Kartezyen çarpım ve fonksiyon temeli

Kanca

Bir sınav salonunun kapısında oturma planı asılı: "Sıra 2, koltuk 3". Aday yanlışlıkla sıra 3, koltuk 2'ye oturursa başka birinin yerini almış olur. İki sayı aynıdır, yalnız sıraları değişmiştir; ama gösterdikleri yer bambaşkadır.

Matematikte bu fark sıralı ikili ile yazılır: (2, 3) ile (3, 2) aynı şey değildir. 2.8.1'de kümelerde sıranın önemsiz olduğunu gördük: {2, 3} = {3, 2}. Bu ders sıranın önemli olduğu yapıları kuruyor. Önce sıralı ikililerden kartezyen çarpımı, sonra kartezyen çarpımın içinden fonksiyonu çıkaracağız.

Büyük resim

Sıralı ikili, birinci ve ikinci bileşeni belli olan bir çifttir. İki kümenin kartezyen çarpımı, birinci bileşeni birinci kümeden, ikinci bileşeni ikinci kümeden gelen bütün sıralı ikililerin kümesidir. Bu çarpımın her alt kümesine bağıntı denir. Bağıntıların bir kısmı özel bir kurala uyar: birinci kümenin her elemanı tam bir elemanla eşlenir. Bu bağıntılara fonksiyon denir.

Sınav açısından bu zincirin üç halkası öne çıkar: kartezyen çarpımın eleman sayısı, bir eşlemenin fonksiyon olup olmadığı ve fonksiyonda değer bulma. Fonksiyon sayısı ve bağıntı sayısı da 2.8.1'deki alt küme sayısına benzer bir mantıkla hesaplanır.

Kavram çekirdeği

Sıralı ikili

(a, b) yazılışında a birinci bileşen, b ikinci bileşendir. İki sıralı ikili ancak bileşenleri sırasıyla eşitse eşittir: (a, b) = (c, d) ise a = c ve b = d. Örneğin (x + 1, 5) = (4, y - 2) ise x + 1 = 4 ve 5 = y - 2'dir; buradan x = 3, y = 7 bulunur. Bu tür sorularda bileşenler çaprazlanmaz; birinci birinciyle, ikinci ikinciyle eşitlenir.

Kartezyen çarpım

A ve B kümeleri için A × B = {(a, b) | a ∈ A ve b ∈ B} kümesine A ile B'nin kartezyen çarpımı denir. A = {1, 2} ve B = {x, y, z} için A × B = {(1, x), (1, y), (1, z), (2, x), (2, y), (2, z)} olur.

Eleman sayısı çarpımla bulunur: s(A × B) = s(A) · s(B) = 2 · 3 = 6. B × A'nın eleman sayısı da 6'dır ama elemanları farklıdır; (x, 1) ∈ B × A iken (x, 1) ∉ A × B. Bu yüzden, A ile B eşit değilse, A × B ≠ B × A.

Kartezyen çarpım bir tablo gibi düşünülebilir: satırlarda A'nın elemanları, sütunlarda B'nin elemanları, her hücrede bir sıralı ikili. 2 satır ve 3 sütun 6 hücre verir. Analitik düzlemdeki noktalar da gerçek sayılar kümesinin kendisiyle kartezyen çarpımının elemanlarıdır; her nokta bir (x, y) sıralı ikilisidir.

Bağıntı

A × B'nin her alt kümesine A'dan B'ye bir bağıntı denir. s(A × B) = 6 ise A × B'nin 2⁶ = 64 alt kümesi vardır; yani A'dan B'ye 64 bağıntı tanımlanabilir. Burada 2.8.1'deki alt küme sayısı aynen kullanılır: her sıralı ikili bağıntıya ya girer ya girmez.

Fonksiyon

A'dan B'ye bir bağıntıda A'nın her elemanı B'nin yalnız bir elemanıyla eşleniyorsa bu bağıntı bir fonksiyondur ve f: A → B ile gösterilir. Tanımın iki şartı vardır:

1. A'da açıkta kalan eleman olmamalı; her elemanın bir görüntüsü bulunmalı.
2. A'daki hiçbir eleman iki farklı elemanla eşlenmemeli.

