Yüzde problemleri

Kanca

Bir seçimde bir adayın oy oranı yüzde 40'tan yüzde 50'ye çıkıyor. Bir haber bunu "oyları yüzde 10 arttı" diye veriyor, bir başkası "yüzde 25 arttı" diye. İkisi de bir şey ölçüyor, ama farklı şeyler. Oranın kendisi 10 puan artmıştır: 40'tan 50'ye. Eski orana göre artış ise 10 / 40 = yüzde 25'tir.

Yüzde, paydası 100 olan bir kesirdir ve her yüzdenin bir tabanı vardır: neyin yüzdesi? Bu soru sorulmadan yapılan yüzde hesapları, kancadaki iki haber gibi aynı olayı farklı sayılarla anlatır. Bu ders yüzdenin üç temel sorusunu, yüzde değişimi çarpanla hesaplamayı, ardışık yüzdeleri ve yüzde ile yüzde puan ayrımını ele alıyor.

Büyük resim

Yüzde p, p/100 kesridir: yüzde 15, 15/100 = 0,15 demektir. 2.6.3'teki kesir problemlerinin bütün fikirleri burada da geçerlidir: bir bütünün yüzdesini bulmak, yüzdesi verilen bütünü bulmak, bir sayının ötekinin yüzde kaçı olduğunu bulmak. Değişen tek şey paydanın her zaman 100 olmasıdır.

Yüzde problemlerinin yeni katkısı değişimdir: bir şey yüzde 20 arttı, sonra yüzde 20 azaldı. Bu tür değişimler, toplama değil çarpma ile birleşir. Kâr-zarar, faiz ve indirim problemleri ünitenin sonraki derslerinde bu temelin üzerine kurulacak; bu ders temeli hazırlıyor.

Kavram çekirdeği

Üç temel soru

Her yüzde sorusu üç büyüklükten ikisini verip üçüncüsünü ister: taban (bütün), yüzde ve parça.

• Parça: 240'ın yüzde 15'i, 240 × 15/100 = 36'dır.
• Taban: Yüzde 35'i 140 olan sayı, 140 ÷ 0,35 = 400'dür.
• Yüzde: 18, 72'nin yüzde kaçıdır? 18 / 72 = 0,25, yani yüzde 25'tir.

Üçü de aynı eşitliğin farklı biçimleridir: parça = taban × yüzde / 100. 2.5.5'teki orantı bakışıyla da kurulabilir: 100'de 35 ise 400'de 140'tır.

Yüzde değişimi çarpanla hesaplamak

Bir büyüklük yüzde p artarsa yeni değer eski değerin (1 + p/100) katıdır; yüzde p azalırsa (1 - p/100) katıdır. Yüzde 20 artış 1,2 ile, yüzde 20 azalış 0,8 ile çarpmak demektir. 150 TL'lik bir fiyat yüzde 20 artarsa 150 × 1,2 = 180 TL olur.

Çarpan yazımı, önce artışı hesaplayıp sonra eklemekten daha kısadır ve özellikle art arda değişimlerde hatayı önler.

Değişim yüzdesi

Bir değer eskiden yeniye geçtiyse değişim yüzdesi (yeni - eski) / eski × 100'dür. Taban her zaman eski değerdir. 80'den 100'e çıkan bir fiyat (100 - 80) / 80 = yüzde 25 artmıştır. Aynı fiyat 100'den 80'e inseydi (80 - 100) / 100 = yüzde 20 azalmış olurdu.

Bu asimetri sık şaşırtır: aynı 20 liralık fark, tabana göre bir yönde yüzde 25, öbür yönde yüzde 20'dir. Bu yüzden yüzde 25 artmış bir değeri eski hâline döndürmek için yüzde 25 değil, yüzde 20 azaltmak gerekir: 1 / 1,25 = 0,8.

Değişmiş değerden tabana dönmek

Soru bazen değişimden sonraki değeri verip öncekini ister. "Bir sayının yüzde 20 fazlası 90'dır" denirse sayı x olmak üzere 1,2x = 90 ve x = 75'tir. Sık yapılan hata, 90'dan yüzde 20 çıkarıp 72 bulmaktır; oysa yüzde 20 fazla, 90'ın değil, aranan sayının yüzde 20'sidir. Aynı mantık karşılaştırmalarda da işler: 60, 48'den yüzde 25 fazladır, ama 48, 60'tan yüzde 20 eksiktir. Hangi sayının taban olduğu, "-den" ekinin bağlandığı sayıdır.

Ardışık yüzdeler

Art arda gelen yüzde değişimler çarpanların çarpımıyla birleşir; yüzdeler toplanmaz. Bir fiyat önce yüzde 20 artıp sonra yüzde 20 azalırsa net çarpan 1,2 × 0,8 = 0,96'dır; fiyat yüzde 4 azalmıştır. "Önce arttı, sonra aynı oranda azaldı, değişmedi" düşüncesi yanlıştır, çünkü ikinci değişimin tabanı artık daha büyüktür.

Aynı nedenle iki kez yüzde 10 artış yüzde 20 değil, 1,1 × 1,1 = 1,21, yani yüzde 21 artıştır.

Yüzde ile yüzde puan

Bir oran başka bir orana dönüştüğünde iki farklı değişim vardır. Kancadaki oy oranı yüzde 40'tan yüzde 50'ye çıktığında fark 10 yüzde puandır; eski orana göre değişim ise yüzde 25'tir. Soru "kaç puan arttı?" diyorsa 10, "yüzde kaç arttı?" diyorsa 25 cevaptır.

