Kesir problemleri

Kanca

İki öğrenci aynı kitabı okuyor. Birincisi ilk gün kitabın 1/3'ünü, ikinci gün kitabın 1/4'ünü okuyor. İkincisi ilk gün kitabın 1/3'ünü, ikinci gün kalanın 1/4'ünü okuyor. İki cümle neredeyse aynıdır, ama sonuçlar farklıdır. Birinci öğrenciye kitabın 1 - 1/3 - 1/4 = 5/12'si kalır; ikincisine 2/3 × 3/4 = 1/2'si.

Bütün fark tek bir sözcükte: "kalanın". Kesir problemlerinin hepsi "bu kesir neyin kesri?" sorusuna doğru cevap vermeye dayanır. Bu ders bütünün ve parçaların kesirlerle anlatıldığı problemleri, parça sayısıyla çözme yolunu ve en sık karışan iki okuma biçimini ele alıyor.

Büyük resim

Kesir problemlerinde bilinmeyen çoğu zaman bütündür: kitabın sayfa sayısı, maaşın tamamı, deponun hacmi. Problem bütünün bazı kesirlerini ve bir parçanın gerçek miktarını verir; bütün, bu parça üzerinden bulunur. 2.3.1'de "bir sayının 3/5'i 24 ise sayı 40'tır" diyerek bunun en basit biçimini görmüştük.

Bu derste aynı fikir daha uzun metinlere taşınıyor. Birden çok kesir art arda uygulanır, bazıları bütüne, bazıları kalana göredir, kimi zaman bir kesir artışı bir miktara eşitlenir. Hepsinde ilk iş, her kesrin neyin kesri olduğunu belirlemek; ikinci iş, kalan ya da değişen kesri bulup verilen miktara eşitlemektir.

Kavram çekirdeği

Kesirden bütüne

Bir bütünün a/b'si bir miktara eşitse bütün, o miktarın a/b'ye bölümüdür. Bir sayının 3/4'ü 18 ise sayı 18 ÷ 3/4 = 24'tür. Aynı sayının 5/6'sı sorulursa 24 × 5/6 = 20 bulunur.

Kısa düşünüş yolu, kesrin paydasını parça sayısı olarak okumaktır: 3/4'ü 18 ise 3 parça 18, 1 parça 6, 4 parça 24'tür. Bu, 2.5.5'teki parça yönteminin kesirli biçimidir.

Bütüne göre kesirler

Kesirlerin hepsi aynı bütüne göre verildiyse toplanır ve 1'den çıkarılır. "Maaşının 1/3'ünü kiraya, 1/4'ünü faturalara ayırıyor ve geriye 2.500 TL kalıyor" cümlesinde iki kesir de maaşa göredir. Harcanan 1/3 + 1/4 = 7/12, kalan 5/12'dir. 5/12'si 2.500 TL olan maaş 6.000 TL'dir.

Kalana göre kesirler

"Kalanın" sözcüğü geçiyorsa ikinci kesir bütüne değil, ilk adımdan sonra kalan kısma uygulanır. Kalan kesirler çarpılır. "Bir kitabın 1/3'ünü ilk gün, kalanın 1/4'ünü ikinci gün okudu; geriye 150 sayfa kaldı" cümlesinde ilk günden sonra 2/3 kalır; ikinci gün bunun 1/4'ü okunur ve 3/4'ü kalır. Kalan kitabın 2/3 × 3/4 = 1/2'sidir. Yarısı 150 sayfa olan kitap 300 sayfadır.

İki kesri bütüne göre toplayan aday 1 - 1/3 - 1/4 = 5/12 kalan bulur ve kitabı 360 sayfa sanır. Kancadaki iki öğrencinin farkı budur.

Parça sayısı yöntemi

Kesirli problemlerin çoğu, bütünü paydaların EKOK'u kadar eşit parçaya bölerek kesirsiz çözülür. Kitap örneğinde paydalar 3 ve 4'tür; kitap 12 parça sayılır. İlk gün 1/3'ü, yani 4 parça okunur ve 8 parça kalır. İkinci gün kalanın 1/4'ü, yani 2 parça okunur ve 6 parça kalır. 6 parça 150 sayfa ise 1 parça 25, kitap 12 × 25 = 300 sayfadır.

Bu yöntem, kalana göre kesirlerde özellikle güvenlidir: her adımda kalan parça sayısı açıkça görülür ve hangi kesrin neye uygulandığı karışmaz.

Ara adımı soran sorular

Soru her zaman bütünü ya da kalanı istemez; ara bir adımdaki miktarı da sorabilir. Kitap örneğinde "ikinci gün kaç sayfa okundu?" sorulursa parça yöntemi cevabı doğrudan verir: ikinci gün 2 parça okunmuştur ve 1 parça 25 sayfa olduğu için 50 sayfadır. Kesirle düşünen aday ise ikinci gün okunanı kitabın 1/4'ü sanıp 75 sayfa bulabilir; oysa ikinci gün okunan, kitabın 2/3 × 1/4 = 1/6'sıdır.

Kesir değişimi bir miktara eşitse

Bir depo ya da kap problemlerinde iki kesir arasındaki fark bir miktara eşitlenir. "Bir depo 2/5'i dolu iken içine 30 litre su eklenince 7/10'u doluyor" cümlesinde eklenen su, deponun 7/10 - 2/5 = 3/10'udur. 3/10'u 30 litre olan depo 100 litredir.

Burada tuzak, kesirlerden birini doğrudan 30'a eşitlemektir. 30 litre ne 2/5'e ne 7/10'a karşılık gelir; ikisi arasındaki farka karşılık gelir.

