Kümeler

Kanca

Bir öğretmen tahtaya iki ifade yazıyor: "sınıfın uzun boylu öğrencileri" ve "sınıfın boyu 170 santimetreden uzun öğrencileri". İlk ifadeye kimin girdiği kişiden kişiye değişir; 168 santimetrelik bir öğrenci birine göre uzun, öbürüne göre değildir. İkinci ifadede ise her öğrenci için cevap kesindir: ya 170'ten uzundur ya değildir. Matematikte yalnız ikincisi bir kümedir.

Küme, matematiğin en temel kavramlarından biridir ve sınavın bütün sayı konularının altında yatar: doğal sayılar, tam sayılar, çözüm kümeleri. 2.7.6'da Venn şemasıyla ortak elemanları saydık. Bu ders bir adım geri çekiliyor ve kümenin kendisini tanımlıyor: kümenin nasıl yazıldığını, iki kümenin ne zaman eşit sayıldığını, alt kümeleri ve bir kümenin kaç alt kümesi olduğunu.

Büyük resim

Küme, iyi tanımlanmış nesnelerin topluluğudur. "İyi tanımlanmış", herhangi bir nesnenin kümeye ait olup olmadığının kesin olarak söylenebilmesi demektir. Kümeye ait nesnelere eleman denir. Bir elemanın kümeye ait olması ∈, ait olmaması ∉ ile gösterilir: 3 ∈ {1, 2, 3}, 5 ∉ {1, 2, 3}.

Kümeler arasındaki bağıntılar, eşitlik ve kapsama, sayılar arasındaki eşitlik ve büyüklük bağıntılarının küme dünyasındaki karşılığıdır. Alt küme kavramı ise sınavın sık sorduğu bir sayma sorusuna kapı açar: bir kümenin kaç alt kümesi olduğu. Kümeler arası işlemler, birleşim, kesişim ve fark, bu dersin son bölümünde liste düzeyinde ele alınıyor; eleman sayısı hesapları 2.7.6'da işlendi.

Kavram çekirdeği

Kümenin gösterimi

Bir küme üç biçimde yazılabilir:

• Liste yöntemi: Elemanlar süslü parantez içinde virgülle yazılır: A = {2, 4, 6, 8}.
• Ortak özellik yöntemi: Elemanların ortak özelliği yazılır: A = {x | x çift doğal sayı ve 0 < x < 10}.
• Venn şeması: Elemanlar kapalı bir eğrinin içine yazılır.

Liste yönteminde elemanların sırası önemsizdir ve aynı eleman bir kez sayılır. {1, 2, 2, 3, 3, 3} kümesi, {1, 2, 3} kümesidir; eleman sayısı s(A) = 3'tür. Tekrarlanan elemanları ayrı saymak sık yapılan bir hatadır.

Boş küme

Hiç elemanı olmayan kümeye boş küme denir ve ∅ ya da { } ile gösterilir. {x | x doğal sayı ve x + 3 = 1} kümesi boştur, çünkü x = -2 bir doğal sayı değildir.

İki yazılış sık karıştırılır. {0} boş küme değildir; bir elemanı vardır: 0. {∅} de boş küme değildir; bir elemanı vardır: boş küme. Boş kümenin kendisi süslü parantezin içine yazılınca artık bir eleman olur.

Sonlu ve sonsuz kümeler

Elemanları sayılıp bitirilebilen kümeye sonlu küme, bitirilemeyene sonsuz küme denir. 100'den küçük doğal sayılar kümesi sonludur; çift doğal sayılar kümesi sonsuzdur. 2.1.1'deki sayı kümeleri, doğal sayılar, tam sayılar ve rasyonel sayılar, sonsuz kümelerdir.

Eşit ve denk kümeler

Elemanları tamamen aynı olan iki kümeye eşit küme denir: {1, 2, 3} = {3, 1, 2}. Eleman sayıları aynı olan iki kümeye denk küme denir: {1, 2, 3} ile {a, b, c} denktir ama eşit değildir. Her eşit küme denktir; her denk küme eşit değildir.

Alt küme

A kümesinin her elemanı B kümesinin de elemanıysa A, B'nin alt kümesidir ve A ⊆ B ile gösterilir. {1, 2}, {1, 2, 3}'ün alt kümesidir.

İki kural hemen çıkar. Her küme kendisinin alt kümesidir. Boş küme her kümenin alt kümesidir, çünkü boş kümede B'ye ait olmayan bir eleman yoktur. Bir kümenin kendisinden farklı alt kümelerine öz alt küme denir.

Alt küme sayısı

n elemanlı bir kümenin 2ⁿ alt kümesi vardır. Bunun nedeni, her elemanın bir alt kümeye ya girmesi ya girmemesidir: iki seçenek, n eleman, toplam 2 × 2 × … × 2 = 2ⁿ seçim. Üs, bu tekrar eden çarpmanın kısa yazılışıdır.

4 elemanlı {a, b, c, d} kümesinin 2⁴ = 16 alt kümesi vardır: boş küme, dört tane bir elemanlı, altı tane iki elemanlı, dört tane üç elemanlı ve kümenin kendisi. Öz alt küme sayısı 16 - 1 = 15'tir.

Bazı sorular belli elemanları içeren alt kümeleri sorar. 5 elemanlı bir kümenin a elemanını içeren alt küme sayısı, a'nın kesin girdiği, kalan 4 elemanın serbest olduğu durumlardır: 2⁴ = 16. a'yı içerip b'yi içermeyen alt kümelerde iki eleman kesinleşmiştir ve 3 eleman serbesttir: 2³ = 8.

