Saat ve takvim problemleri

Kanca

Saat 3:15. Yelkovan 3'ün üzerinde, akrep de 3'ün üzerinde görünüyor; ikisi üst üste mi? Hayır. Yelkovan 15 dakikada 3'e geldiğinde akrep de boş durmamıştır: bir saatte bir bölme, yani 30 derece ilerleyen akrep, çeyrek saatte 7,5 derece ilerlemiştir. Saat 3:15'te iki kol arasında 7,5 derecelik bir açı vardır.

Saat kadranı, 2.7.3'teki dairesel pistin küçük bir modelidir: iki kol aynı merkez çevresinde farklı hızlarla döner. Takvim ise başka bir döngüdür: günler yedişer yedişer, aylar ve yıllar kendi uzunluklarıyla tekrar eder. Bu ders kadrandaki açıyı hesaplamayı, kolların ne zaman üst üste geldiğini, süre hesabını ve takvimde gün kaymasını ele alıyor.

Büyük resim

Saat kadranında 12 büyük bölme ve 60 küçük bölme vardır; tam tur 360 derecedir. Bu yüzden her büyük bölme 30, her küçük bölme 6 derecedir. Yelkovan bir saatte, akrep 12 saatte tam tur atar. Bu iki hız bilinince her saatte iki kol arasındaki açı ve kolların buluşma zamanları hesaplanır.

Takvim problemleri ise 2.2.1'de gördüğümüz kalanla döngü fikrine dayanır: haftanın günleri 7'lik bir döngüdür, yıllar 365 ya da 366 günlüktür ve aylar 28 ile 31 gün arasında değişir. Süre hesabında ise 60'lık sistem kullanılır: 60 dakika 1 saattir ve onluk sistem gibi toplanıp çıkarılmaz.

Kavram çekirdeği

Kolların hızları

Yelkovan 60 dakikada 360 derece döner: dakikada 6 derece. Akrep 12 saatte, yani 720 dakikada 360 derece döner: dakikada 0,5 derece. Yelkovan akrebe göre dakikada 6 - 0,5 = 5,5 derece daha hızlıdır. Bu, 2.7.3'teki aynı yönde koşanların göreli hızıdır.

Kollar arasındaki açı

Saat h, dakika m iken kollar arasındaki açı |30h - 5,5m| derecedir. Sonuç 180 dereceden büyükse 360'tan çıkarılarak küçük açı bulunur.

• Saat 3:00: |90 - 0| = 90 derece.
• Saat 4:20: |120 - 110| = 10 derece.
• Saat 9:30: |270 - 165| = 105 derece.

Formülün nedeni basittir: akrep saat başında 30h derecededir ve her dakika 0,5 derece ilerler; yelkovan her dakika 6 derece ilerler. Aradaki fark 30h + 0,5m - 6m = 30h - 5,5m'dir.

Sık yapılan hata, akrebin saat başından sonra ilerlediğini unutmaktır. 9:30'da akrep 9 ile 10'un ortasındadır, 9'un üzerinde değildir. Akrebi 9'da sayan aday 9 ile 6 arasında üç bölme görür ve 90 derece bulur; doğrusu 105 derecedir.

Kollar ne zaman üst üste gelir?

Saat başında kollar arasında 30h derecelik bir açı vardır ve yelkovan bu açıyı dakikada 5,5 derece kapatır. Saat 3:00'te açı 90 derecedir; kollar 90 / 5,5 = 180 / 11 = 16 4/11 dakika sonra üst üste gelir. Cevap tam sayı değildir; sınav seçenekleri bu kesirli dakikayı içerebilir.

12 saat içinde kollar 11 kez üst üste gelir, çünkü yelkovan akrebi 12 saatte 11 kez geçer. Bir günde bu 22 kezdir. Aynı mantıkla kolların dik açı yapması da hesaplanır: açının 90 ya da 270 derece olduğu anlar aranır.

Süre hesabı: 60'lık sistem

Saat ve dakika toplanırken dakikalar 60'ı geçerse 60'ı bir saate çevrilir. 08:45'te başlayan 4 saat 50 dakikalık bir iş, 12:95 değil 13:35'te biter: 45 + 50 = 95 dakika, yani 1 saat 35 dakikadır.

Çıkarmada da aynı kural geçerlidir: 13:20 - 08:45 hesaplanırken 20 dakikadan 45 çıkmadığı için bir saat ödünç alınır: 12 saat 80 dakika - 8 saat 45 dakika = 4 saat 35 dakika.

Takvim: gün kayması

Bir haftada 7 gün vardır; n gün sonraki gün, n'nin 7'ye bölümünden kalan kadar ileridedir. 2.2.1'de bu kalan hesabını görmüştük. Yıllara uygulandığında önemli bir sonuç çıkar: 365 = 52 × 7 + 1 olduğu için normal bir yıl sonra aynı tarih bir gün ileri kayar. Bir yılın 1 Ocak'ı pazartesiyse, yıl artık yıl değilse ertesi yılın 1 Ocak'ı salıdır. Araya 29 Şubat giriyorsa yıl 366 gündür ve kayma 2 gündür.

Artık yıl kuralı şöyledir: 4'e bölünebilen yıllar artık yıldır; ancak 100'e bölünebilenler, 400'e de bölünebilmiyorsa artık yıl değildir. 2000 artık yıldı, 1900 değildi.

