İşlem ve modüler aritmetik

Kanca

Bir nöbet çizelgesi hazırlayan memur, gece 9'da başlayan bir görevin 50 saat süreceğini yazıyor ve görevin bitiş saatini soruyor. 59 saat diye bir kadran yoktur. Saat 12'ye ulaştığında başa döner; 59 saatin içinde dört tam tur ve 11 saat vardır. Görev, kadranda 11'de biter.

Saatin yaptığı şey bir işlemdir: iki sayı alır, bir sonuç verir ve sonucu belli bir sınırın içinde tutar. Bu ders iki fikri bir araya getiriyor. Önce bir kümede tanımlanan işlemin ne olduğuna ve hangi özellikleri taşıyabileceğine bakacağız. Sonra saatin mantığını genelleştiren modüler aritmetiği, yani yalnız kalanla hesap yapmayı işleyeceğiz.

Büyük resim

2.8.2'de fonksiyonun bir eleman alıp bir eleman verdiğini gördük. İşlem ise bir kümenin elemanlarını ikişer ikişer eşler ve her çifte yine o kümeden bir sonuç bağlar; teknik olarak A × A'dan A'ya bir fonksiyondur. Toplama ve çarpma bildiğimiz işlemlerdir. Sınav bunların yanına △, ∗, ⊕ gibi semboller koyar ve kuralı soruda tanımlar.

Bir işlemin kuralı verildiğinde sınavın sorduğu şeyler büyük ölçüde aynıdır: değer hesaplamak, işlemin değişme özelliği taşıyıp taşımadığını görmek, birim elemanı ve bir elemanın tersini bulmak. Modüler aritmetik ise 2.2.1'deki kalan fikrini bir yazılışa ve bir hesap düzenine kavuşturur. Saat, gün ve büyük üslerin kalanı soruları bu düzenle kısalır.

Kavram çekirdeği

İşlemin tanımı ve değer hesabı

A kümesinde tanımlı bir işlem, A'dan alınan her (a, b) sıralı ikilisine A'dan tek bir eleman karşılık getirir. Kural soruda verilir ve harfler yerine sayılar konur. a △ b = 2a + b - 1 ise 3 △ 4 = 2 · 3 + 4 - 1 = 9'dur. Aynı kuralla 4 △ 3 = 2 · 4 + 3 - 1 = 10 olur. Sıralı ikilide olduğu gibi burada da birinci ve ikinci yer farklı muamele görebilir.

Kapalılık

İşlemin sonucu yine kümenin içinde kalıyorsa küme bu işleme göre kapalıdır. Doğal sayılar toplamaya göre kapalıdır: iki doğal sayının toplamı doğal sayıdır. Çıkarmaya göre kapalı değildir; 2 - 5 = -3 bir doğal sayı değildir. Kapalılık sorusunda tek bir karşı örnek, kümenin kapalı olmadığını göstermeye yeter.

Değişme ve birleşme

Her a ve b için a ∗ b = b ∗ a ise işlem değişmelidir. a ∗ b = a + b + ab değişmelidir, çünkü toplama ve çarpma sırayı umursamaz: 2 ∗ 3 = 3 ∗ 2 = 11. Yukarıdaki △ işlemi değişmeli değildir; 3 △ 4 = 9 iken 4 △ 3 = 10'dur. Pratik bir ölçüt: kuralda a ile b'nin yerini değiştirdiğinde ifade aynı kalıyorsa işlem değişmelidir.

Her a, b, c için (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) ise işlem birleşmelidir. Bu özellik, işlem art arda uygulandığında parantezin nereye konduğunun önemsiz olduğunu söyler. Toplama ve çarpma birleşmelidir; çıkarma değildir.

Birim eleman

Her a için a ∗ e = e ∗ a = a eşitliğini sağlayan e'ye birim (etkisiz) eleman denir. Toplamada birim eleman 0, çarpmada 1'dir. Sembollü işlemde e, kurala yerleştirilerek bulunur. a ∗ b = a + b - 3 ise a + e - 3 = a olmalıdır; buradan e = 3 çıkar. a ∗ b = a + b + ab ise a + e + ae = a, yani e(1 + a) = 0 olmalıdır; her a için bu ancak e = 0 ile sağlanır.

