Karışım problemleri

Kanca

Bir okul kantininde iki sürahi limonata var: birinde yüzde 10 şekerli 3 litre, öbüründe yüzde 30 şekerli 1 litre. Kantin görevlisi ikisini büyük bir kaba boşaltıyor ve karışımın yüzde 20 şekerli olduğunu düşünüyor; 10 ile 30'un ortası. Oysa kapta 0,3 + 0,3 = 0,6 litre şeker ve 4 litre limonata vardır; karışım yüzde 15 şekerlidir.

Görevli iki oranın düz ortalamasını almıştır; ama iki sürahi eşit büyüklükte değildi. Karışım problemlerinin hepsi bu tek yanılgıdan korunmaya dayanır: oranlar ortalanmaz, madde miktarları toplanır. Bu ders karışımdaki saf madde miktarını izlemeyi, iki karışımı birleştirmeyi, su eklemeyi ya da buharlaştırmayı ve karışım oranını hızla bulmanın terazi kuralını ele alıyor.

Büyük resim

Bir karışım iki parçadan oluşur: içindeki saf madde (şeker, tuz, bakır) ve toplam miktar. Karışımın yüzdesi, saf maddenin toplama oranıdır: madde / toplam × 100. 2.6.5'teki yüzde hesabı burada aynen geçerlidir; taban, karışımın toplam miktarıdır.

Karışım problemlerinin çözüm ilkesi tektir: her adımda saf madde miktarını ayrı, toplam miktarı ayrı izlemek. İki karışım birleşince maddeler toplanır, toplamlar toplanır. Su eklenince madde değişmez, toplam artar. Su buharlaşınca madde değişmez, toplam azalır. Bu iki sütunu doğru tutan aday, yüzdeyi en son bir bölme ile bulur.

Kavram çekirdeği

Saf madde miktarı

Bir karışımdaki madde miktarı, toplam miktar ile yüzdenin çarpımıdır. 40 kg yüzde 20 şekerli şerbette 40 × 0,2 = 8 kg şeker, 32 kg su vardır. Bu iki sayı, sonraki bütün işlemlerin başlangıç noktasıdır.

İki karışımı birleştirmek

İki karışım birleşince madde miktarları ve toplam miktarlar ayrı ayrı toplanır. 30 kg yüzde 10 tuzlu su ile 20 kg yüzde 35 tuzlu su karıştırılırsa tuz 3 + 7 = 10 kg, toplam 50 kg olur. Karışım 10 / 50 = yüzde 20 tuzludur.

Düz ortalama (10 + 35) / 2 = 22,5 yanlış sonuç verir; çünkü 30 kg'lık karışım 20 kg'lıktan daha ağır basar. Bu, 2.6.5'teki ağırlıklı grup yüzdesinin karışım biçimidir. Sonuç her zaman iki oranın arasında kalır ve büyük olan karışımın oranına daha yakındır.

Su eklemek: seyreltme

Bir karışıma saf su eklenince madde miktarı değişmez, yalnız toplam artar. 40 kg yüzde 20 şekerli şerbete kaç kg su eklenirse yüzde 16 şekerli olur? Şeker 8 kg'da sabit kalır. Yeni toplam 8 / 0,16 = 50 kg olmalıdır; eklenen su 50 - 40 = 10 kg'dır.

Denklemle: 8 / (40 + x) = 0,16, yani 40 + x = 50 ve x = 10. İki yol aynıdır; ama "madde sabit" bilgisinden yeni toplamı doğrudan bulmak daha kısadır.

Su buharlaştırmak: derişme

Buharlaşmada da madde miktarı sabit kalır, toplam azalır. 60 kg yüzde 15 tuzlu sudan kaç kg su buharlaşırsa karışım yüzde 20 tuzlu olur? Tuz 60 × 0,15 = 9 kg'dır. Yeni toplam 9 / 0,2 = 45 kg olmalıdır; buharlaşan su 60 - 45 = 15 kg'dır.

Saf madde eklemek

Karışıma su değil saf madde eklenince hem madde hem toplam artar. 40 kg yüzde 20 şekerli şerbete kaç kg şeker eklenirse yüzde 36 şekerli olur? Şeker 8 + x, toplam 40 + x olur: (8 + x) / (40 + x) = 0,36. İki yan açılınca 8 + x = 14,4 + 0,36x, yani 0,64x = 6,4 ve x = 10 kg. Denetim: 18 / 50 = 0,36.

Bu durumda madde sabit olmadığı için "yeni toplam = madde ÷ yeni oran" kısa yolu çalışmaz; denklem kurmak gerekir.

Terazi kuralı

İki karışımın oranları ve elde edilecek oran bilindiğinde, karışımların miktar oranı terazi gibi bulunur. Hedef oran, iki oranın arasında bir dayanak noktasıdır; her karışımın miktarı, öbür karışımın dayanağa uzaklığıyla orantılıdır.

Yüzde 10 ve yüzde 35'lik iki karışımdan yüzde 20'lik karışım yapılacaksa uzaklıklar 10 ve 15'tir. Miktarlar ters orantılı alınır: yüzde 10'luktan 15 pay, yüzde 35'likten 10 pay, yani 3 : 2. Bu, yukarıdaki 30 kg ile 20 kg'lık karışımın oranıdır.