Kesirli gruplar ve farklar

Bir topluluğun kesirlerle bölündüğü sorularda grupların farkı da bir kesirdir. "Bir sınıftaki öğrencilerin 3/7'si kızdır; erkek öğrenciler kızlardan 6 kişi fazladır" denirse erkekler 4/7'dir ve fark 4/7 - 3/7 = 1/7'dir. 1/7'si 6 olan sınıf 42 kişidir; 18 kız ve 24 erkek vardır.

Kişi sayısı tam sayı olmalıdır; 2.6.1'deki gizli koşul burada bir denetim aracıdır. Bütün, paydanın katı çıkmalıdır: 42, 7'nin katıdır.

Görsel harita

Kesir problemi çözüm sırası

1. Her kesrin altına neyin kesri olduğunu yaz: bütünün mü, kalanın mı?
2. Bütünü paydaların EKOK'u kadar parçaya bölmeyi düşün.
3. Verilen miktara karşılık gelen kesri ya da parça sayısını bul.
4. Bütünü hesapla, sonra istenen parçayı bul.
5. Bütünün paydaların katı olup olmadığını denetle.

Sınav gözüyle

Kesir problemlerinde seçenekler, "bütüne göre" ile "kalana göre" okumanın iki sonucunu sık barındırır. İki sonuç da makul görünür ve her ikisi de bir hesabın ürünüdür. Hangisinin doğru olduğunu belirleyen, metindeki "kalanın" sözcüğünün varlığıdır. Metni okurken bu sözcüğün altını çizmek, en yaygın kaybı önler.

İkinci kalıp, istenen büyüklüğün bütün değil bir parça olmasıdır. Sınıf sorusunda bütün 42 bulunduktan sonra soru erkek sayısını istiyorsa bir adım daha gerekir. 2.6.1'deki "önce soruyu oku" ilkesi burada da geçerlidir.

Hafıza kancaları

• "Neyin kesri?" — her kesrin altına yaz.
• "Bütüne göre topla, kalana göre çarp" — 5/12 ile 1/2 farkı.
• "Paydaların EKOK'u kadar parça" — kesirsiz çözüm.
• "Eklenen miktar, kesirlerin farkıdır" — 3/10 = 30 L.
• "Bütün paydanın katıdır" — 42, 7'nin katı.

Mini test

1. (kolay) Bir sayının 3/4'ü 18'dir. Bu sayının 5/6'sı kaçtır?

A) 24 B) 15 C) 18 D) 20 E) 30

2. (kolay) Bir kişi maaşının 1/3'ünü kiraya, 1/4'ünü faturalara ayırıyor ve geriye 2.500 TL kalıyor. Maaşı kaç TL'dir?

A) 5.000 B) 6.000 C) 3.000 D) 7.500 E) 4.200

3. (orta) Bir öğrenci bir kitabın 1/3'ünü ilk gün, kalanın 1/4'ünü ikinci gün okuyor ve geriye 150 sayfa kalıyor. Kitap kaç sayfadır?

A) 600 B) 200 C) 360 D) 450 E) 300

4. (orta) Bir depo 2/5'i dolu iken içine 30 litre su ekleniyor ve deponun 7/10'u doluyor. Deponun tamamı kaç litredir?

A) 100 B) 60 C) 75 D) 300 E) 50

5. (sınav) Bir sınıftaki öğrencilerin 3/7'si kızdır. Erkek öğrenciler kız öğrencilerden 6 kişi fazla olduğuna göre sınıf kaç kişidir?

A) 18 B) 24 C) 42 D) 35 E) 14

Cevaplar

1. D — Sayı 18 ÷ 3/4 = 24; 24 × 5/6 = 20. A, sayının kendisidir.
2. B — Kalan 1 - 1/3 - 1/4 = 5/12'dir; 2.500 ÷ 5/12 = 6.000. A, ikinci kesri kalana uygulamanın sonucudur.
3. E — Kalan 2/3 × 3/4 = 1/2'dir; 150 × 2 = 300. C, iki kesri kitaba göre toplamanın sonucudur.
4. A — Eklenen 7/10 - 2/5 = 3/10'dur; 30 ÷ 3/10 = 100. C, 30 litreyi 2/5'e; D, 1/10'a eşitlemenin sonucudur.
5. C — Fark 4/7 - 3/7 = 1/7'dir ve 6 kişidir; sınıf 42 kişidir. A kız, B erkek sayısıdır.

Özet kartı

• Kesir problemlerinde her kesrin neyin kesri olduğu belirlenir: bütünün mü, kalanın mı?
• Bütüne göre kesirler toplanıp 1'den çıkarılır; kalana göre kesirlerde kalan kesirler çarpılır.
• Bütünü paydaların EKOK'u kadar parçaya bölmek, kesirsiz ve güvenli bir çözüm yolu verir.
• Bir artış ya da fark verildiğinde, miktar iki kesrin farkına eşitlenir.
• Bulunan bütün, paydaların katı olmalıdır; değilse kurulum yeniden okunur.

Kaynaklar

Sonraki derse köprü

Bu dersteki büyüklükler sabitti; kitap da depo da zamanla değişmiyordu. Bazı problemlerde ise bütün büyüklükler aynı hızla değişir: her yıl herkes bir yaş büyür. Ders 2.6.4, "Yaş problemleri", zaman geçtikçe aynı miktarda değişen yaşlar arasındaki bağıntılarla kurulan soruları ele alıyor.