İşçi ve havuz problemleri

Kanca

İki arkadaş bir okulun bahçe duvarını boyayacak. Ayşe duvarı tek başına 6 saatte, Can 3 saatte boyayabiliyor. Birlikte çalışırlarsa kaç saatte biter? Bir öğrenci 6 ile 3'ün ortalamasını alır ve 4,5 saat der; bir başkası süreleri toplar ve 9 saat der. İkisi de birlikte çalışmanın işi uzatamayacağını gözden kaçırır: Can tek başına 3 saatte bitirebiliyorsa, yanına yardımcı gelince süre 3 saatten kısalmalıdır. Doğru cevap 2 saattir.

İşçi ve havuz problemlerinin ilkesi tektir: birlikte çalışmada süreler değil, hızlar toplanır. Ayşe saatte duvarın 1/6'sını, Can 1/3'ünü boyar; birlikte saatte 1/6 + 1/3 = 1/2'sini boyarlar ve iş 2 saatte biter. Bu ders iş hızı kavramını, birlikte ve ardışık çalışmayı, doldurup boşaltan muslukları ve bu soruları kesirsiz çözmenin yolunu ele alıyor.

Büyük resim

Bir işi tek başına t günde bitiren kişinin hızı, günde işin 1/t'sidir. Hız kavramı, 2.5.5'teki ters orantının işe uygulanmış biçimidir: süre ile hız ters orantılıdır, hız ile süre çarpımı işin tamamını verir. Birden çok kişi aynı anda çalışınca hızlar toplanır, çünkü her biri kendi payını aynı anda yapar.

Havuz problemleri aynı yapının su biçimidir. Dolduran musluk pozitif, boşaltan gider negatif hızla çalışır; havuzun dolma hızı ikisinin farkıdır. 2.6.9'da önerilen sayı verme yöntemi bu sorularda özellikle etkilidir: işin tamamına, sürelerin EKOK'u kadar birim vermek bütün hızları tam sayıya çevirir.

Kavram çekirdeği

İş hızı

Bir işi a günde bitiren kişi günde işin 1/a'sını yapar. 6 günde bitiren günde 1/6, 3 günde bitiren günde 1/3 yapar. Hız ne kadar büyükse süre o kadar kısadır.

Kesirlerle uğraşmamak için işin tamamına sürelerin EKOK'u kadar birim verilir. 6 ve 3 günde bitiren iki kişi için iş 6 birim alınır: biri günde 1, öbürü günde 2 birim yapar. Bu, 2.6.9'daki sayı verme yönteminin işe uygulanışıdır.

Birlikte çalışma

Birlikte çalışan kişilerin hızları toplanır. Ayşe ile Can'ın hızları 1 + 2 = 3 birimdir; 6 birimlik iş 2 saatte biter. Kesirle: 1/6 + 1/3 = 1/2, iş 2 saatte biter.

İki kişi için kısa formül vardır: a ve b sürelerinde bitirenler birlikte ab / (a + b) sürede bitirir. 6 ve 3 için 18 / 9 = 2'dir. Formül iki kişi içindir; üç kişide birim yöntemi daha güvenlidir.

Üç kişi 10, 15 ve 30 günde bitirebiliyorsa işin tamamı EKOK(10, 15, 30) = 30 birim alınır. Hızlar 3, 2 ve 1 birimdir; birlikte 6 birim. İş 30 / 6 = 5 günde biter.

Birlikte çalışma süresi, en hızlı kişinin tek başına süresinden her zaman kısadır. Bu denetim, ortalama ya da toplam alan yanlış cevapları hemen eler.

Birlikte süreden tek kişinin süresini bulmak

A ve B birlikte bir işi 4 günde, A tek başına 6 günde bitiriyorsa B'nin hızı, birlikte hızdan A'nın hızı çıkarılarak bulunur: 1/4 - 1/6 = 1/12. B işi tek başına 12 günde bitirir. Birimle: iş 12 birim, birlikte hız 3, A'nın hızı 2, B'nin hızı 1; B 12 günde bitirir.

Sürelerin farkını almak (6 - 4 = 2 gün) yanlıştır; çıkarılan şey süre değil hızdır.

Ardışık çalışma: biri ayrılınca

Bazı sorularda çalışanlar işin ortasında değişir. Her aşamada yapılan iş ayrı hesaplanır ve kalan iş yeni hızla bitirilir. A bir işi 6, B 12 günde bitirebiliyor; birlikte 2 gün çalışıp sonra A ayrılıyor. İş 12 birim alınır: A günde 2, B günde 1 birim yapar. İlk 2 günde 2 × 3 = 6 birim yapılır, 6 birim kalır. B tek başına 6 günde bitirir; iş toplam 8 günde tamamlanır.

Soru "kalan iş kaç günde biter?" diyorsa cevap 6, "iş toplam kaç günde biter?" diyorsa 8'dir. 2.6.1'deki "istenen büyüklüğü oku" uyarısı burada iki cevabı birbirinden ayırır.

Havuz problemleri: doldurma ve boşaltma

Havuz problemlerinde dolduran musluğun hızı pozitif, boşaltan giderin hızı negatif alınır. Bir musluk boş havuzu 6 saatte dolduruyor, bir gider dolu havuzu 9 saatte boşaltıyor. İkisi birlikte açılırsa havuz kaç saatte dolar? Havuz 18 birim alınır: musluk saatte +3, gider saatte -2 birim; net hız +1. Havuz 18 saatte dolar.

