Faiz ve indirim problemleri

Kanca

Bir mağaza vitrine "yüzde 20 indirim" yazmış; kasada da "indirimli fiyata ek yüzde 10" kampanyası var. Bir müşteri toplam indirimin yüzde 30 olduğunu düşünüyor. 1.000 TL etiketli bir montun fiyatı önce 800, sonra 720 TL'ye iniyor. Toplam indirim 280 TL, yani yüzde 28'dir; yüzde 30 değil. İkinci indirim, 1.000 TL'nin değil 800 TL'nin yüzde 10'udur.

İndirim ve faiz, 2.6.5'teki yüzde değişimin gündelik hayattaki iki yüzüdür. İndirim bir fiyatı küçültür, faiz bir parayı zamanla büyütür. İkisinde de her şey tabana bağlıdır: indirimin tabanı etiket fiyatı, faizin tabanı ana paradır. Bu ders indirimli fiyat ile etiket fiyatı arasındaki geçişi, art arda indirimleri, indirim ile kârın birlikte kurulduğu soruları ve basit ile bileşik faizi ele alıyor.

Büyük resim

İndirim, etiket fiyatı üzerinden yapılan bir azalıştır. Yüzde p indirim, etiket fiyatını (1 - p/100) ile çarpmaktır. Bu, 2.6.5'teki azalış çarpanının aynısıdır; yeni olan, indirimin çoğu zaman kâr-zarar hesabıyla birleşmesidir: satıcı önce alışın üzerine bir etiket koyar, sonra o etiketten indirim yapar.

Faiz, bir paranın belli bir süre için kullanılmasının bedelidir. Basit faizde getiri her dönem yalnız ana paraya göre hesaplanır ve süreyle doğru orantılı artar. Bileşik faizde her dönemin faizi ana paraya eklenir ve bir sonraki dönemin tabanı büyür. İki faiz türü arasındaki fark, 2.6.5'teki "ardışık yüzdeler çarpılır" kuralının zamana yayılmış biçimidir.

Kavram çekirdeği

İndirimli fiyat ve etiket fiyatı

Etiket fiyatı 400 TL olan bir ürüne yüzde 20 indirim uygulanırsa indirimli fiyat 400 × 0,8 = 320 TL'dir; indirim tutarı 80 TL'dir.

Soru tersten gelebilir: yüzde 25 indirimle 240 TL'ye satılan ürünün etiket fiyatı nedir? Etiket × 0,75 = 240, yani etiket 320 TL'dir. İndirimli fiyata yüzde 25 eklemek, 240 × 1,25 = 300, yanlıştır; çünkü indirimin tabanı etiket fiyatıdır, indirimli fiyat değil. 2.6.6'da satıştan alışa dönerken yaptığımız bölme burada da gereklidir.

Art arda indirimler

Art arda uygulanan indirimler çarpanların çarpımıyla birleşir. Yüzde 20 ve ardından yüzde 10 indirim 0,8 × 0,9 = 0,72 çarpanı verir; toplam indirim yüzde 28'dir. İkinci indirim her zaman ilk indirimden sonraki fiyata uygulanır; bu yüzden toplam indirim, iki yüzdenin toplamından her zaman küçüktür.

İndirimlerin sırası sonucu değiştirmez: önce yüzde 10, sonra yüzde 20 de 0,9 × 0,8 = 0,72 verir. Çarpma işleminin sırası önemsizdir.

Kampanyaları yüzdeye çevirmek

"3 al 2 öde" gibi kampanyalar bir indirim yüzdesine çevrilerek karşılaştırılır. Üç ürünün fiyatı ödenip ikisinin parası verildiğinde, üç ürünün birinin parası ödenmemiş olur: indirim 1/3, yaklaşık yüzde 33'tür. "2 al 1'i yarı fiyata" kampanyasında ise iki ürünün toplamı üzerinden yarım ürün kadar indirim vardır: 0,5 / 2 = yüzde 25. Her kampanyada sorulacak soru aynıdır: toplam ödenmesi gereken tutarın ne kadarı ödenmedi?

İndirim ve kâr birlikte

Satıcı alış fiyatının üzerine bir etiket koyar, sonra o etiketten indirim yapar. Kâr, indirimli satış fiyatı ile alış fiyatı arasındaki farktır ve 2.6.6'daki gibi alışa göre hesaplanır.

200 TL'ye alınan bir ürünün etiket fiyatı alışın yüzde 50 fazlası, yani 300 TL'dir. Bu etiketten yüzde 20 indirim yapılırsa satış 300 × 0,8 = 240 TL olur. Kâr 40 TL, kâr yüzdesi 40 / 200 = yüzde 20'dir. Çarpanlarla tek satırda: 1,5 × 0,8 = 1,2, yani yüzde 20 kâr. Yüzdeleri çıkarıp "50 - 20 = yüzde 30 kâr" demek yanlıştır.

Basit faiz

Ana para A, yıllık faiz oranı yüzde n ve süre t yıl ise basit faiz F = A × n × t / 100'dür. 5.000 TL, yıllık yüzde 12 basit faizle 2 yılda 5.000 × 12 × 2 / 100 = 1.200 TL faiz getirir.

Süre ay olarak verilirse 12'ye bölünür; çünkü oran yıllıktır. Aynı para 8 ay için 5.000 × 12 × 8 / 1.200 = 400 TL faiz getirir. Ayı yıl gibi kullanan aday 4.800 TL bulur; bu, süreyi 12 kat büyütmek demektir.

