Hareket I: yol, hız, zaman

Kanca

Bir sürücü 120 kilometrelik bir yolu saatte 60 kilometre hızla 2 saatte gidiyor. Hızını yüzde 25 artırıp saatte 75 kilometreye çıkarırsa yol 1,6 saat sürer. Sürücü süreyi yüzde 25 kısaltacağını düşünmüştü; oysa süre yüzde 20 kısalmıştır. Hız ile süre aynı yolda ters orantılıdır ve 2.6.5'teki gibi aynı yüzdeyle değişmezler: 1,25 kat hız, süreyi 1/1,25 = 0,8 katına indirir.

Hareket problemlerinin temeli tek bir bağıntıdır: yol = hız × zaman. Bu derste bu bağıntıyı, birimleri tutarlı tutmayı, ortalama hızın neden hızların ortalaması olmadığını ve tek bir hareketlinin karşılaştığı tipik durumları ele alıyoruz: mola, uzun araçlar, akıntı ve erken-geç varma.

Büyük resim

Bir hareketli belli bir hızla belli bir süre giderse aldığı yol, hız ile sürenin çarpımıdır: x = v × t. Bu bağıntıdan biri bilinmeyen üç biçim çıkar: yol = hız × zaman, hız = yol / zaman, zaman = yol / hız. 2.7.1'deki iş hızı kavramı burada yolun birim zamanda alınan kısmı olarak yeniden karşımıza çıkar.

Hareket problemlerinin çoğu bu bağıntıyı doğru birimlerle yazmaya ve doğru büyüklüğü sabit tutmaya dayanır. Aynı yolda hız ile süre ters orantılıdır; aynı sürede yol ile hız doğru orantılıdır; aynı hızda yol ile süre doğru orantılıdır. Hangi büyüklüğün sabit olduğunu görmek, soruyu 2.5.5'teki orantılardan birine çevirir. İki hareketlinin buluştuğu ya da birbirini kovaladığı durumlar ünitenin sonraki dersine kalıyor.

Kavram çekirdeği

Birimleri tutarlı tutmak

Hız saatte kilometre olarak verilmiş, süre dakika olarak verilmişse önce süre saate çevrilir. Saatte 90 kilometre hızla 40 dakikada alınan yol, 90 × 40/60 = 60 kilometredir. 90 × 40 = 3.600 yazan aday birimleri karıştırmıştır.

Saatte kilometre ile saniyede metre arasında geçiş için 3,6 kullanılır: 1 km/sa = 1.000 m / 3.600 sn = 1/3,6 m/sn. Saatte 72 kilometre, saniyede 72 / 3,6 = 20 metredir. Tersine, saniyede 20 metre, saatte 20 × 3,6 = 72 kilometredir.

Ortalama hız

Ortalama hız, toplam yolun toplam süreye bölümüdür; hızların ortalaması değildir. Bir araç bir yolu saatte 60 kilometreyle gidip saatte 40 kilometreyle dönerse ortalama hızı 50 değil, 48 km/sa'dir.

Bunu görmek için yola 2.6.9'daki gibi kolay bir sayı verilir: 120 kilometre. Gidiş 2 saat, dönüş 3 saat sürer; toplam 240 kilometre 5 saatte alınır ve ortalama 240 / 5 = 48'dir. Araç yavaş giderken daha uzun süre geçirdiği için ortalama, düşük hıza daha yakındır. Eşit yolların ortalama hızı için kısa formül 2 × v₁ × v₂ / (v₁ + v₂)'dir: 2 × 60 × 40 / 100 = 48.

Molalar toplam süreye eklenir. Gidiş-dönüş arasında yarım saat mola veren aracın ortalama hızı 240 / 5,5'tir; mola yol katmaz ama süre katar.

Hız değişince süre

Aynı yolda hız ile süre ters orantılıdır. Hız k katına çıkarsa süre 1/k katına iner. Kancadaki sürücünün hızı 1,25 katına çıktığında süresi 0,8 katına indi; yüzde 25 hız artışı yüzde 20 süre kısalmasına karşılık geldi.

Erken ya da geç varma

"Saatte 60 kilometreyle giderse 1 saat geç, 80 kilometreyle giderse 1 saat erken varıyor" gibi sorularda iki süre arasındaki fark bilinir. Yol d olmak üzere d/60 - d/80 = 2'dir; çünkü 1 saat geç ile 1 saat erken arasında 2 saat fark vardır. d/240 = 2 ve d = 480 kilometredir. Denetim: 480 / 60 = 8 saat, 480 / 80 = 6 saat; fark 2 saat.

Sık yapılan hata, geç ve erken sürelerin farkını 1 saat almaktır; 1 saat geç ile 1 saat erken, planlanan süreden iki yana birer saattir.

Uzun araçlar: tren ve tünel

Bir tren tünelden tamamen geçerken yalnız tünelin uzunluğunu değil, kendi uzunluğunu da yol olarak alır: trenin ön ucu tünele girdiği andan arka ucu tünelden çıktığı ana kadar. 200 metrelik bir tren, saniyede 20 metre hızla 400 metrelik bir tünelden (200 + 400) / 20 = 30 saniyede tamamen geçer.