İki hızı toplayan aday, 6 × 9 / 15 = 3,6 saat bulur; bu, iki musluğun birlikte doldurduğu durumun cevabıdır. Gider suyu boşalttığı için havuz musluğun tek başına süresinden daha uzun sürede dolmalıdır; 18 saat bu denetimden geçer.

Havuz başlangıçta boş değilse yalnız kalan kısım hesaplanır: yarı dolu bir havuzun dolması için havuzun yarısı kadar iş kalır.

Görsel harita

İşçi-havuz çözüm sırası

1. İşin tamamına sürelerin EKOK'u kadar birim ver.
2. Her çalışanın hızını birim/gün olarak yaz; boşaltanlar eksi.
3. Birlikte çalışanların hızlarını topla.
4. Çalışanlar değişiyorsa her aşamada yapılan işi çıkar.
5. Sonucu denetle: birlikte süre, en hızlının tek başına süresinden kısa olmalıdır.

Sınav gözüyle

İşçi ve havuz sorularında sık görülen bir hata, süreleri toplamak ya da ortalamaktır. İki yanlış da seçeneklerde bulunabilir ve sezgiye uygun görünür. "Birlikte çalışınca iş daha uzun sürmez" denetimi bu iki hatayı bir bakışta yakalar: birlikte süre, en hızlı kişinin süresinden kısa olmak zorundadır.

Havuz sorularında ikinci tuzak gider hızının işaretidir. Gider ile musluğu aynı yönde çalışıyormuş gibi toplamak, havuzu olması gerekenden çok daha kısa sürede doldurur. Gider varsa havuzun dolma süresi, musluğun tek başına süresinden uzun olmalıdır.

Hafıza kancaları

• "Süre değil hız toplanır" — 1/6 + 1/3 = 1/2.
• "İşe EKOK kadar birim ver" — kesirler kaybolur.
• "Birlikte süre en hızlıdan kısa" — denetim.
• "Gider eksi hızdır" — +3 - 2 = 1.
• "Aşama aşama say" — yapılanı çıkar, kalanı yeni hızla bitir.

Mini test

1. (kolay) Bir işi Ayşe tek başına 6 saatte, Can tek başına 3 saatte bitirebiliyor. İkisi birlikte bu işi kaç saatte bitirir?

A) 9 B) 2 C) 4,5 D) 3 E) 1,5

2. (kolay) A ile B birlikte bir işi 4 günde, A tek başına 6 günde bitirebiliyor. B bu işi tek başına kaç günde bitirir?

A) 2 B) 10 C) 24 D) 8 E) 12

3. (orta) Üç işçi bir işi tek başlarına sırasıyla 10, 15 ve 30 günde bitirebiliyor. Üçü birlikte çalışırsa iş kaç günde biter?

A) 5 B) 55/3 C) 6 D) 10 E) 18

4. (orta) Bir musluk boş bir havuzu 6 saatte dolduruyor, bir gider dolu havuzu 9 saatte boşaltıyor. Havuz boşken ikisi birlikte açılırsa havuz kaç saatte dolar?

A) 15 B) 3 C) 3,6 D) 18 E) 12

5. (sınav) A bir işi 6 günde, B aynı işi 12 günde bitirebiliyor. İkisi birlikte 2 gün çalıştıktan sonra A ayrılıyor ve işi B bitiriyor. İş toplam kaç günde tamamlanır?

A) 6 B) 4 C) 8 D) 10 E) 12

Cevaplar

1. B — İş 6 birim; hızlar 1 ve 2, birlikte 3; 6 / 3 = 2 saat. A, süreleri toplamanın; C, süreleri ortalamanın sonucudur.
2. E — 1/4 - 1/6 = 1/12; B 12 günde bitirir. A, süreleri çıkarmanın sonucudur.
3. A — İş 30 birim; hızlar 3, 2, 1; birlikte 6; 30 / 6 = 5 gün. B, sürelerin ortalamasıdır.
4. D — Havuz 18 birim; +3 - 2 = 1; 18 saat. C, gideri de dolduruyormuş gibi toplamanın sonucudur.
5. C — İş 12 birim; 2 günde 6 birim yapılır; kalan 6 birimi B 6 günde bitirir; toplam 8 gün. A, yalnız kalan işin süresidir.

Özet kartı

• Bir işi t sürede bitirenin hızı 1/t'dir; birlikte çalışmada hızlar toplanır, süreler toplanmaz.
• İşin tamamına sürelerin EKOK'u kadar birim vermek hızları tam sayı yapar.
• İki kişi için birlikte süre ab / (a + b)'dir ve en hızlı kişinin süresinden kısadır.
• Birlikte süreden bir kişinin süresi, hızlar çıkarılarak bulunur.
• Çalışanlar değişiyorsa her aşamada yapılan iş ayrı hesaplanır.
• Havuzda dolduranlar pozitif, boşaltanlar negatif hızdır; net hız farktır.

Kaynaklar

Sonraki derse köprü

Bu derste hız, bir işin birim zamanda yapılan kısmıydı. Aynı kavramın en tanıdık biçimi ise yol üzerindedir: bir aracın saatte aldığı yol. Ders 2.7.2, "Hareket I: yol, hız, zaman", yol, hız ve zaman arasındaki bağıntıyı ve bu bağıntıyla kurulan temel hareket problemlerini ele alıyor.