Sayı problemleri

Kanca

Bir öğretmen 90 kitabı iki sınıfa dağıtıyor; A sınıfına B sınıfından 20 kitap fazla verilecek. Bir aday önce kitapları ikiye böler: 45 ve 45. Sonra farkı eklemek için birine 20 ekler, öbüründen 20 çıkarır: 65 ve 25. Toplam hâlâ 90'dır, ama fark artık 20 değil 40'tır. Aday farkı iki kez uygulamıştır.

Doğru yol, farkın ancak yarısını kaydırmaktır: 45 + 10 = 55 ve 45 - 10 = 35. Ya da kısaca: büyük sayı (90 + 20) / 2 = 55, küçük sayı (90 - 20) / 2 = 35. Sayı problemleri, sayılar arasındaki bu tür bağıntılarla kurulur: toplam ve fark, bölme ve kalan, basamak ve rakam, ardışıklık. Bu ders bu kalıpların her birini tanımayı ve kısa yoldan çözmeyi ele alıyor.

Büyük resim

Sayı problemleri, bir ya da birkaç bilinmeyen sayı hakkında verilen bağıntılardan oluşur. Hiçbir gündelik bağlam taşımazlar ya da bağlam yalnız bir kılıftır: "kitap", "öğrenci", "para" sözcükleri altta yatan sayısal bağıntıyı değiştirmez. Bu yüzden sayı problemleri, 2.6.1'deki çeviri becerisinin en saf uygulama alanıdır.

Kalıpların çoğu daha önceki ünitelerden tanıdıktır. Bölme ve kalan 2.2.1'den, basamak çözümlemesi 2.1.4'ten, ardışık sayılar 2.1.3'ten gelir. Bu derste bu araçlar sözel kılığa giriyor ve her biri için bir denklem kalıbı ya da bir kısa yol kuruluyor.

Kavram çekirdeği

Toplam ve fark

İki sayının toplamı T ve farkı F verilmişse büyük sayı (T + F) / 2, küçük sayı (T - F) / 2'dir. Nedeni 2.5.2'deki yok etme yöntemidir: x + y = T ve x - y = F toplanınca 2x = T + F olur.

Toplamı 50, farkı 14 olan iki sayıdan büyüğü (50 + 14) / 2 = 32, küçüğü 18'dir. Kancadaki tuzak, farkı ortadan iki yöne birden kaydırmaktır; kaydırma miktarı farkın yarısıdır.

Toplam ve kat

İki sayıdan biri öbürünün belli bir katıysa küçük sayı 1 parça, büyük sayı o kadar parça alınır; 2.5.5'teki k yöntemidir. Toplamları 60 olan iki sayıdan biri öbürünün 4 katıysa 5 parça 60, 1 parça 12'dir; sayılar 12 ve 48'dir.

İşlemlerle kurulan bağıntılar

Bir sayı birkaç işlemden geçiyor ve sonuç başka bir ifadeye eşitleniyorsa, 2.6.1'deki çeviri doğrudan uygulanır. "Bir sayıya 12 eklenip toplam 3'e bölününce, sayının yarısı elde ediliyor" cümlesi (x + 12) / 3 = x / 2 olur. İki yan 6 ile çarpılınca 2x + 24 = 3x ve x = 24 bulunur. Denetim: (24 + 12) / 3 = 12 ve 24 / 2 = 12.

Bölme ve kalan

Bölme ile kurulan sayı problemlerinde 2.2.1'deki bölme eşitliği kullanılır: bölünen = bölen × bölüm + kalan. "İki sayıdan büyüğü küçüğe bölününce bölüm 3, kalan 5'tir; büyük sayı küçükten 37 fazladır" denirse a = 3b + 5 ve a - b = 37 yazılır. İkincide a yerine 3b + 5 konunca 2b + 5 = 37, b = 16 ve a = 53 olur.

Kalan her zaman bölenden küçük olmalıdır. Bu örnekte 5 < 16 olduğu için sonuç geçerlidir. Bölen kalandan küçük ya da ona eşit çıksaydı kurulumda bir hata olduğu anlaşılırdı.

Basamak problemleri

İki basamaklı ab sayısı 10a + b'dir; 2.1.4'teki çözümlemedir. Rakamları yer değiştirince ba = 10b + a olur. İkisinin farkı her zaman 9(a - b)'dir; toplamı ise 11(a + b)'dir.

"İki basamaklı bir sayının rakamları yer değiştirince sayı 27 azalıyor; rakamlarının toplamı 11'dir" denirse 9(a - b) = 27, yani a - b = 3 ve a + b = 11 bulunur. Bu iki eşitlik 2.5.2'deki gibi toplanınca 2a = 14, a = 7 ve b = 4'tür; sayı 74'tür. Denetim: 74 - 47 = 27.

Basamak sorularının gizli koşulu, rakamların 0 ile 9 arasında olması ve ilk rakamın sıfır olmamasıdır. Bulunan rakamlar bu sınırların dışına çıkıyorsa kurulum yanlıştır.

Ardışık sayılar

Ardışık sayılarda bilinmeyen olarak ortadaki terim seçilirse denklem simetrik olur ve hesap kısalır. Ardışık beş tek sayının toplamı 85 ise ortadaki sayı 85 / 5 = 17'dir; sayılar 13, 15, 17, 19, 21'dir. Terim sayısı tek olduğunda ortadaki terim toplam bölü terim sayısıdır; 2.1.3'teki ardışık toplam kısa yolu buna dayanır.