Bir direğin ya da bir insanın önünden geçerken ise yalnız trenin uzunluğu alınır: 200 / 20 = 10 saniye.

Akıntı ve rüzgâr

Bir tekne akıntı yönünde giderken hızı, kendi hızı ile akıntı hızının toplamıdır; akıntıya karşı giderken farkıdır. Durgun suda saatte 20 kilometre giden bir tekne, saatte 4 kilometrelik akıntıda 48 kilometreyi akıntı yönünde 48 / 24 = 2 saatte, akıntıya karşı 48 / 16 = 3 saatte alır.

Görsel harita

Hareket sorusu çözüm sırası

1. Birimleri eşitle: saat-dakika, km-m.
2. Hangi büyüklüğün sabit olduğunu belirle: yol, hız ya da süre.
3. Ortalama hız soruluyorsa toplam yolu ve toplam süreyi bul; hızları ortalama.
4. Uzun araçlarda kendi uzunluğunu yola ekle; akıntıda hızları topla ya da çıkar.
5. Sonucu birimiyle birlikte denetle.

Sınav gözüyle

Hareket sorularında sık görülen bir kayıp birimlerden gelir. Dakika ile saatin, metre ile kilometrenin karıştırıldığı sonuçlar, gerçek cevabın 60 ya da 1.000 katı olduğu için seçeneklerde kolayca tanınır; ama aday hesabın ortasında birimi kaybederse bu sayılar ona makul görünebilir.

İkinci kalıp ortalama hızdır. Hızların düz ortalaması, gerçek ortalamadan her zaman büyüktür (iki hız farklıysa), çünkü araç yavaş giderken daha uzun süre geçirir. Seçeneklerde düz ortalama bulunuyorsa doğru cevap ondan küçüktür.

Hafıza kancaları

• "Yol = hız × zaman" — üç biçimi de bu bağıntıdır.
• "Önce birimler" — dakikayı saate, km/sa'yi m/sn'ye çevir.
• "Ortalama hız, toplam yol bölü toplam süre" — 48, 50 değil.
• "Aynı yolda hız ve süre ters orantılı" — %25 hız, %20 süre.
• "Tren kendi boyunu da taşır" — tünel + tren.

Mini test

1. (kolay) Saatte 90 kilometre hızla giden bir araç 40 dakikada kaç kilometre yol alır?

A) 36 B) 3.600 C) 60 D) 135 E) 50

2. (kolay) Saatte 72 kilometre hız, saniyede kaç metredir?

A) 20 B) 72 C) 259,2 D) 2 E) 7,2

3. (orta) Bir araç bir yolu saatte 60 kilometre hızla gidip aynı yolu saatte 40 kilometre hızla dönüyor. Aracın bütün yolculuktaki ortalama hızı saatte kaç kilometredir?

A) 50 B) 100 C) 24 D) 45 E) 48

4. (orta) 200 metre uzunluğundaki bir tren saniyede 20 metre hızla 400 metre uzunluğundaki bir tünelden kaç saniyede tamamen geçer?

A) 20 B) 30 C) 10 D) 40 E) 600

5. (sınav) Bir araç saatte 60 kilometre hızla giderse varacağı yere 1 saat geç, saatte 80 kilometre hızla giderse 1 saat erken varıyor. Yol kaç kilometredir?

A) 240 B) 560 C) 140 D) 480 E) 120

Cevaplar

1. C — 40 dakika 2/3 saattir; 90 × 2/3 = 60 km. B, dakikayı saate çevirmemenin sonucudur.
2. A — 72 / 3,6 = 20 m/sn. C, 3,6 ile çarpmanın sonucudur.
3. E — Yol 120 km alınırsa 240 km 5 saatte gidilir; 240 / 5 = 48. A, hızların düz ortalamasıdır.
4. B — (200 + 400) / 20 = 30 sn. A, yalnız tüneli; C, yalnız treni yol almanın sonucudur.
5. D — d/60 - d/80 = 2, d = 480 km. A, süre farkını 1 saat almanın sonucudur.

Özet kartı

• Yol = hız × zaman; hesaplardan önce birimler eşitlenir.
• 1 km/sa = 1/3,6 m/sn'dir.
• Ortalama hız, toplam yolun toplam süreye bölümüdür; eşit yollarda 2v₁v₂ / (v₁ + v₂)'dir ve düz ortalamadan küçüktür.
• Aynı yolda hız ile süre ters orantılıdır.
• Erken-geç varma sorularında iki sürenin farkı, erken ve geç sürelerin toplamıdır.
• Uzun araçlar kendi uzunluğunu da yol olarak alır; akıntıda hızlar toplanır ya da çıkarılır.

Kaynaklar

Sonraki derse köprü

Bu derste her soruda tek bir hareketli vardı. İki araç aynı anda yola çıktığında yeni sorular doğar: birbirine doğru gidenler ne zaman karşılaşır, aynı yönde gidenlerden biri öbürüne ne zaman yetişir, kapalı bir pistte koşanlar ne zaman yan yana gelir? Ders 2.7.3, "Hareket II: karşılaşma, yetişme, dairesel pist", iki hareketlinin göreli hızıyla kurulan bu problemleri ele alıyor.