Yaş problemleri

Kanca

Bir anne 36, oğlu 12 yaşında. Bugün annenin yaşı oğlunun yaşının 3 katı. On iki yıl sonra anne 48, oğlu 24 yaşında olacak; oran 2'ye inecek. Daha sonra oran 1,5'e, 1,2'ye yaklaşacak ama hiçbir zaman 1 olmayacak. Değişmeyen tek şey aradaki farktır: her zaman 24 yıl.

Yaş problemlerinin bütün mantığı bu iki gözleme dayanır: geçen zaman herkese aynı sayıda yıl ekler, bu yüzden iki kişinin yaş farkı hiç değişmez; ama yaşların oranı sürekli değişir. Bu ders, yaşları geçmiş, bugün ve gelecek için bir tabloyla kurmayı, yaş farkının sabitliğini bir kısa yol olarak kullanmayı ve yaş toplamlarındaki gizli tuzakları ele alıyor.

Büyük resim

Yaş problemleri, 2.6.1'deki çeviri becerisinin zamana yayılmış biçimidir. Bilgiler farklı zamanlara ait olabilir: "5 yıl önce", "bugün", "8 yıl sonra". Her bilgi kendi zamanındaki yaşlarla yazılmalıdır. Bunun en güvenli yolu, satırları kişiler, sütunları zamanlar olan küçük bir tablodur.

Yaş problemlerinde iki değişmez bağıntı vardır. Birincisi, t yıl geçince her kişinin yaşı t artar; bu yüzden iki kişinin yaş farkı sabittir. İkincisi, n kişinin yaşları toplamı t yıl sonra n × t artar. Bu iki bağıntı, çoğu soruyu denklem kurmadan ya da çok kısa bir denklemle çözer.

Kavram çekirdeği

Zaman tablosu

Bir anne 34, kızı 8 yaşındadır. Kaç yıl sonra annenin yaşı kızının yaşının 3 katı olur? Tablo şöyle kurulur:

Koşul gelecekteki sütuna aittir: 34 + t = 3(8 + t). Açılınca 34 + t = 24 + 3t, yani t = 5 bulunur. Denetim: 5 yıl sonra anne 39, kızı 13 yaşındadır ve 39 = 3 × 13'tür.

En sık kurulum hatası, koşulu yanlış sütuna yazmaktır: "3 katı olur" gelecekteki yaşlar için söylenmiştir; bugünkü yaşlarla 34 = 3 × 8 yazmak anlamsızdır.

Yaş farkı kısa yolu

Yaş farkı hiç değişmediği için, bir oran koşulu fark üzerinden de okunabilir. Anne ile kızın farkı 26'dır. Annenin yaşı kızının 3 katı olduğunda fark, kızın yaşının 2 katıdır: 2 × kız = 26, yani kız 13 yaşında olur. Kız bugün 8 olduğuna göre bu 5 yıl sonradır.

Aynı yol geçmiş için de çalışır. "Ali'nin yaşı Veli'nin 2 katıdır; 6 yıl önce 3 katıydı" denirse bugün fark Veli'nin yaşına eşittir. 6 yıl önce fark, Veli'nin o zamanki yaşının 2 katıydı. Fark değişmediği için V = 2(V - 6), yani V = 12'dir; Ali 24 yaşındadır. Denetim: 6 yıl önce Ali 18, Veli 6 yaşındaydı ve 18 = 3 × 6'dır.

Yaş toplamları

n kişinin yaşları toplamı her yıl n artar. Dört kişilik bir ailenin yaşları toplamı bugün 96 ise 5 yıl sonra 96 + 4 × 5 = 116 olur. Toplamın yalnız 5 artacağını sanmak sık yapılan bir hatadır; her kişi ayrı ayrı 5 yaş büyür.

Toplamla kurulan sorularda kişi sayısının iki yanı farklı olabilir. "Bir babanın yaşı 40, üç çocuğunun yaşları 10, 8 ve 6'dır. Kaç yıl sonra babanın yaşı çocukların yaşları toplamına eşit olur?" Babanın yaşı her yıl 1, çocukların toplamı her yıl 3 artar. Bugün aradaki fark 40 - 24 = 16'dır ve her yıl 2 kapanır; 8 yıl sonra eşitlenir. Denklemle: 40 + t = 24 + 3t, t = 8.

Henüz doğmamış kişiler

Geçmişe gidilirken bir kişi o tarihte doğmamış olabilir. "Anne, baba ve 3 yaşındaki çocuklarının yaşları toplamı 70'tir" denip 5 yıl önceki toplam sorulursa, çocuk 5 yıl önce doğmamıştı; toplamdan 3 × 5 değil, yalnız anne ve babanın 2 × 5 yılı çıkarılır. Çocuğun bugünkü yaşı da toplamdan ayrılır: 5 yıl önce anne ile babanın yaşları toplamı 70 - 3 - 10 = 57'dir.

Aynı uyarı gelecekte doğacak kişiler için de geçerlidir. Bir aileye ileride katılacak bir çocuk, doğduğu yıldan önce toplama bir şey eklemez. Tabloda o kişinin satırını, var olmadığı zamanlarda boş bırakmak bu hatayı önler.

