Hareket II: karşılaşma, yetişme, dairesel pist

Kanca

Ali ile Veli'nin evleri arasında 5 kilometre var. Ali saatte 4, Veli saatte 6 kilometre hızla yürüyor. İkisi aynı anda evlerinden birbirine doğru yola çıkarsa 5 / (4 + 6) = yarım saatte buluşurlar. Ama Veli, Ali'nin evinden 5 kilometre gerideyken ikisi aynı yöne yürüseydi, Veli'nin Ali'ye yetişmesi 5 / (6 - 4) = 2,5 saat sürerdi. Aynı iki hız, aynı mesafe; bir durumda yarım saat, öbüründe beş katı.

Fark, iki hareketlinin birbirine göre ne kadar hızla yaklaştığındadır. Birbirine doğru gidenler her saat hızlarının toplamı kadar yaklaşır; aynı yönde gidenlerden arkadaki, önündekine hızların farkı kadar yaklaşır. Bu ders göreli hız kavramını, karşılaşma ve yetişme problemlerini, kapalı bir pistte koşanların ne zaman yan yana geldiğini ele alıyor.

Büyük resim

2.7.2'de tek bir hareketlinin yol, hız ve zaman bağıntısını kurduk: x = v × t. İki hareketli olduğunda bu bağıntı, aradaki mesafe için yazılır. Aradaki mesafe ne kadar hızla değişiyorsa ona göreli hız denir; karşılaşma ya da yetişme süresi, aradaki mesafenin göreli hıza bölümüdür.

Göreli hızın kuralı yöne bağlıdır. Zıt yönde birbirine doğru giden iki hareketlinin göreli hızı, hızlarının toplamıdır. Aynı yönde gidenlerin göreli hızı, hızlarının farkıdır. Dairesel pistte de aynı kural geçerlidir; yalnız aradaki mesafe pistin çevresi olur. 2.7.1'de birlikte çalışanların hızlarını toplamıştık; burada da birlikte kapatılan mesafe için hızlar toplanır.

Kavram çekirdeği

Karşılaşma: zıt yönde

Aralarında d kadar mesafe bulunan iki hareketli birbirine doğru aynı anda yola çıkarsa karşılaşma süresi d / (v₁ + v₂)'dir. Aralarında 360 kilometre bulunan iki şehirden saatte 50 ve 70 kilometre hızla birbirine doğru çıkan iki araç 360 / 120 = 3 saatte karşılaşır.

Karşılaşma anında her aracın aldığı yol, kendi hızı ile karşılaşma süresinin çarpımıdır: 50 × 3 = 150 ve 70 × 3 = 210 kilometre. İki yolun toplamı başlangıç mesafesidir. Aynı sürede gidildiği için yolların oranı hızların oranına eşittir: 150 : 210 = 5 : 7. Bu orantı, 2.5.5'teki doğru orantının hareketteki karşılığıdır ve sorular çoğu zaman bu oranı kullanarak kısaltılır.

Araçlar aynı anda yola çıkmıyorsa önce erken çıkanın tek başına aldığı yol hesaplanır, bu yol başlangıç mesafesinden çıkarılır, kalan mesafe göreli hıza bölünür.

Yetişme: aynı yönde

Aynı yönde giden iki hareketliden arkadaki daha hızlıysa, aradaki mesafeyi her saat hızların farkı kadar kapatır. Yetişme süresi d / (v₁ - v₂)'dir. Önünde 60 kilometre bulunan bir araca, saatte 80 kilometreyle giden araç, öndeki saatte 60 kilometreyle gidiyorsa 60 / 20 = 3 saatte yetişir.

Sık görülen bir kurgu, aynı noktadan farklı zamanlarda çıkan araçlardır. Bir araç saatte 60 kilometreyle yola çıkıyor; 2 saat sonra aynı noktadan ikinci bir araç saatte 90 kilometreyle çıkıyor. İkinci araç yola çıktığında birincisi 120 kilometre öndedir. Aradaki fark saatte 30 kilometre kapanır; ikinci araç 4 saatte yetişir. Soru "ikinci araç kaç saatte yetişir?" diyorsa 4, "birinci araç yola çıktıktan kaç saat sonra yetişilir?" diyorsa 6'dır.

Arkadaki hareketli öndekinden yavaşsa ya da eşit hızdaysa hiç yetişemez; bu durumda soru bir tuzaktır ya da başka bir şey soruyordur.

Dairesel pist

Kapalı bir pistte aynı noktadan aynı anda yola çıkan iki koşucu için aradaki mesafe pistin çevresidir.

• Zıt yönde koşarlarsa ilk karşılaşmaları için birlikte bir tur kapatmaları gerekir: süre = çevre / (v₁ + v₂). 400 metrelik bir pistte saniyede 5 ve 3 metre hızla zıt yönde koşanlar 400 / 8 = 50 saniyede karşılaşır.
• Aynı yönde koşarlarsa hızlı olanın yavaşa bir tur bindirmesi gerekir: süre = çevre / (v₁ - v₂). Aynı koşucular aynı yönde koşarsa 400 / 2 = 200 saniyede yan yana gelir.

İkinci, üçüncü karşılaşmalar aynı aralıklarla tekrar eder: zıt yönde her 50 saniyede, aynı yönde her 200 saniyede. Bu, 2.2.5'teki "yeniden birlikte olma" sorularının hareketteki karşılığıdır; orada döngüler EKOK'ta buluşuyordu, burada göreli hızla kapatılan tur sayısında.

