Denklem kurmadan çözme teknikleri

Kanca

Bir çiftlikte tavuklar ve tavşanlar var: toplam 20 baş, 56 ayak. Kaç tavşan var? Denklem kurmak isteyen aday iki bilinmeyen tanımlar, iki denklem yazar, birini öbürüne koyar. Başka bir aday ise şöyle düşünür: "Hepsi tavuk olsaydı 40 ayak olurdu. 16 ayak fazla var. Her tavşan bir tavuktan 2 ayak fazla getirir. Demek ki 8 tavşan var." Hesap üç satırdır ve hiçbir harf kullanılmamıştır.

İki yol da doğrudur, ama ikincisi daha hızlıdır ve sınavın süresi bu hızı ödüllendirir. Ünitenin derslerinde denklemleri, oranları ve orantıları kurduk. Bu Ustalık dersi, aynı problemleri bilinmeyene harf vermeden çözmenin beş tekniğini, her birinin hangi problemde işe yaradığını ve hangi durumda denklemin yine en güvenli yol olduğunu öğretiyor.

Büyük resim

Denklem kurmak her zaman çalışan, genel bir yöntemdir. Ama genel olduğu için her problemde aynı uzunluktadır: bilinmeyenleri adlandırmak, cümleleri denkleme çevirmek, sistemi çözmek. Denklem kurmadan çözme teknikleri ise problemin yapısından yararlanır: bir toplamı izlemek, bir varsayımın hatasını ölçmek, sondan başa doğru yürümek, seçenekleri sınamak.

Bu tekniklerin hepsi ünitede öğrendiklerimize dayanır. Varsayım yöntemi 2.5.2'deki iki bilinmeyenli sistemin kısa yoludur; parça yöntemi 2.5.5'teki k yöntemidir; işçi-gün hesabı ters orantının çarpım biçimidir. Ustalık, bu araçlardan hangisinin hangi soruya uyduğunu görmektir. 2.3.5'teki "önce bak, sonra hesapla" ilkesi burada sözel problemlere uygulanıyor.

Kavram çekirdeği

Teknik 1: Varsayım yöntemi

İki tür nesneden oluşan ve toplam sayısı ile bir başka toplamı verilen problemlerde, hepsinin tek türden olduğu varsayılır ve aradaki fark ölçülür. Kancadaki çiftlik bunun tipik örneğidir: hepsi tavuk varsayılınca 40 ayak çıkar, gerçek 56'dır, fark 16'dır; her tavşan 2 ayak fark yaratır, 16 / 2 = 8 tavşan vardır.

Aynı yapı başka kılıklarda da gelir: iki tür bilet, iki tür para, iki tür araç. İşaret, "toplam sayı" ile "toplam değer"in birlikte verilmesidir.

Teknik 2: Geriye çalışma

Bir miktar art arda işlemlerden geçip son durumu verilmişse, sondan başa doğru ters işlemlerle yürünür. "Parasının yarısını harcadı, sonra 10 TL daha harcadı ve 15 TL'si kaldı" cümlesinde sondan başlanır: 10 TL harcamadan önce 15 + 10 = 25 TL vardı; yarısını harcamadan önce 25 × 2 = 50 TL vardı.

Her adımda işlemin tersi uygulanır: harcama yerine ekleme, yarıya inme yerine ikiyle çarpma. İşaret, sorunun son durumu verip ilk durumu istemesidir.

Teknik 3: Toplam izleme

Ortalama soruları, ortalamaların değil toplamların izlenmesiyle çözülür. Beş sayının ortalaması 12 ise toplamları 60'tır. Bir sayı çıkarılınca kalan dördünün ortalaması 10 ise toplamları 40'tır. Çıkarılan sayı 60 - 40 = 20'dir.

Ortalamaların kendisiyle işlem yapmak, örneğin 12 - 10 = 2 demek, yaygın bir hatadır. Ortalama bir bölümdür; toplam ise eklenip çıkarılabilir bir miktardır.