Doğum yılı ve yaş

Yaş ile doğum yılı arasındaki ilişki basittir: içinde bulunulan yıl - doğum yılı = yaş (doğum günü geçmişse). İki kişinin doğum yılları arasındaki fark, yaşları arasındaki farktır ve o da sabittir. Bu bilgi, "ağabey 2004, kardeş 2011 doğumlu" gibi verilerden yaş farkını doğrudan okumayı sağlar: 7 yıl.

Görsel harita

Yaş problemi çözüm sırası

1. Kişiler ve zamanlar için bir tablo kur.
2. Her koşulu ait olduğu zaman sütununa yaz.
3. Oran koşulu varsa yaş farkı kısa yolunu dene.
4. Toplam soruluyorsa kişi sayısıyla çarp; doğmamış kişileri ayıkla.
5. Bulunan yaşları bütün koşullara geri koy.

Sınav gözüyle

Yaş problemlerinde çeldiriciler sık sık iki hatadan kurulur: koşulu yanlış zamana yazmak ve toplam artışını kişi sayısıyla çarpmamak. İkincisi özellikle aile toplamı sorularında görülür; dört kişilik bir ailenin 5 yıl sonraki toplamını 5 artırmak, seçeneklerde bekleyen bir sonuç verir.

Henüz doğmamış kişi tuzağı daha seyrek ama daha sinsidir; çünkü soru metni bunu açıkça söylemez, yalnız çocuğun yaşını verir. Geçmişe giden her soruda, en küçük kişinin o tarihte var olup olmadığını denetlemek gerekir.

Hafıza kancaları

• "Fark sabit, oran değişir" — 24 yıl fark hep 24.
• "Koşulu kendi zamanına yaz" — tabloda doğru sütun.
• "k katı ise fark = (k - 1) küçük" — denklemsiz kısa yol.
• "n kişi, t yıl, n × t" — toplamın artışı.
• "Doğmamış kişi toplama girmez" — geçmişte en küçüğü denetle.

Mini test

1. (kolay) Bir anne 34, kızı 8 yaşındadır. Kaç yıl sonra annenin yaşı kızının yaşının 3 katı olur?

A) 3 B) 5 C) 8 D) 13 E) 26

2. (kolay) Dört kişilik bir ailenin yaşları toplamı bugün 96'dır. 5 yıl sonra bu ailenin yaşları toplamı kaç olur?

A) 101 B) 100 C) 120 D) 116 E) 106

3. (orta) Ali'nin yaşı Veli'nin yaşının 2 katıdır. 6 yıl önce Ali'nin yaşı Veli'nin yaşının 3 katıydı. Ali bugün kaç yaşındadır?

A) 24 B) 12 C) 18 D) 36 E) 6

4. (orta) Bir babanın yaşı 40, üç çocuğunun yaşları 10, 8 ve 6'dır. Kaç yıl sonra babanın yaşı çocuklarının yaşları toplamına eşit olur?

A) 16 B) 6 C) 4 D) 12 E) 8

5. (sınav) Anne, baba ve 3 yaşındaki çocuklarının yaşları toplamı 70'tir. 5 yıl önce anne ile babanın yaşları toplamı kaçtı?

A) 55 B) 67 C) 57 D) 60 E) 52

Cevaplar

1. B — 34 + t = 3(8 + t), t = 5. D, kızın o zamanki yaşıdır.
2. D — Her kişi 5 yaş büyür: 96 + 4 × 5 = 116. A, toplamı yalnız 5 artırmanın sonucudur.
3. A — Bugün fark Veli'nin yaşıdır; 6 yıl önce fark Veli'nin o zamanki yaşının 2 katıdır: V = 2(V - 6), V = 12, Ali 24. B, Veli'nin yaşıdır.
4. E — Fark 16'dır ve her yıl 2 kapanır; 8 yıl. A, farkın kapanma hızını 1 almanın sonucudur.
5. C — Çocuk 5 yıl önce doğmamıştı; 70 - 3 - 2 × 5 = 57. A, çocuğu da geçmişte var saymanın sonucudur.

Özet kartı

• Geçen zaman herkese aynı sayıda yıl ekler; iki kişinin yaş farkı hiç değişmez, oranı değişir.
• Koşullar ait oldukları zamana göre, bir zaman tablosuna yazılır.
• Bir kişinin yaşı öbürünün k katı ise aradaki fark küçük olanın (k - 1) katıdır.
• n kişinin yaşları toplamı t yılda n × t artar.
• Geçmişe giderken o tarihte doğmamış kişiler toplama katılmaz.
• Doğum yılları farkı, yaş farkına eşittir.

Kaynaklar

Sonraki derse köprü

Kesir problemlerinde bir bütünü üçte bir, dörtte bir gibi parçalarla anlattık. Gündelik hayatta parçalar daha çok yüzde ile söylenir: indirim yüzde 20, zam yüzde 15, oy oranı yüzde 40. Ders 2.6.5, "Yüzde problemleri", paydası 100 olan bu kesirlerle kurulan problemleri ele alıyor.