Şıklardan gitme ve sayı verme yöntemi

Kanca

"Bir sayının 4 katının 9 fazlası, aynı sayının 5 katının 6 eksiğine eşittir. Bu sayı kaçtır?" Seçenekler 12, 15, 18, 21 ve 24. Bir aday denklemi kurar, açar, çözer: 4x + 9 = 5x - 6, x = 15. Bir başkası ortadaki seçenekten başlar: 18 için 4 × 18 + 9 = 81, 5 × 18 - 6 = 84; sol yan küçük. Bir küçüğünü dener: 15 için 69 ve 69. Cevap bulunmuştur ve hiç denklem yazılmamıştır.

İki yol da aynı sonuca götürür; ikincisi sınavın bir özelliğinden yararlanır: doğru cevap seçeneklerin arasındadır. Bu Ustalık dersi iki stratejiyi öğretiyor: seçenekleri soruya koyarak sınamak (şıklardan gitme) ve bilinmeyen büyüklüklere kolay sayılar vermek (sayı verme). İkisi de doğru kullanıldığında hesabı kısaltır; yanlış kullanıldığında yanıltır. Ders, hangisinin hangi soruda işe yaradığını ve tuzaklarını ele alıyor.

Büyük resim

Ünite boyunca 2.6.1'deki çeviriyle denklem kurmayı öğrendik ve ardından sayı, kesir, yaş, yüzde ve karışım problemlerinin her biri için ayrı kalıplar oluşturduk. Bu yollar her zaman çalışır. Ama çoktan seçmeli bir sınavda iki kısa yol daha vardır ve ikisi de sorunun yapısından değil, sınavın biçiminden doğar.

Şıklardan gitme, seçeneklerin kendisini bir araç olarak kullanır: beş sayıdan biri bütün koşulları sağlar, öbürleri sağlamaz. Sayı verme ise sorunun gerçek değerlere değil yalnız oranlara bağlı olduğu durumlarda, hesabı kolay sayılarla yapmaktır. 2.5.6'da "seçeneklerden sınamak" kısa bir denetim olarak geçmiş, 2.6.5'te yüzdelerde tabanı 100 almak önerilmişti; bu ders iki yolu da tam bir strateji olarak kuruyor.

Kavram çekirdeği

Şıklardan gitme: ne zaman?

Şıklardan gitmek şu durumlarda en verimlidir:

• Seçenekler sayıdır ve soru tek bir bilinmeyen değeri ister.
• Koşulları denetlemek kolay, denklemi kurmak uzundur.
• Koşullar tam sayı, kalan, bölünebilme gibi denklemle yazması zahmetli özellikler içerir.

Şıklardan gitmek, seçenekler bir ifade ya da oran olduğunda, ya da soru "hangisi olabilir" yerine "kaç farklı değer" gibi sayım istediğinde daha az işe yarar.

Ortadan başlamak

Seçenekler büyükten küçüğe ya da küçükten büyüğe sıralıysa ortadaki seçenek önce denenir. Sonuç bir yönde sapıyorsa, öbür yöndeki seçenekler bir kerede elenir. Kancada 18 denendiğinde sol yanın küçük kaldığı görüldü; sol yan x büyüdükçe sağ yandan yavaş büyüdüğü için daha küçük bir değer denendi. Beş seçenek en çok üç denemede biter.

Özelliklerle eleme

Seçenekleri tek tek hesaplamadan önce, koşulların gerektirdiği özellikler bazı seçenekleri bir kerede eler. "3'erli sıralara oturunca 2, 5'erli sıralara oturunca 4 kişi ayakta kalıyor; sınıf 25 ile 35 arasında" denirse sayının son basamağı 4 ya da 9 olmalıdır, çünkü 5'e bölümünden kalan 4'tür. Seçenekler 26, 32, 34, 29, 35 ise yalnız 34 ve 29 kalır. 34'ün 3 ile bölümünden kalan 1, 29'unki 2'dir; cevap 29'dur. 2.2.2'deki bölünebilme kuralları burada eleme aracıdır.

Sayı verme: ne zaman?

