Küme problemleri

Kanca

Bir sınıfta 40 öğrenci var. Öğretmen sayıyor: spor kulübüne 25 öğrenci, müzik kulübüne 18 öğrenci üye. 25 + 18 = 43 eder ve sınıftaki öğrenci sayısını aşar. Sayımda bir hata yok; bazı öğrenciler iki kulübe birden üyedir ve toplama iki kez girmiştir. Öğretmen ikisine birden üye olanları sayınca 8 öğrenci buluyor. Artık her şey yerine oturur: en az bir kulübe üye olan 25 + 18 - 8 = 35, hiçbirine üye olmayan 40 - 35 = 5 öğrenci vardır.

Küme problemlerinin hepsi bu tek düzeltmeye dayanır: kesişen gruplar toplanırken ortak kısım bir kez sayılmalıdır. Bu ders iki ve üç kümeli soruları Venn şemasıyla çözmeyi, "yalnız", "en az bir", "hiçbiri" gibi ifadeleri doğru bölgeye yerleştirmeyi ve kesişimin alabileceği en küçük ve en büyük değeri bulmayı ele alıyor.

Büyük resim

Bir küme problemi, bir topluluğu birbirine geçebilen gruplara ayırır. Gruplar kesişmeseydi, 2.7.5'teki daire grafiğinde olduğu gibi, eleman sayıları doğrudan toplanırdı. Kesiştiklerinde ortak elemanlar her grubun sayımına girer ve basit toplam onları iki kez sayar.

Bu durumun çaresi iki biçimde uygulanır: bir formülle ya da Venn şemasıyla. Formül hızlıdır ama yalnız birleşimi verir. Venn şeması daha yavaştır ama her bölgedeki eleman sayısını gösterir ve "yalnız spor", "yalnız bir kulüp" gibi soruları doğrudan cevaplar. Sorular sık sık bir bölgenin eleman sayısını istediği için şema çoğu zaman daha güvenli bir yoldur.

Kavram çekirdeği

İki kümenin birleşimi

İki kümenin birleşimindeki eleman sayısı s(A ∪ B) = s(A) + s(B) - s(A ∩ B)'dir. Kesişim iki kez toplandığı için bir kez çıkarılır. Kancadaki sınıfta s(spor ∪ müzik) = 25 + 18 - 8 = 35'tir.

"Hiçbiri" sorusu, evrensel kümeden birleşimi çıkarmaktır: 40 - 35 = 5. Bu, 2.6.3'teki "kalan" bakışının kümelerdeki karşılığıdır.

Venn şemasını içten dışa doldurmak

Venn şeması her zaman en içteki bölgeden başlanarak doldurulur. Kesişime 8 yazılır. Spor kümesinin geri kalanı 25 - 8 = 17'dir: yalnız sporcular. Müziğin geri kalanı 18 - 8 = 10'dur: yalnız müzisyenler. Dışarıda 5 öğrenci kalır. Dört bölgenin toplamı 17 + 8 + 10 + 5 = 40'tır; denetim tutar.

Dışarıdan başlayan aday "spora 25 öğrenci üye" bilgisini yalnız sporcular bölgesine yazar ve kesişimi iki kez sayar. İçten dışa doldurmak bu hatayı önler.

Sözcükleri bölgelere yerleştirmek

Küme sorularında sözcüklerin her biri bir bölgeye karşılık gelir:

• "Spor kulübüne üye": Spor kümesinin tamamı, kesişim dahil: 25.
• "Yalnız spor kulübüne üye": Spor kümesinden kesişim çıkarılmış hâli: 17.
• "İki kulübe birden": Kesişim: 8.
• "En az bir kulübe": Birleşim: 35.
• "Yalnız bir kulübe": İki "yalnız" bölgenin toplamı: 17 + 10 = 27.
• "Hiçbirine": Dış bölge: 5.

"Yalnız bir kulübe" ile "en az bir kulübe" kolayca karıştırılan iki ifadedir. İlki kesişimi dışarıda bırakır, ikincisi içine alır. Kısa formülle yalnız bir kulübe üye olanlar s(A) + s(B) - 2 × s(A ∩ B) = 25 + 18 - 16 = 27'dir.

Üç küme

Üç kümede birleşim formülü genişler: s(A ∪ B ∪ C) = s(A) + s(B) + s(C) - s(A ∩ B) - s(A ∩ C) - s(B ∩ C) + s(A ∩ B ∩ C). İkili kesişimler çıkarılınca üçlü kesişim üç kez çıkarılmış olur; bu yüzden bir kez geri eklenir.

60 kişilik bir grupta 30 kişi İngilizce, 20 kişi Almanca, 15 kişi Fransızca biliyor olsun. İngilizce ve Almanca bilen 8, İngilizce ve Fransızca bilen 6, Almanca ve Fransızca bilen 4, üç dili bilen 2 kişidir. En az bir dil bilen 30 + 20 + 15 - 8 - 6 - 4 + 2 = 49 kişidir; hiçbirini bilmeyen 11 kişidir.

Venn şemasıyla da aynı sonuç bulunur, yine içten dışa: ortada 2; ikili kesişimlerin yalnız kısımları 6, 4 ve 2; yalnız İngilizce 18, yalnız Almanca 10, yalnız Fransızca 7. Bu yedi bölgenin toplamı 49'dur.

Üçlü kesişimi geri eklemeyi unutan aday 47 bulur; formülün son terimi bu hatayı kapatmak için vardır.