Kümelerle işlemler

A = {1, 2, 3, 4} ve B = {3, 4, 5} için:

• Birleşim (A ∪ B): İki kümenin bütün elemanları: {1, 2, 3, 4, 5}.
• Kesişim (A ∩ B): Ortak elemanlar: {3, 4}.
• Fark (A - B): A'da olup B'de olmayanlar: {1, 2}. B - A ise {5}'tir; fark işleminde sıra önemlidir.

Kesişimi boş olan iki kümeye ayrık küme denir. Evrensel küme E verildiğinde bir kümenin tümleyeni, evrensel kümede olup o kümede olmayan elemanlardır: A' = E - A.

Görsel harita

Küme sorusu çözüm sırası

1. Kümeyi liste biçiminde yaz; tekrarları at.
2. Boş küme, {0} ve {∅} ayrımını denetle.
3. Alt küme sorusunda serbest eleman sayısını bul ve 2'nin kuvvetini al.
4. İşlemlerde, özellikle farkta, sırayı koru.
5. Eleman sayısı soruluyorsa 2.7.6'daki formüllere geç.

Sınav gözüyle

Küme kavramı sorularında tuzaklar çoğunlukla tanımlardadır: {0} ile ∅'yi, {∅} ile ∅'yi karıştırmak; tekrarlanan elemanları ayrı saymak; eşit ile denk kümeyi birbirine katmak. Bu sorular hesap istemez, tanımın dikkatli okunmasını ister.

Alt küme sorularında ise sayma sık sınanır. 2ⁿ formülü bilinse de "öz alt küme", "belli bir elemanı içeren", "en az iki elemanlı" gibi kısıtlar sonucu değiştirir. Her kısıtın kaç elemanı kesinleştirdiğini ya da hangi alt kümeleri dışarıda bıraktığını yazmak bu soruları düzenler.

Hafıza kancaları

• "Kesin karar varsa küme" — "uzun boylular" değil, "170'ten uzunlar".
• "Tekrar bir kez sayılır" — {1, 2, 2} → 2 eleman.
• "{0} ve {∅} boş değil" — birer elemanları var.
• "Her eleman gir ya da girme" — 2ⁿ alt küme.
• "Eşit aynı eleman, denk aynı sayı" — {1, 2, 3} ve {a, b, c} denk.

Mini test

1. (kolay) {1, 2, 2, 3, 3, 3} kümesinin eleman sayısı kaçtır?

A) 6 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1

2. (kolay) A = {a, b, c, d} kümesinin kaç alt kümesi vardır?

A) 16 B) 8 C) 15 D) 4 E) 32

3. (orta) A = {1, 2, 3, 4} ve B = {3, 4, 5} olduğuna göre A - B kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) {5} B) {3, 4} C) {1, 2, 3, 4, 5} D) {1, 2, 5} E) {1, 2}

4. (orta) 5 elemanlı bir kümenin, kümenin a elemanını içeren kaç alt kümesi vardır?

A) 32 B) 16 C) 8 D) 31 E) 15

5. (sınav) Aşağıdakilerden hangisi boş kümedir?

A) {0} B) {∅} C) {x | x tam sayı ve x² = 4} D) {x | x doğal sayı ve x + 3 = 1} E) {x | x doğal sayı ve x < 1}

Cevaplar

1. C — Tekrarlanan elemanlar bir kez sayılır: {1, 2, 3}. A, tekrarları ayrı saymanın sonucudur.
2. A — 2⁴ = 16. C, öz alt küme sayısıdır.
3. E — A'da olup B'de olmayanlar 1 ve 2'dir. A, B - A'dır; B, kesişimdir.
4. B — a kesin, kalan 4 eleman serbest: 2⁴ = 16. A, bütün alt küme sayısıdır.
5. D — x = -2 doğal sayı olmadığı için küme boştur. A ve B birer elemanlıdır; C'nin elemanları -2 ve 2'dir; E'nin elemanı 0'dır.

Özet kartı

• Küme, iyi tanımlanmış nesnelerin topluluğudur; her nesnenin kümeye ait olup olmadığı kesin olmalıdır.
• Liste yönteminde sıra önemsizdir, tekrarlanan eleman bir kez sayılır.
• Boş küme ∅ ya da { } ile gösterilir; {0} ve {∅} birer elemanlıdır.
• Eşit kümeler aynı elemanlara, denk kümeler aynı eleman sayısına sahiptir.
• n elemanlı kümenin 2ⁿ alt kümesi, 2ⁿ - 1 öz alt kümesi vardır; k elemanı kesinleşen alt kümelerin sayısı 2ⁿ⁻ᵏ'dir.
• Fark işleminde sıra önemlidir: A - B ile B - A farklıdır.

Kaynaklar

Sonraki derse köprü

Bu derste kümelerin elemanları tek tek sayılardı. İki kümeden birer eleman alıp sıralı bir çift kurduğumuzda yeni bir küme doğar ve bu kümenin bazı alt kümeleri, girdileri çıktılara bağlayan kurallar olur. Ders 2.8.2, "Kartezyen çarpım ve fonksiyon temeli", sıralı ikilileri, kartezyen çarpımı ve fonksiyon kavramının temelini ele alıyor.