Terim sayısı çift olduğunda ortada bir terim değil iki terim vardır; ortalama, bu iki terimin tam ortasına düşer. Ardışık dört sayının toplamı 50 ise ortalama 12,5'tir ve sayılar 11, 12, 13, 14'tür.

Görsel harita

Sayı problemi çözüm sırası

1. Kalıbı tanı: toplam-fark, kat, bölme, basamak, ardışık.
2. Kısa yolu varsa uygula; yoksa 2.6.1'deki çeviriyle denklem kur.
3. Gizli koşulları denetle: kalan bölenden küçük, rakam 0-9, ilk rakam sıfır değil.
4. İstenen büyüklüğü bul ve her koşula geri koy.

Sınav gözüyle

Sayı problemlerinde kurulum çoğu zaman bir kalıba oturur ve kalıbı tanımak süreyi kısaltır. Toplam-fark sorusunu iki bilinmeyenli sistemle çözmek yanlış değildir, ama (T + F)/2 formülü aynı sonuca tek adımda götürür. Basamak sorularında 9(a - b) ilişkisini bilmek, iki basamaklı sayının rakamlarını tek tek denemekten kurtarır.

Seçenekler bu sorularda iki yerden tuzak kurabilir: istenen büyüklük yerine öbür sayının verilmesi ve gizli koşulun ihlal edilmesi. Basamak sorusunda rakamları yer değiştirmiş sayı da seçeneklerde bulunabilir; 74 sorulurken 47'nin listede olması bu tür bir tuzaktır.

Hafıza kancaları

• "Toplam artı fark, bölü iki" — büyük sayı.
• "Farkın yarısını kaydır" — ortadan iki yana.
• "Bölünen = bölen × bölüm + kalan" — kalan < bölen.
• "Yer değiştirince fark 9(a - b)" — toplam 11(a + b).
• "Tek sayıda ardışıkta orta = toplam / adet" — 85 / 5 = 17.

Mini test

1. (kolay) Toplamı 50, farkı 14 olan iki sayıdan büyüğü kaçtır?

A) 18 B) 36 C) 32 D) 25 E) 64

2. (kolay) Bir sayıya 12 eklenip toplam 3'e bölününce sayının yarısı elde ediliyor. Bu sayı kaçtır?

A) 24 B) 12 C) 36 D) 8 E) 6

3. (orta) İki basamaklı bir sayının rakamları yer değiştirince sayı 27 azalıyor. Rakamlarının toplamı 11 olduğuna göre bu sayı kaçtır?

A) 47 B) 83 C) 65 D) 92 E) 74

4. (orta) Ardışık beş tek sayının toplamı 85'tir. Bu sayıların en küçüğü kaçtır?

A) 17 B) 13 C) 15 D) 11 E) 21

5. (sınav) İki sayıdan büyüğü küçüğe bölündüğünde bölüm 3, kalan 5'tir. Büyük sayı küçükten 37 fazla olduğuna göre büyük sayı kaçtır?

A) 16 B) 42 C) 58 D) 53 E) 37

Cevaplar

1. C — (50 + 14) / 2 = 32. A, küçük sayıdır.
2. A — (x + 12) / 3 = x / 2; 2x + 24 = 3x, x = 24. B, sayının yarısıdır.
3. E — a - b = 3 ve a + b = 11; a = 7, b = 4. A, rakamları yer değiştirmiş sayıdır; 47 yer değişince artar.
4. B — Ortadaki sayı 85 / 5 = 17'dir; en küçük 17 - 4 = 13'tür. A, ortadaki sayıdır.
5. D — a = 3b + 5 ve a - b = 37; 2b + 5 = 37, b = 16, a = 53. Kalan 5 < 16 olduğu için geçerlidir. A, küçük sayıdır; C, kalanı çıkararak (a = 3b - 5) kurmanın sonucudur.

Özet kartı

• Toplamı T, farkı F olan iki sayıdan büyüğü (T + F)/2, küçüğü (T - F)/2'dir.
• Biri öbürünün katı olan sayılarda parça yöntemi kullanılır.
• Bölme ile kurulan problemlerde bölünen = bölen × bölüm + kalan yazılır; kalan bölenden küçüktür.
• İki basamaklı ab = 10a + b; rakamlar yer değiştirince fark 9(a - b), toplam 11(a + b) olur.
• Tek sayıda ardışık terimde ortadaki terim toplam bölü terim sayısıdır.
• Gizli koşullar (rakam aralığı, kalanın bölenden küçüklüğü) sonucun geçerliliğini denetler.

Kaynaklar

Sonraki derse köprü

Bu dersteki sayılar hep tam sayıydı ve birbirlerine "fazla", "kat" ya da "kalan" ile bağlanıyordu. Bir büyüklüğün bir bütünün parçası olarak verildiği sorular ise başka bir bakış ister: "maaşının üçte biri", "kalanın yarısı". Ders 2.6.3, "Kesir problemleri", bir bütünün kesirlerle anlatılan parçalarıyla kurulan problemleri ele alıyor.