımlanmış işlem sorusu çözüm sırası

1. Kuralı oku ve birinci, ikinci yerin nasıl kullanıldığını işaretle.
2. Parantez ya da iç sembol varsa önce onu çöz ve sonucu yaz.
3. Parçalı tanımda her adımda koşulu yeniden denetle.
4. Bilinmeyen sorulduysa ya denklemi kur ya seçenekleri sağla; hangisi kısaysa onu seç.
5. Tablo sorusunda birim elemanı başlıkla aynı olan satırdan bul.

Sınav gözüyle

Tanımlanmış işlem sorularında seçenekler, en olası hataların sonuçlarını taşıyabilir. İç işlemi bulup dış işlemi unutmak, parantezin yerini değiştirmek ya da parçalı tanımda yanlış dalı seçmek, her biri ayrı bir seçeneğe karşılık gelebilir. Bu yüzden bulunan sonucun bir seçenekte bulunması doğruluğunun kanıtı değildir; kısa bir sağlama, bu hataları birkaç saniyede yakalar.

Tablo sorularında ise okuma yönü belirleyicidir. İşlem değişmeli değilse bir çiftin iki sırası ayrı hücrelerde farklı sonuç taşır. Satır başının birinci, sütun başının ikinci yer olduğu hatırlanmazsa simetrik olmayan bir tabloda yanlış hücre okunur.

Hafıza kancaları

• "Sembol yeni, iş eski" — harf yerine sayı koy.
• "İçten dışa, ara sonucu yaz" — iç içe işlem ve iç içe sembol.
• "Her adımda dal yeniden" — parçalı tanımlı işlem.
• "Satır birinci, sütun ikinci" — tablo okuma.
• "Bulduğunu sağla" — seçenekte olması doğru olduğunu göstermez.

Mini test

1. (kolay) a △ b = ab - a olduğuna göre (2 △ 3) △ 1 kaçtır?

A) 4 B) 0 C) 2 D) 3 E) -2

2. (kolay) a △ b = 2a + b - 1 ve x △ 5 = 14 olduğuna göre x kaçtır?

A) 9 B) 4 C) 7 D) 6 E) 5

3. (orta) Yukarıdaki tabloyla tanımlanan ∗ işleminin birim elemanı hangisidir?

A) c B) a C) b D) d E) Birim eleman yoktur.

4. (orta) Aynı tabloya göre d'nin ∗ işlemine göre tersi hangisidir?

A) a B) c C) d D) b E) Tersi yoktur.

5. (sınav) a ⊕ b, a ≥ b ise a - b, a < b ise a + b olarak tanımlanıyor. Buna göre (2 ⊕ 5) ⊕ 3 kaçtır?

A) 10 B) 0 C) 4 D) -3 E) 2

Cevaplar

1. B — 2 △ 3 = 4, 4 △ 1 = 0. A, yalnız iç işlemin sonucudur; E, parantezi 3 △ 1'e koymanın sonucudur.
2. E — 2x + 4 = 14, x = 5. A, kuralı x + 5 = 14 diye toplama sanmanın sonucudur.
3. A — c satırı başlık satırıyla aynıdır: a, b, c, d. E, tabloda birim elemanı aramadan verilen hükümdür.
4. D — d ∗ b = c ve c birim elemandır. B'yi seçen, birim elemanı tersle karıştırmıştır; C seçeneği için d ∗ d = a'dır, c değildir.
5. C — 2 < 5, 2 ⊕ 5 = 7; 7 ≥ 3, 7 ⊕ 3 = 4. A, ikinci adımda da toplama dalını kullanmanın sonucudur; D, ilk adımda yanlış dalı seçip orada durmanın sonucudur.

Özet kartı

• Tanımlanmış işlemde kural soruda verilir; iş, harflerin yerine doğru sayıları koymaktır.
• İç içe işlemde parantez önce çözülür ve her ara sonuç yazılır.
• Bilinmeyen içerideyse iç işlem bilinmeyen cinsinden yazılır, sonra dış işlem uygulanır.
• Parçalı tanımlı işlemde koşul her adımda yeniden denetlenir.
• Tabloda satır başı birinci, sütun başı ikinci yerdir; birim eleman, satırı başlıkla aynı olan elemandır.
• Örneklerden kural bulunurken kural bütün örneklerde denenir.
• Bulunan sonuç seçeneklerde olsa da sağlanır; seçenekler olası hataların sonuçlarını taşıyabilir.

Kaynaklar

Sonraki derse köprü

Bu ünitede bir kümenin elemanlarını tanımladık, eşledik ve işleme soktuk. Sıradaki ünite başka bir soru soruyor: bir seçim kaç farklı biçimde yapılabilir? Ders 2.9.1, "Saymanın temel ilkeleri: toplama ve çarpma kuralı", seçenekleri tek tek yazmadan saymanın iki temel kuralını ve hangisinin ne zaman kullanılacağını ele alıyor.