Ters eleman

a ∗ x = e eşitliğini sağlayan x'e a'nın tersi denir ve a⁻¹ ile gösterilir. Ters, birim eleman bulunmadan aranamaz; çünkü tanımın sağ tarafında e vardır. a ∗ b = a + b - 3 işleminde e = 3'tür. 5'in tersi için 5 + x - 3 = 3 yazılır ve x = 1 bulunur. Sağlama: 5 ∗ 1 = 5 + 1 - 3 = 3, yani birim eleman.

Modüler aritmetik: denklik yazılışı

İki tam sayının m'ye bölümünden kalanları aynıysa bu sayılar m modülüne göre denktir ve a ≡ b (mod m) yazılır. Aynı şey, a - b farkının m'ye tam bölünmesi olarak da söylenebilir. 38 ≡ 3 (mod 5), çünkü 38 = 5 · 7 + 3'tür; 38 - 3 = 35 de 5'in katıdır. Kanca'daki saat sorusu da bir denkliktir: 9 + 50 = 59 ve 59 ≡ 11 (mod 12).

Kalanlarla işlem

Toplama, çıkarma ve çarpmada sayıların kendisi yerine kalanları kullanılabilir. 47 · 58 sayısının 5'e bölümünden kalanı için çarpımı hesaplamak gerekmez. 47 ≡ 2 ve 58 ≡ 3 (mod 5) olduğundan çarpım 2 · 3 = 6 ≡ 1 (mod 5) olur. Toplamda da aynı yol izlenir: 47 + 58 için 2 + 3 = 5 ≡ 0 (mod 5), yani toplam 5'e tam bölünür. Bölme için bu kural geçerli değildir.

Üslerin kalanı ve döngü

Büyük bir üssün kalanı, kuvvetlerin kalanları bir döngüye girdiği için bulunabilir. 2'nin kuvvetlerinin 7'ye bölümünden kalanları sırasıyla 2, 4, 1, 2, 4, 1… diye gider; döngü uzunluğu 3'tür. 2²⁰ için üs döngü uzunluğuna bölünür: 20 = 3 · 6 + 2. Kalan 2 olduğu için döngünün ikinci elemanı alınır ve 2²⁰ ≡ 4 (mod 7) bulunur.

Birler basamağı soruları da aynı mantığın mod 10 hâlidir. 7'nin kuvvetlerinin son basamakları 7, 9, 3, 1 diye dört adımda tekrar eder. 7²³ için 23 = 4 · 5 + 3 olduğundan döngünün üçüncü elemanı alınır: son basamak 3'tür. Üssün kalanı 0 çıkarsa döngünün ilk elemanı değil son elemanı alınır; 3¹⁰⁰ ≡ 1 (mod 5) örneğinde olduğu gibi.

Görsel harita

İşlem ve kalan sorusu çözüm sırası

1. Kuralı oku; birinci ve ikinci yerin farklı muamele görüp görmediğine bak.
2. Ters eleman soruluyorsa önce birim elemanı bul.
3. Kalan sorusunda sayıları önce kalanlarına indir, sonra işlemi yap.
4. Üs sorusunda döngüyü yaz, uzunluğunu say, üssü bu uzunluğa böl.
5. Üssün kalanı 0 ise döngünün son elemanını al.

Sınav gözüyle

İşlem sorularında hata çoğunlukla sıradan doğar. a △ b = 2a + b - 1 gibi bir kuralda iki yerin katsayıları farklıdır; 3 △ 4 yerine 4 △ 3 hesaplamak, seçeneklerde hazır bekleyen bir yanlıştır. Ters eleman sorularında ise birim eleman bulunmadan "tersi sıfır verir" diye düşünmek sık görülen bir kısayoldur ve yalnız toplamada doğrudur.