B'deki elemanlar için böyle bir şart yoktur: B'de hiç eşlenmeyen eleman da olabilir, birden fazla elemanla eşlenen eleman da. A = {1, 2, 3} ve B = {a, b, c} için üç bağıntıya bakalım:

• {(1, a), (2, a), (3, b)} bir fonksiyondur. 1 ile 2'nin ikisinin de a'ya gitmesi sorun değildir.
• {(1, a), (1, b), (2, c), (3, a)} fonksiyon değildir; 1 iki elemanla eşlenmiştir.
• {(1, a), (2, b)} fonksiyon değildir; 3'ün görüntüsü yoktur.

Tanım, değer ve görüntü kümesi

f: A → B'de A'ya tanım kümesi, B'ye değer kümesi denir. A'nın elemanlarının eşlendiği elemanlardan oluşan küme görüntü kümesidir ve f(A) ile gösterilir. Görüntü kümesi değer kümesinin alt kümesidir; ona eşit olmak zorunda değildir. Yukarıdaki ilk fonksiyonda görüntü kümesi {a, b}'dir; c değer kümesinde olduğu hâlde açıkta kalmıştır.

Kuralla verilen fonksiyon ve değer bulma

Fonksiyonlar çoğunlukla bir kuralla verilir: f(x) = 2x + 1. f(3), kuralda x yerine 3 yazılarak bulunur: f(3) = 2 · 3 + 1 = 7. Tanım kümesi A = {0, 1, 2} ise görüntü kümesi {f(0), f(1), f(2)} = {1, 3, 5}'tir.

Bazı sorular kuralı parantez içinde bir ifadeyle verir: f(x + 1) = 2x + 5. f(3) istendiğinde x yerine 3 yazılmaz; parantezin içi 3 yapılır. x + 1 = 3 ise x = 2, dolayısıyla f(3) = 2 · 2 + 5 = 9. 2.5.1'deki denklem çözümü burada parantezin içini hedef değere eşitlemek için kullanılır.

Fonksiyon sayısı

s(A) = m ve s(B) = n ise A'dan B'ye tanımlanabilecek fonksiyon sayısı nᵐ'dir. Gerekçe alt küme sayısınınkine benzer: A'nın her elemanı B'nin n elemanından birini seçer ve bu seçim m kez yapılır. A = {1, 2, 3} ve B = {a, b} için 2³ = 8 fonksiyon vardır. Üssün tanım kümesinin eleman sayısı olduğuna dikkat: B'den A'ya fonksiyon sayısı 3² = 9'dur.

Bire bir ve örten

İki özel durum ileride sık geçer. A'nın farklı elemanları hep farklı elemanlarla eşleniyorsa fonksiyon bire birdir. Görüntü kümesi değer kümesine eşitse, yani B'de açıkta eleman kalmıyorsa fonksiyon örtendir. Yukarıdaki ilk fonksiyon ne bire birdir ne örten: 1 ile 2 aynı elemana gider ve c açıkta kalır.

Görsel harita

Fonksiyon sorusu çözüm sırası

1. Eşleme verildiyse tanım kümesinin her elemanına bak: görüntüsü var mı, tek mi?
2. Kural verildiyse parantezin içini istenen değere eşitle.
3. Sayma sorusunda tabanın değer kümesi, üssün tanım kümesi olduğunu denetle.
4. Kartezyen çarpımda sırayı koru; birinci bileşen hep ilk yazılan kümeden gelir.

Sınav gözüyle

Fonksiyon tanımı sorularında tuzak çoğunlukla değer kümesindedir. Değer kümesinde açıkta eleman kalması ya da bir elemana birden çok ok gelmesi fonksiyonu bozmaz; bozan, tanım kümesinde açıkta eleman kalması ya da bir elemandan iki ok çıkmasıdır. Ok şemasında bakılacak yer okların çıktığı taraftır.