Yüzde 10 ve yüzde 40'lık iki karışımdan yüzde 20'lik 60 kg karışım isteniyorsa uzaklıklar 10 ve 20'dir; miktarlar 20 : 10 = 2 : 1 olur. 60 kg, 40 ve 20 kg'a bölünür: yüzde 40'lıktan 20 kg gerekir. Denetim: 4 + 8 = 12 kg madde, 12 / 60 = yüzde 20.

Görsel harita

Karışım çözüm sırası

1. Her karışım için madde ve toplam sütunlarını ayrı yaz.
2. Su eklenip çıkarılıyorsa maddeyi sabit tut.
3. Karışımlar birleşiyorsa iki sütunu ayrı ayrı topla.
4. Oranlar ve hedef verilmişse terazi kuralını dene.
5. Sonucu madde / toplam bölmesiyle denetle.

Sınav gözüyle

Karışım sorularında seçenekler sık sık düz ortalama ile ağırlıklı ortalamanın sonuçlarını yan yana içerir. Düz ortalama hızlıdır ve sezgiye uygundur, ama karışımlar eşit büyüklükte değilse yanlıştır. Bulunan oranın büyük karışımın oranına daha yakın olup olmadığına bakmak, hesap yapmadan bir denetim sağlar.

Su ekleme ve buharlaştırma sorularında ikinci tuzak, yüzdenin kendisini toplamak ya da çıkarmaktır: "yüzde 20'den yüzde 16'ya inmek için yüzde 4 su eklenir" gibi. Yüzdeler değil, miktarlar değişir; madde sabit tutularak yeni toplam bulunur.

Hafıza kancaları

• "Oranlar ortalanmaz, maddeler toplanır" — 0,6 / 4 = %15.
• "Su gelir, madde kalır" — seyreltmede madde sabit.
• "Su gider, madde kalır" — buharlaşmada madde sabit.
• "Yeni toplam = madde ÷ yeni oran" — 8 / 0,16 = 50.
• "Terazide uzaklık ters orantılı" — %10 ve %35 → %20: 3 : 2.

Mini test

1. (kolay) 40 kg yüzde 20 şekerli şerbette kaç kg şeker vardır?

A) 20 B) 8 C) 32 D) 2 E) 10

2. (kolay) 30 kg yüzde 10 tuzlu su ile 20 kg yüzde 35 tuzlu su karıştırılıyor. Karışım yüzde kaç tuzludur?

A) 22,5 B) 45 C) 25 D) 20 E) 15

3. (orta) 40 kg yüzde 20 şekerli şerbete kaç kg su eklenirse şerbet yüzde 16 şekerli olur?

A) 8 B) 4 C) 16 D) 50 E) 10

4. (orta) 60 kg yüzde 15 tuzlu sudan kaç kg su buharlaştırılırsa karışım yüzde 20 tuzlu olur?

A) 15 B) 45 C) 12 D) 5 E) 20

5. (sınav) Yüzde 10 ve yüzde 40 şekerli iki şerbet karıştırılarak yüzde 20 şekerli 60 kg şerbet elde edilecektir. Yüzde 40 şekerli şerbetten kaç kg kullanılmalıdır?

A) 40 B) 30 C) 20 D) 15 E) 10

Cevaplar

1. B — 40 × 0,2 = 8 kg. C, su miktarıdır.
2. D — Tuz 3 + 7 = 10 kg, toplam 50 kg; 10 / 50 = yüzde 20. A, düz ortalamadır.
3. E — Şeker 8 kg sabittir; yeni toplam 8 / 0,16 = 50 kg; eklenen su 10 kg. D, yeni toplamdır.
4. A — Tuz 9 kg sabittir; yeni toplam 9 / 0,2 = 45 kg; buharlaşan su 15 kg. B, yeni toplamdır.
5. C — Uzaklıklar 10 ve 20'dir; miktarlar 2 : 1; yüzde 40'lıktan 20 kg. A, yüzde 10'luk şerbetin miktarıdır; B, iki şerbeti eşit almanın sonucudur.

Özet kartı

• Karışımın yüzdesi, saf maddenin toplam miktara oranıdır; madde = toplam × oran.
• İki karışım birleşince maddeler ve toplamlar ayrı ayrı toplanır; oranlar ortalanmaz.
• Su eklemede ve buharlaştırmada madde sabit kalır; yeni toplam, madde ÷ yeni oran ile bulunur.
• Saf madde eklenince hem madde hem toplam artar; denklem kurulur.
• Terazi kuralında karışım miktarları, hedef orana uzaklıklarla ters orantılıdır.
• Karışımın oranı, iki oranın arasında ve büyük karışımın oranına daha yakın çıkar.

Kaynaklar

Sonraki derse köprü

Bu ünitenin derslerinde her problem türünü kendi araçlarıyla çözdük. Sınavda ise bir soruyu çözmenin bir başka yolu daha vardır: seçeneklerdeki sayıları soruya koymak ya da bilinmeyene kolay bir sayı vermek. Ünitenin son dersi, 2.6.9 "Şıklardan gitme ve sayı verme yöntemi", bir Ustalık dersi olarak bu iki stratejiyi ele alıyor.