Sayı verme, sorunun cevabı gerçek büyüklüklere değil yalnız oranlara ya da ilişkilere bağlı olduğunda kullanılır:

• Yüzde ve oran soruları: "yüzde kaç değişti?", "kaçta kaçı kaldı?"
• Harfli ifadeler: "a = 2b ve b = 3c ise (a + b)/c kaçtır?"
• Kesirli bütün soruları: bütün belli değil, yalnız oranlar sorulmuş.

Böyle bir soruda bütün herhangi bir sayı olabilir; cevap değişmez. Bu yüzden hesabı en kolaylaştıran sayı seçilir.

Hangi sayı?

Sayı seçerken iki kural vardır. Birincisi, bütün işlemleri tam sayıda tutacak sayıyı seç: yüzdelerde 100, kesirlerde paydaların EKOK'u. "Parasının 2/5'ini, kalanın 1/3'ünü harcadı; kalan para ilk paranın kaçta kaçıdır?" sorusunda paydalar 5 ve 3 olduğu için para 15 alınır. 6 harcanır, 9 kalır; 3 harcanır, 6 kalır. Kalan 6/15 = 2/5'tir.

İkincisi, harfli ifadelerde ilişkiyi koruyan en küçük sayıları seç. a = 2b ve b = 3c için c = 1 alınır; b = 3, a = 6 olur ve (a + b)/c = 9 bulunur.

Sayı vermenin tuzakları

Sayı verme bir yöntemdir, bir kanıt değildir. Üç durumda dikkat gerekir:

• 0 ve 1 seçmek: Bu sayılar çarpma ve üs almada özel davranır ve yanlış bir genellemeyi doğru gibi gösterebilir. 2.4.6'da gördüğümüz gibi x = 0 bazı yanlış sadeleştirmeleri tutturur.
• "Kesinlikle doğru" soruları: Bir ifadenin her zaman doğru olup olmadığı tek bir sayıyla gösterilemez; iki farklı sayı, özellikle bir pozitif ve bir negatif denenmelidir. Bir örnekte tutmayan seçenek ise kesin olarak elenir.
• Koşulu bozan sayı: Seçilen sayılar sorunun bütün koşullarını sağlamalıdır. "x, y'den büyük" deniyorsa x = 2, y = 5 seçilemez.

Bir örnek

Soru: x ve y pozitif sayılardır ve x, y'nin yüzde 25 fazlasıdır. y, x'in yüzde kaç eksiğidir?

Sayı verme: y = 100 alınır; x = 125 olur. y, x'ten 25 eksiktir; eksiklik x'e göre 25 / 125 = yüzde 20'dir.

A) 25. Farkı y'ye göre ölçmenin sonucudur; soru x'e göre eksikliği soruyor. 2.6.5'teki değişimin tabanı hatasıdır.

B) 20. y = 100 ve x = 125 için 25 / 125 = 0,2. Tabanı x olan eksiklik budur.

C) 80. y'nin x'e oranıdır (100 / 125); eksiklik değil, kalan kısımdır.

D) 75. Yüzde 25 fazlalığı 100'den çıkarmanın sonucudur; hiçbir taban üzerinde anlamı yoktur.

E) 125. x'in y'ye oranıdır; soru bir eksiklik istiyor.

Aranan seçenek B. A taban hatasından, C ve E oran ile değişimi karıştırmaktan, D yüzdeleri doğrudan çıkarmaktan doğar.

Görsel harita

Strateji seçme sırası

1. Seçeneklere bak: sayı mı, ifade mi, oran mı?
2. Soru tek bir değer istiyorsa ve koşulları denetlemek kolaysa şıklardan git; önce özelliklerle ele.
3. Cevap yalnız oranlara bağlıysa sayı ver; işlemleri tam sayıda tutan sayıyı seç.
4. "Kesinlikle" sorusunda en az iki farklı sayı dene.
5. Bulunan seçeneği bütün koşullara yeniden koy.

Sınav gözüyle

Şıklardan gitmenin en büyük tehlikesi, bir koşulu sağlayan seçeneği bütün koşulları sağlıyor sanmaktır. Sınıf sorusunda 34, "son basamak 4" koşulunu sağlar ama 3'e bölümden kalan koşulunu sağlamaz. Seçenek işaretlenmeden önce bütün koşullara karşı denetlenmelidir.