Karşılaşmadan sonra

Karşılaştıktan sonra yollarına devam eden iki hareketli birbirinden yine hızların toplamıyla uzaklaşır. 50 ve 70 km/sa ile giden araçlar karşılaştıktan 1 saat sonra aralarında 120 kilometre olur. Uzaklaşma da yaklaşma gibi göreli hızla hesaplanır.

Görsel harita

İki hareketli çözüm sırası

1. Yönleri belirle: birbirine doğru mu, aynı yönde mi?
2. Göreli hızı yaz: zıt yönde toplam, aynı yönde fark.
3. Farklı zamanlarda çıkış varsa önce erken çıkanın aldığı yolu hesapla.
4. Aradaki mesafeyi göreli hıza böl.
5. Sorunun hangi süreyi ya da hangi aracın yolunu istediğini oku.

Sınav gözüyle

İki hareketli sorularında en belirleyici adım yönü doğru okumaktır. Zıt yönde hızları çıkarmak ya da aynı yönde toplamak, birbirinden çok farklı ama hesaplanmış görünen sonuçlar verir. Kancadaki gibi, aynı sayılarla yarım saat ile 2,5 saat arasındaki fark yalnız yön sözcüğüne bağlıdır.

İkinci kalıp, sorunun hangi süreyi istediğidir. Geç çıkan aracın yetişmesinde "ikinci aracın süresi" ile "birinci aracın yola çıkışından itibaren geçen süre" farklıdır; ikisi de seçeneklerde bulunabilir. 2.6.1'deki "önce soruyu oku" ilkesi bu farkı kapatır.

Hafıza kancaları

• "Karşılaşmada topla, yetişmede çıkar" — göreli hız.
• "Süre = aradaki mesafe ÷ göreli hız" — her iki durumda.
• "Aynı sürede yol oranı hız oranıdır" — 5 : 7.
• "Geç çıkanın önce farkı kapat" — 120 km önde.
• "Pistte mesafe çevredir" — zıt yön toplam, aynı yön fark.

Mini test

1. (kolay) Aralarında 360 kilometre bulunan iki şehirden saatte 50 ve 70 kilometre hızla iki araç aynı anda birbirine doğru yola çıkıyor. Araçlar kaç saat sonra karşılaşır?

A) 3 B) 6 C) 7,2 D) 1,5 E) 18

2. (kolay) Saatte 60 kilometre hızla giden bir aracın 60 kilometre arkasından, aynı yönde saatte 80 kilometre hızla bir araç geliyor. Arkadaki araç kaç saat sonra öndekine yetişir?

A) 0,43 B) 6 C) 1 D) 3 E) 2

3. (orta) 400 metrelik dairesel bir pistte iki koşucu aynı noktadan aynı anda, zıt yönlerde saniyede 5 ve 3 metre hızla koşmaya başlıyor. İlk kez kaç saniye sonra karşılaşırlar?

A) 200 B) 50 C) 80 D) 133 E) 100

4. (orta) Bir araç saatte 60 kilometre hızla yola çıkıyor. 2 saat sonra aynı noktadan ikinci bir araç aynı yönde saatte 90 kilometre hızla çıkıyor. İkinci araç kaç saatte birinciye yetişir?

A) 2 B) 6 C) 1,33 D) 3 E) 4

5. (sınav) Aralarında 360 kilometre bulunan iki şehirden saatte 50 ve 70 kilometre hızla iki araç aynı anda birbirine doğru yola çıkıyor. Karşılaştıklarında hızlı araç yavaş araçtan kaç kilometre fazla yol almıştır?

A) 20 B) 120 C) 60 D) 210 E) 90

Cevaplar

1. A — Göreli hız 120 km/sa; 360 / 120 = 3 saat. E, hızları çıkarmanın sonucudur.
2. D — Göreli hız 20 km/sa; 60 / 20 = 3 saat. A, hızları toplamanın sonucudur.
3. B — Zıt yönde göreli hız 8 m/sn; 400 / 8 = 50 sn. A, aynı yöndeki süredir.
4. E — İkinci araç çıktığında birincisi 120 km öndedir; 120 / 30 = 4 saat. B, birinci aracın çıkışından itibaren geçen süredir.
5. C — Karşılaşma 3 saattedir; yollar 150 ve 210 km, fark 60 km. D, hızlı aracın yoludur; A, hız farkıdır.

Özet kartı

• Göreli hız, iki hareketli arasındaki mesafenin değişme hızıdır: zıt yönde hızların toplamı, aynı yönde farkı.
• Karşılaşma ya da yetişme süresi, aradaki mesafenin göreli hıza bölümüdür.
• Aynı sürede alınan yolların oranı, hızların oranına eşittir.
• Farklı zamanlarda çıkışta önce erken çıkanın aldığı yol hesaplanır.
• Dairesel pistte aradaki mesafe çevredir; zıt yönde toplam, aynı yönde fark hızla kapatılır ve karşılaşmalar eşit aralıklarla tekrar eder.
• Karşılaştıktan sonra hareketliler yine hızlarının toplamıyla uzaklaşır.

Kaynaklar

Sonraki derse köprü

Dairesel pistteki koşucular belirli aralıklarla aynı noktadan geçiyordu. Bir saatin kadranında dönen akrep ile yelkovan da aynı türden bir dairesel harekettir ve "ikisi ne zaman üst üste gelir?" sorusu pist sorusunun bir benzeridir. Ders 2.7.4, "Saat ve takvim problemleri", saat kadranındaki açıları ve günlerin, ayların döngüsüyle kurulan soruları ele alıyor.