Kesişimin en az ve en çok değeri

Bazı sorular kesişimi vermez, alabileceği değerleri sorar. 40 kişilik sınıfta 25 sporcu ve 18 müzisyen varsa kesişim en az 25 + 18 - 40 = 3'tür; çünkü 43 üyelik 40 kişiye ancak en az 3 kişi iki kez sayılarak sığar. Kesişim en çok, küçük kümenin tamamı kadar, yani 18 olabilir; bu durumda bütün müzisyenler aynı zamanda sporcudur.

En az değer formülü, birleşimin evrensel kümeyi aşamayacağından gelir: s(A ∪ B) ≤ s(E). Toplam evrensel kümeyi aşmıyorsa kesişim sıfır olabilir.

Görsel harita

Küme sorusu çözüm sırası

1. Evrensel kümeyi ve verilen kümeleri yaz.
2. Venn şemasını en içteki kesişimden başlayarak doldur.
3. Her ifadeyi bir bölgeye eşle: yalnız, en az, ikisi birden, hiçbiri.
4. Bölgelerin toplamını evrensel kümeyle karşılaştırarak denetle.
5. Üç kümede üçlü kesişimi geri eklemeyi unutma.

Sınav gözüyle

Küme sorularında hata sık sık hesaptan değil, ifade ile bölge arasındaki eşleştirmeden gelir. "Spora üye" ile "yalnız spora üye" arasındaki fark, kesişim kadardır ve seçeneklerde iki sayı da bulunabilir. Her ifadenin altına bölgesini yazmak bu karışıklığı önler.

İkinci kalıp, kesişimin verilmediği "en az, en çok" sorularıdır. Bu sorularda formül değil mantık işler: toplam üyelik evrensel kümeyi ne kadar aşıyorsa kesişim en az o kadardır. Seçeneklerden birini koyarak bölgelerin negatif çıkıp çıkmadığına bakmak da bir denetim yoludur.

Hafıza kancaları

• "Kesişim bir kez çıkar" — 25 + 18 - 8.
• "İçten dışa doldur" — önce ortadaki bölge.
• "Yalnız biri, kesişimi dışarıda bırakır" — 17 + 10.
• "Üçte ikilileri çıkar, üçlüyü geri ekle" — 49, 47 değil.
• "Kesişim en az = toplam - evren" — 43 - 40 = 3.

Mini test

1. (kolay) Bir sınıfta spor kulübüne 25, müzik kulübüne 18 öğrenci üyedir ve 8 öğrenci iki kulübe birden üyedir. En az bir kulübe üye olan kaç öğrenci vardır?

A) 43 B) 27 C) 8 D) 35 E) 33

2. (kolay) Aynı sınıfta 40 öğrenci olduğuna göre hiçbir kulübe üye olmayan kaç öğrenci vardır?

A) 13 B) 5 C) 8 D) 15 E) 0

3. (orta) Aynı sınıfta yalnız bir kulübe üye olan kaç öğrenci vardır?

A) 35 B) 17 C) 10 D) 43 E) 27

4. (orta) 60 kişilik bir grupta İngilizce 30, Almanca 20, Fransızca 15 kişi biliyor. İngilizce-Almanca 8, İngilizce-Fransızca 6, Almanca-Fransızca 4 kişi biliyor ve 2 kişi üç dili de biliyor. En az bir dil bilen kaç kişi vardır?

A) 49 B) 65 C) 47 D) 51 E) 11

5. (sınav) 40 kişilik bir sınıfta 25 öğrenci spor, 18 öğrenci müzik kulübüne üyedir. İki kulübe birden üye olan öğrenci sayısı en az kaçtır?

A) 0 B) 18 C) 3 D) 7 E) 15

Cevaplar

1. D — 25 + 18 - 8 = 35. A, kesişimi çıkarmamanın sonucudur.
2. B — 40 - 35 = 5. C, kesişimin kendisidir.
3. E — 17 + 10 = 27. A, en az bir kulübe üye olanların sayısıdır; B, yalnız sporculardır.
4. A — 30 + 20 + 15 - 8 - 6 - 4 + 2 = 49. B, kümelerin düz toplamı; C, üçlü kesişimi geri eklememenin sonucudur; E, hiçbir dil bilmeyenlerdir.
5. C — 25 + 18 - 40 = 3. B, kesişimin alabileceği en çok değerdir; A, toplamın evrensel kümeyi aştığını gözden kaçırmanın sonucudur.

Özet kartı

• İki kümede s(A ∪ B) = s(A) + s(B) - s(A ∩ B); hiçbiri = evren - birleşim.
• Venn şeması en içteki kesişimden başlanarak doldurulur.
• "Yalnız A" kesişimi dışarıda bırakır; "en az biri" birleşimdir; "yalnız biri" iki yalnız bölgenin toplamıdır.
• Üç kümede ikili kesişimler çıkarılır, üçlü kesişim geri eklenir.
• Kesişim en az s(A) + s(B) - s(E), en çok küçük kümenin eleman sayısı kadardır.
• Bölgelerin toplamı evrensel kümeye eşit olmalıdır.

Kaynaklar

Sonraki derse köprü

İşçi, hareket, saat, grafik ve küme sorularını birer birer ele aldık. Sınavda ise uzun bir metin bu türlerden ikisini ya da üçünü aynı soruda birleştirebilir ve kısıtlı sürede çözülmek ister. Ünitenin son dersi, 2.7.7 "Süre baskısı altında uzun problemler", bir Ustalık dersi olarak uzun problemleri parçalara ayırmayı ve süreyi yönetmeyi ele alıyor.