Değer bulma sorularında ise f(x + 1) gibi bir yazılışta sayıyı doğrudan x yerine koymak sık yapılan bir hatadır. Seçeneklerde bu hatanın sonucu genellikle yer alır; bu yüzden işlem bittikten sonra parantezin içinin gerçekten istenen sayıya eşit olup olmadığını kontrol etmek kısa ve güvenli bir adımdır.

Hafıza kancaları

• "Sıra 2, koltuk 3" — (2, 3) ile (3, 2) başka yerler.
• "Satır çarpı sütun" — s(A × B) = s(A) · s(B).
• "Ok çıkan taraf kurallı" — her elemandan tam bir ok.
• "Değer kümesi taban, tanım kümesi üs" — fonksiyon sayısı nᵐ.
• "Parantezin içini eşitle" — f(x + 1) sorusunda x'i önce bul.

Mini test

1. (kolay) (a + 1, 5) = (4, b - 2) olduğuna göre a + b kaçtır?

A) 8 B) 10 C) 12 D) 7 E) 9

2. (kolay) s(A) = 3 ve s(B) = 4 olduğuna göre s(A × B) kaçtır?

A) 7 B) 64 C) 81 D) 12 E) 16

3. (orta) f(x) = 3x - 2 olduğuna göre f(4) + f(0) kaçtır?

A) 8 B) 12 C) 10 D) -2 E) 6

4. (orta) A = {1, 2, 3} ve B = {a, b} olduğuna göre A'dan B'ye kaç fonksiyon tanımlanabilir?

A) 6 B) 9 C) 64 D) 5 E) 8

5. (sınav) f(x + 1) = 2x + 5 olduğuna göre f(3) kaçtır?

A) 11 B) 7 C) 9 D) 13 E) 5

Cevaplar

1. B — a + 1 = 4'ten a = 3, 5 = b - 2'den b = 7; toplam 10.
2. D — 3 · 4 = 12. A, eleman sayılarını toplamanın sonucudur.
3. A — f(4) = 10, f(0) = -2; toplam 8. C, yalnız f(4)'tür; D, yalnız f(0)'dır.
4. E — 2³ = 8. A, s(A × B)'dir; B, B'den A'ya fonksiyon sayısıdır (3²); C, bağıntı sayısıdır (2⁶).
5. C — x + 1 = 3, x = 2, f(3) = 9. A, 3'ü doğrudan x yerine koymanın sonucudur; B, x = 1 için; D, x = 4 için bulunan değerdir.

Özet kartı

• Sıralı ikilide sıra önemlidir: (a, b) = (c, d) ancak a = c ve b = d ise.
• A × B, birinci bileşeni A'dan, ikincisi B'den gelen bütün ikililerdir; s(A × B) = s(A) · s(B).
• A × B'nin her alt kümesi bir bağıntıdır; bağıntı sayısı 2^(s(A) · s(B))'dir.
• Fonksiyonda tanım kümesinin her elemanı değer kümesinin tam bir elemanıyla eşlenir; değer kümesinde açıkta eleman kalabilir.
• Görüntü kümesi değer kümesinin alt kümesidir.
• s(A) = m, s(B) = n ise A'dan B'ye nᵐ fonksiyon vardır.
• f(x + 1) gibi kurallarda değer bulmak için parantezin içi istenen sayıya eşitlenir.

Kaynaklar

Sonraki derse köprü

Fonksiyon bir elemanı alıp bir eleman verir. Bazı kurallar ise aynı kümeden iki eleman alır ve tek bir sonuç üretir; toplama ve çarpma bunun bilinen örnekleridir, ama sınav yeni semboller tanımlayıp kuralı soruda verir. Ders 2.8.3, "İşlem ve modüler aritmetik", bu tür ikili işlemleri ve saat gibi belli bir sayıdan sonra başa dönen kalan hesabını ele alıyor.