Formül tersine de kullanılır. Yıllık yüzde 8 basit faizle 3 yılda 720 TL faiz getiren ana para 720 × 100 / (8 × 3) = 3.000 TL'dir.

Bileşik faiz

Bileşik faizde her dönemin sonunda faiz ana paraya eklenir. A ana para, dönemlik oran yüzde n ve dönem sayısı t ise dönem sonundaki toplam para A × (1 + n/100)^t'dir. 10.000 TL, yıllık yüzde 10 bileşik faizle 2 yıl sonra 10.000 × 1,1² = 12.100 TL olur.

Aynı para basit faizle 2 yıl sonra 10.000 + 2.000 = 12.000 TL olurdu. Aradaki 100 TL, ikinci yılda ilk yılın 1.000 TL'lik faizinin de faiz kazanmasından gelir. Süre uzadıkça bu fark büyür; 2.4.1'deki üslü büyümenin para dünyasındaki karşılığıdır.

Görsel harita

Faiz-indirim çözüm sırası

1. Tabanı belirle: indirimde etiket fiyatı, faizde ana para.
2. Yüzdeleri çarpana çevir; art arda olanları çarp.
3. Kâr da soruluyorsa sonucu alış fiyatına göre yorumla.
4. Faizde sürenin birimini denetle: yıl mı, ay mı?
5. Basit mi bileşik mi olduğunu sorudan oku.

Sınav gözüyle

İndirim sorularında seçenekler yüzdelerin toplanması ya da çıkarılmasıyla bulunan sonuçları içerebilir: art arda indirimlerde yüzde 30, indirim ve kârda yüzde 30 gibi. Bu sonuçlar sezgiye uygun göründüğü için tehlikelidir. Çarpanla düşünmek iki hatayı birden kapatır.

Faiz sorularında ise sık görülen bir kayıp sürenin birimidir. Yıllık oran ile ay olarak verilen süre birlikte kullanılınca 12'ye bölmek gerekir. Sorunun basit mi bileşik faiz mi istediği de metindeki ifadeden okunmalıdır; bir yıldan uzun sürelerde iki faiz türü aynı veriden farklı sonuç verir.

Hafıza kancaları

• "İndirimin tabanı etikettir" — 240 ÷ 0,75 = 320.
• "Art arda indirim çarpılır" — %20 + %10 = %28.
• "Etiket ve indirim çarpanları birlikte" — 1,5 × 0,8 = 1,2.
• "Basit faiz A × n × t / 100" — ay ise 1.200'e böl.
• "Bileşik faiz faizin faizi" — 12.100'e karşı 12.000.

Mini test

1. (kolay) Etiket fiyatı 400 TL olan bir ürün yüzde 20 indirimle satılıyor. Ürünün indirimli fiyatı kaç TL'dir?

A) 80 B) 380 C) 420 D) 320 E) 300

2. (kolay) Yüzde 25 indirimle 240 TL'ye satılan bir ürünün etiket fiyatı kaç TL'dir?

A) 320 B) 300 C) 180 D) 265 E) 960

3. (orta) Bir ürüne art arda yüzde 20 ve yüzde 10 indirim uygulanıyor. Toplam indirim yüzde kaçtır?

A) 30 B) 2 C) 28 D) 72 E) 32

4. (orta) 5.000 TL, yıllık yüzde 12 basit faizle 8 ay süreyle bankaya yatırılıyor. Bu sürede kaç TL faiz alınır?

A) 4.800 B) 600 C) 480 D) 200 E) 400

5. (sınav) Bir satıcı 200 TL'ye aldığı ürüne alış fiyatının yüzde 50 fazlası olan bir etiket fiyatı koyuyor ve ürünü bu etiketten yüzde 20 indirimle satıyor. Satıcının kâr yüzdesi kaçtır?

A) 30 B) 20 C) 40 D) 10 E) 25

Cevaplar

1. D — 400 × 0,8 = 320. A, indirim tutarıdır.
2. A — Etiket × 0,75 = 240, etiket 320 TL'dir. B, indirimli fiyata yüzde 25 eklemenin sonucudur.
3. C — 0,8 × 0,9 = 0,72; indirim yüzde 28'dir. A, yüzdeleri toplamanın; D, ödenen oranın sonucudur.
4. E — 5.000 × 12 × 8 / 1.200 = 400. A, ayı yıl gibi kullanmanın; B, faizi bir yıllık hesaplamanın sonucudur.
5. B — 1,5 × 0,8 = 1,2; satış 240 TL, kâr yüzde 20'dir. A, yüzdeleri çıkarmanın sonucudur.

Özet kartı

• İndirimin tabanı etiket fiyatıdır; indirimli fiyattan etikete bölerek dönülür.
• Art arda indirimler çarpılır; toplam indirim yüzdelerin toplamından küçüktür.
• Kampanyalar, ödenmeyen tutarın toplam tutara oranı olarak yüzdeye çevrilir.
• İndirim ve kâr birlikte sorulduğunda etiket ve indirim çarpanları çarpılır; kâr alışa göre okunur.
• Basit faiz A × n × t / 100'dür; süre ay ise 1.200'e bölünür.
• Bileşik faizde para A × (1 + n/100)^t olur; faiz de faiz kazanır.

Kaynaklar

Sonraki derse köprü

Bu derste yüzdeler bir fiyata ya da bir paraya uygulandı. Aynı yüzde düşüncesi bir karışımın içeriğine de uygulanır: bir şerbetin yüzde kaçının şeker, bir alaşımın yüzde kaçının bakır olduğu. Ders 2.6.8, "Karışım problemleri", farklı oranlardaki karışımların bir araya getirildiği soruları ele alıyor.