İç içe yüzdeler

Bir grubun yüzdesinin yüzdesi alınınca iki yüzde çarpılır. Bir sınıfın yüzde 60'ı kız ve kızların yüzde 25'i gözlüklüyse sınıfın 0,6 × 0,25 = 0,15'i, yani yüzde 15'i gözlüklü kızdır.

Gruplar birleştirilirken her grubun kendi yüzdesi ağırlığıyla toplanır. Erkeklerin yüzde 50'si de gözlüklüyse sınıfın gözlüklü oranı 0,6 × 0,25 + 0,4 × 0,5 = 0,35, yani yüzde 35'tir. İki yüzdenin düz ortalamasını almak, (25 + 50) / 2 = 37,5, grupların büyüklüğünü yok sayar ve yanlıştır.

Görsel harita

Yüzde sorusu çözüm sırası

1. Tabanı belirle: neyin yüzdesi?
2. Değişim varsa çarpana çevir.
3. Art arda değişimlerde çarpanları çarp, yüzdeleri toplama.
4. Değişim yüzdesinde tabanı eski değer al.
5. Soru "puan" mı "yüzde" mi istiyor, denetle.

Sınav gözüyle

Yüzde sorularında çeldiriciler sık sık taban hatasından kurulur. Ardışık değişimde yüzdeleri toplamak, değişim yüzdesinde yeni değeri taban almak, grupları düz ortalamakla birleştirmek; her biri seçeneklerde bulunabilecek, hesaplanmış görünen sonuçlar verir. Her adımda "neyin yüzdesi?" diye sormak bu hataları önler.

Sayı verme yöntemi yüzde sorularında özellikle kullanışlıdır: tabanı 100 almak, hesapları tam sayılarda tutar. Fiyat 100 kabul edilirse yüzde 20 artış 120, ardından yüzde 20 azalış 96 verir ve net değişim bir bakışta görülür. Bu yöntem ünitenin Ustalık dersinde ayrıca ele alınacak.

Hafıza kancaları

• "Neyin yüzdesi?" — önce tabanı bul.
• "Artış 1 + p, azalış 1 - p" — çarpanla hesapla.
• "Ardışık yüzde çarpılır" — 1,2 × 0,8 = 0,96.
• "Değişimin tabanı eski değerdir" — 80 → 100: %25.
• "Puan fark, yüzde oran" — %40 → %50: 10 puan, %25.

Mini test

1. (kolay) 240 sayısının yüzde 15'i kaçtır?

A) 24 B) 16 C) 36 D) 40 E) 3,6

2. (kolay) Yüzde 35'i 140 olan sayı kaçtır?

A) 49 B) 175 C) 189 D) 300 E) 400

3. (orta) Bir ürünün fiyatı önce yüzde 20 artırılıyor, sonra yeni fiyat yüzde 20 azaltılıyor. Ürünün son fiyatı ilk fiyatına göre nasıl değişmiştir?

A) Yüzde 4 azalmıştır B) Değişmemiştir C) Yüzde 4 artmıştır D) Yüzde 40 azalmıştır E) Yüzde 2 azalmıştır

4. (orta) Fiyatı 80 TL olan bir ürünün fiyatı 100 TL'ye çıkıyor. Fiyat yüzde kaç artmıştır?

A) 20 B) 80 C) 40 D) 25 E) 120

5. (sınav) Bir sınıftaki öğrencilerin yüzde 60'ı kızdır. Kızların yüzde 25'i, erkeklerin yüzde 50'si gözlük takmaktadır. Sınıfın yüzde kaçı gözlüklüdür?

A) 75 B) 35 C) 37,5 D) 30 E) 15

Cevaplar

1. C — 240 × 0,15 = 36. E, sonucu 10'a bölmenin sonucudur.
2. E — 140 ÷ 0,35 = 400. A, 140'ın yüzde 35'ini almanın sonucudur.
3. A — 1,2 × 0,8 = 0,96; fiyat yüzde 4 azalmıştır. B, yüzdeleri toplamanın sonucudur.
4. D — (100 - 80) / 80 = 0,25. A, tabanı yeni değer almanın sonucudur.
5. B — 0,6 × 0,25 + 0,4 × 0,5 = 0,35. C, iki yüzdenin düz ortalamasıdır; E, yalnız gözlüklü kızların oranıdır.

Özet kartı

• Yüzde p, p/100 kesridir; parça = taban × p/100.
• Yüzde p artış (1 + p/100), azalış (1 - p/100) ile çarpmaktır.
• Değişim yüzdesinin tabanı eski değerdir; aynı fark iki yönde farklı yüzde verir.
• Ardışık yüzde değişimler çarpılır; yüzdeler toplanmaz.
• İki oranın farkı yüzde puandır; eski orana göre değişim ayrı bir yüzdedir.
• Gruplar birleştirilirken yüzdeler grup büyüklükleriyle ağırlıklandırılır.

Kaynaklar

Sonraki derse köprü

Yüzde değişimin en sık kullanıldığı yer alışveriştir: bir ürün belli bir fiyata alınır, başka bir fiyata satılır ve aradaki fark alış fiyatının yüzdesiyle anlatılır. Ders 2.6.6, "Kâr-zarar problemleri", alış ve satış fiyatı arasındaki farkı yüzde olarak hesaplamayı ve bu hesabın tabanını ele alıyor.