Tarih aralığı

İki tarih arasındaki gün sayısı hesaplanırken ayların uzunlukları dikkate alınır. 15 Mart'tan 2 Nisan'a kadar Mart'ta 31 - 15 = 16 gün, Nisan'da 2 gün vardır: toplam 18 gün. Ocak, Mart, Mayıs, Temmuz, Ağustos, Ekim ve Aralık 31; Nisan, Haziran, Eylül ve Kasım 30 gündür; Şubat 28, artık yılda 29 gündür.

Görsel harita

Saat-takvim çözüm sırası

1. Saat sorusunda akrebin saat başından sonra ilerlediğini unutma.
2. Açıyı |30h - 5,5m| ile bul; 180'den büyükse 360'tan çıkar.
3. Buluşma ya da belli bir açı için farkı 5,5'e böl.
4. Süreleri 60'lık sistemde topla ve çıkar.
5. Takvimde 7'ye bölümden kalanı ve artık yılı denetle.

Sınav gözüyle

Saat sorularında en belirleyici hata akrebin hareketini unutmaktır. Bu yüzden 3:15 ve 9:30 gibi saatler iyi birer sınamadır: göz kararıyla bakan aday kolları bölme çizgilerinin üzerinde sanır. Formülü uygulamak bu hatayı tek adımda kapatır.

Takvim sorularında ikinci tuzak artık yıldır. Yılın değiştiği sorularda araya 29 Şubat'ın girip girmediğini denetlemek gerekir; giriyorsa kayma bir değil iki gündür. Süre sorularında ise 60'lık sistem yerine onluk sistemle toplama yapmak, 12:95 gibi var olmayan saatler üretir.

Hafıza kancaları

• "Yelkovan 6, akrep 0,5" — derece/dakika.
• "Açı = |30h - 5,5m|" — 180'i geçerse 360'tan çıkar.
• "Akrep de yürür" — 3:15'te üst üste değil.
• "Üst üste gelmek için farkı 5,5'e böl" — 3:00 → 16 4/11.
• "Yıl bir gün kaydırır, artık yıl iki" — 365 = 52 × 7 + 1.

Mini test

1. (kolay) Saat 4:20'de akrep ile yelkovan arasındaki küçük açı kaç derecedir?

A) 20 B) 10 C) 0 D) 40 E) 30

2. (kolay) Saat 08:45'te başlayan ve 4 saat 50 dakika süren bir toplantı saat kaçta biter?

A) 12:35 B) 13:95 C) 12:95 D) 13:15 E) 13:35

3. (orta) Artık yıl olmayan bir yılın 1 Ocak günü pazartesidir. Ertesi yılın 1 Ocak günü haftanın hangi günüdür?

A) Pazartesi B) Çarşamba C) Pazar D) Salı E) Cuma

4. (orta) Saat 9:30'da akrep ile yelkovan arasındaki küçük açı kaç derecedir?

A) 105 B) 90 C) 75 D) 120 E) 135

5. (sınav) Saat 3:00'ten sonra akrep ile yelkovan ilk kez kaç dakika sonra üst üste gelir?

A) 15 B) 16 C) 16 4/11 D) 18 E) 17 3/11

Cevaplar

1. B — |120 - 110| = 10°. C, akrebi 4'te sabit sanıp kolları üst üste görmenin sonucudur.
2. E — 45 + 50 = 95 dakika = 1 saat 35 dakika; 8 + 4 + 1 = 13 saat; 13:35. B, dakikaları 60'lık sisteme çevirmemenin sonucudur.
3. D — 365 = 52 × 7 + 1; bir gün kayar. A, yılı tam hafta sanmanın; B, artık yıl gibi iki gün kaydırmanın sonucudur.
4. A — |270 - 165| = 105°. B, akrebi 9'da sabit sanmanın sonucudur.
5. C — Açı 90°'dir; 90 / 5,5 = 180 / 11 = 16 4/11 dakika. A, akrebin hareketini unutmanın sonucudur.

Özet kartı

• Kadranda her büyük bölme 30°, her küçük bölme 6°'dir; yelkovan dakikada 6°, akrep 0,5° döner.
• Saat h, dakika m iken kollar arası açı |30h - 5,5m|'dir; 180°'yi aşarsa 360'tan çıkarılır.
• Yelkovan akrebe dakikada 5,5° yaklaşır; buluşma süresi açı / 5,5'tir ve 12 saatte 11 buluşma olur.
• Süreler 60'lık sistemde toplanıp çıkarılır.
• Normal bir yıl haftanın gününü 1, artık yıl 2 gün kaydırır; artık yıl kuralında 100 ve 400 istisnası vardır.
• Tarih aralığında ayların gün sayıları ayrı ayrı toplanır.

Kaynaklar

Sonraki derse köprü

Saat ve takvim sorularında veriler metnin içindeydi. Bazı sorularda ise veriler bir çizelgede ya da bir grafikte verilir ve sorunun ilk adımı, o görselden doğru sayıyı okumaktır. Ders 2.7.5, "Grafik ve tablo problemleri", sütun, çizgi ve daire grafiklerinden ve tablolardan bilgi çıkarıp hesap yapmayı ele alıyor.