Sayı vermenin tehlikesi ise yanlış sayı seçmektir. Kesirli soruda paydaların katı olmayan bir sayı seçmek kesirli ara sonuçlar doğurur ve hata olasılığını artırır; yüzde sorusunda 100 dışında bir taban seçmek de aynı etkiyi yapar. Doğru seçilmiş sayı, hesabı zihinden yapılabilecek kadar sadeleştirir.

Hafıza kancaları

• "Cevap seçeneklerin arasında" — ortadan başla, yönü belirle.
• "Önce özellikle ele" — son basamak, tek-çift, kalan.
• "Oran sorusuna sayı ver" — yüzdede 100, kesirde EKOK.
• "0 ve 1'den kaç" — özel davranırlar.
• "Kesinlikle için iki örnek" — biri tutmazsa ele.

Mini test

1. (kolay) Bir sayının 3 katının 7 eksiği 38'dir. Bu sayı kaçtır?

A) 13 B) 11 C) 15 D) 17 E) 45

2. (kolay) Bir ürünün fiyatına önce yüzde 20 zam yapılıyor, sonra yeni fiyat üzerinden yüzde 25 indirim uygulanıyor. Son fiyat ilk fiyata göre nasıl değişmiştir?

A) Yüzde 5 artmıştır B) Yüzde 5 azalmıştır C) Değişmemiştir D) Yüzde 45 azalmıştır E) Yüzde 10 azalmıştır

3. (orta) a = 2b ve b = 3c olduğuna göre (a + b) / c ifadesinin değeri kaçtır?

A) 9 B) 6 C) 5 D) 3 E) 18

4. (orta) Bir sınıftaki öğrenciler üçerli sıralara oturunca 2, beşerli sıralara oturunca 4 öğrenci ayakta kalıyor. Sınıf mevcudu 25 ile 35 arasında olduğuna göre kaçtır?

A) 26 B) 32 C) 34 D) 29 E) 35

5. (sınav) Bir kişi parasının 2/5'ini harcıyor, sonra kalan parasının 1/3'ünü harcıyor. Elinde kalan para ilk parasının kaçta kaçıdır?

A) 4/15 B) 2/5 C) 1/3 D) 3/5 E) 1/5

Cevaplar

1. C — 3 × 15 - 7 = 38. Ortadan başlanır ve ilk denemede tutar.
2. E — Fiyat 100 alınır: 120, sonra 90; yüzde 10 azalmıştır. B, yüzdeleri toplamanın sonucudur.
3. A — c = 1, b = 3, a = 6; (6 + 3) / 1 = 9. B, a'nın değeridir.
4. D — Son basamak 4 ya da 9 olmalıdır; 34 ve 29 kalır. 34'ün 3'e bölümünden kalan 1'dir; 29'unki 2'dir. C, yalnız 5'e bölüm koşulunu denetlemenin sonucudur.
5. B — Para 15 alınır; 6 harcanır, 9 kalır; 3 harcanır, 6 kalır. 6/15 = 2/5. D, ikinci harcamayı unutmanın; E, ikinci harcamanın kendisinin sonucudur.

Özet kartı

• Şıklardan gitmek, seçenekler sayı ve koşullar kolay denetlenir olduğunda en verimlidir; ortadan başlanır, yön belirlenir.
• Kalan, bölünebilme, tek-çift gibi özellikler seçenekleri hesap yapmadan eler.
• Sayı verme, cevap yalnız oranlara bağlı olduğunda kullanılır; yüzdede 100, kesirde paydaların EKOK'u seçilir.
• 0 ve 1 seçmekten kaçınılır; "kesinlikle" sorularında en az iki farklı sayı denenir.
• Seçilen sayılar sorunun bütün koşullarını sağlamalıdır.
• Bulunan seçenek bütün koşullara karşı yeniden denetlenir.

Kaynaklar

Sonraki derse köprü

Sayı verme yöntemi bir başka problem türünde de çok işe yarar: bir işi birden çok kişinin ya da musluğun birlikte yaptığı sorularda işin tamamına kolay bir sayı vermek, kesirlerle uğraşmayı ortadan kaldırır. Ders 2.7.1, "İşçi ve havuz problemleri", Ünite 2.7'yi açıyor ve birlikte çalışmanın hızlarla nasıl hesaplandığını ele alıyor.