Kalan sorularında iki ayrıntı belirleyicidir. Birincisi, saat sorularında başlangıç saatini eklemeyi unutmak; ikincisi, üs döngüsünde kalan 0 çıktığında döngünün başına dönmek. Döngü uzunluğunu iki tur yazarak görmek ve sonucu küçük bir üsle denemek bu hataları yakalar.

Hafıza kancaları

• "Kadran 12'de başa döner" — saat soruları mod 12.
• "Yer değiştir, ifadeye bak" — değişmelilik denetimi.
• "Önce e, sonra ters" — ters eleman birim elemana göre aranır.
• "Sayıyı değil kalanı taşı" — toplama ve çarpmada kalanlarla hesap.
• "Kalan 0, döngünün sonu" — üs döngüsünde son eleman.

Mini test

1. (kolay) a △ b = 2a + b - 1 olduğuna göre 3 △ 4 kaçtır?

A) 10 B) 8 C) 11 D) 9 E) 13

2. (kolay) 38 ≡ x (mod 5) ve 0 ≤ x < 5 olduğuna göre x kaçtır?

A) 3 B) 8 C) 4 D) 2 E) 1

3. (orta) Tam sayılarda a ∗ b = a + b - 3 işlemi tanımlanıyor. Bu işleme göre 5'in tersi kaçtır?

A) -5 B) 3 C) 8 D) -2 E) 1

4. (orta) Akrebi 9'u gösteren bir saat 50 saat ileri alınırsa akrep hangi sayıyı gösterir?

A) 7 B) 11 C) 2 D) 10 E) 5

5. (sınav) 2²⁰ sayısının 7 ile bölümünden kalan kaçtır?

A) 1 B) 2 C) 4 D) 6 E) 5

Cevaplar

1. D — 2 · 3 + 4 - 1 = 9. A, 4 △ 3'ün değeridir.
2. A — 38 = 5 · 7 + 3. B, 38'in 10'a göre kalanıdır; 8 de 38'e denktir ama 0 ≤ x < 5 koşulunu sağlamaz.
3. E — Birim eleman 3'tür; 5 + x - 3 = 3'ten x = 1. A, toplamadaki tersi; B, birim elemanın kendisidir; D, sonucu 0'a eşitlemekten çıkar.
4. B — 9 + 50 = 59 ve 59 = 12 · 4 + 11. C, başlangıç saati eklenmeden yalnız 50'nin 12'ye göre kalanıdır.
5. C — Kalanlar 2, 4, 1 diye döner; 20 = 3 · 6 + 2, döngünün ikinci elemanı 4. B, üssün 3'e bölümünden kalanı sonuç sanmaktan çıkar.

Özet kartı

• İşlem, bir kümenin her eleman çiftine yine o kümeden bir sonuç bağlar; kural soruda tanımlanır.
• Kapalılıkta sonuç kümede kalmalıdır; tek karşı örnek kapalılığı bozar.
• a ile b yer değiştirince kural aynı kalıyorsa işlem değişmelidir.
• Birim eleman a ∗ e = a ile, ters eleman a ∗ x = e ile bulunur; ters için önce e gerekir.
• a ≡ b (mod m), iki sayının m'ye göre kalanlarının aynı olmasıdır.
• Toplama, çıkarma ve çarpmada kalanlarla hesap yapılabilir; bölmede yapılamaz.
• Üs kalanlarında döngü yazılır, üs döngü uzunluğuna bölünür; kalan 0 ise döngünün son elemanı alınır.

Kaynaklar

Sonraki derse köprü

Bu derste her işlemin kuralı tek bir formüldü ve özellikleri tek tek sorduk. Sınavda ise kural bazen bir tabloyla verilir, bazen bir işlem başka bir işlemin içine yerleştirilir ya da bilinmeyen sonuçtan geriye gidilir. Ders 2.8.4, "Tanımlanmış işlem soruları", sembolle kurulan işlem sorularını ustalık düzeyinde, seçenek seçenek ele alıyor.