Teknik 4: Parça yöntemi

Oranları verilen problemlerde her büyüklük eşit "parçalar" cinsinden düşünülür; 2.5.5'teki k yöntemi budur. Ali ile Veli'nin paralarının oranı 2 : 3'tür; Veli, Ali'ye 15 TL verirse paraları eşitlenir. Aradaki fark 1 parçadır. Veli 15 TL verince fark kapanıyorsa, fark 30 TL'dir; çünkü verilen para hem Veli'yi azaltır hem Ali'yi artırır. 1 parça 30 TL'dir; Ali 60, Veli 90 TL, toplam 150 TL'dir.

Bu örnekteki ince nokta, aktarılan miktarın farkı iki kez kapatmasıdır. "15 TL verince eşitlendiler" ise fark 15 değil 30'dur.

Teknik 5: Birim izleme

Ters orantılı işlerde toplam iş bir birim olarak hesaplanır: işçi-gün, makine-saat, musluk-saat. 6 işçinin 12 günde bitirdiği iş 72 işçi-gündür. 4 gün çalıştıktan sonra 6 × 4 = 24 işçi-gün iş yapılmış, 48 işçi-gün iş kalmıştır. 2 işçi ayrılırsa kalan 4 işçi işi 48 / 4 = 12 günde bitirir.

Birim izleme, işin parçalara bölündüğü, çalışanların değiştiği problemlerde denklem kurmaktan çok daha kısadır. Her aşamada yapılan ve kalan iş aynı birimle yazılır.

Seçeneklerden sınamak

Beş tekniğin hepsine ek olarak, seçenekleri soruya koyarak sınamak her zaman bir seçenektir. Seçenekler sayısal ve az sayıdaysa, ortadaki seçenekten başlanır; sonuç büyük ya da küçük çıkarsa hangi yöne gidileceği belli olur. Bu yol tek başına bir yöntem değil, bir denetimdir; ama denetim olarak her soruda kullanılabilir.

Denklemin yine en iyi yol olduğu yer

Bu teknikler problemin yapısına dayanır; yapı karmaşıklaştığında, örneğin üç bilinmeyen ve birbirine bağlı üç koşul olduğunda, denklem kurmak daha güvenlidir. Ustalık, kısa yolu her soruya zorlamak değil, hangi soruya uyduğunu görmektir. Bir teknik iki adımda sonuca götürmüyorsa denkleme dönmek zaman kaybı değil, sigortadır.

Bir örnek

Soru: Bir otoparkta otomobil ve motosikletlerden oluşan toplam 30 araç ve 100 teker vardır. Otoparkta kaç motosiklet vardır?

Varsayım yöntemiyle: hepsi motosiklet olsaydı 60 teker olurdu. 40 teker fazla vardır; her otomobil bir motosikletten 2 teker fazla getirir. 40 / 2 = 20 otomobil, 30 - 20 = 10 motosiklet.

A) 20. Bu, otomobil sayısıdır; soru motosiklet sayısını istiyor. Varsayım yönteminin ilk bulduğu sayıda durmanın sonucudur.

B) 15. Araçları ikiye eşit bölmenin sonucudur; 15 otomobil ve 15 motosiklet 90 teker eder.

C) 10. 20 otomobil 80, 10 motosiklet 20 teker eder; toplam 100. Bütün koşullar sağlanır.

D) 25. Teker sayısını 4'e bölmenin sonucudur; araç sayısını hiç kullanmaz.

E) 5. 25 otomobil ve 5 motosiklet 110 teker eder; seçenek sınaması onu hemen eler.

Aranan seçenek C. A soruyu yanlış okumaktan, B ve D koşullardan birini kullanmamaktan doğar; E ise sınamayla düşer.

Görsel harita

Teknik seçme sırası

1. Sorunun neyi verip neyi istediğini yaz.
2. İşarete bak: iki tür ve iki toplam, son durum, ortalama, oran, değişen işçi.
3. Uyan tekniği uygula; iki adımda sonuç çıkmıyorsa denkleme dön.
4. Sonucu soruya koy ve istenen büyüklüğü bulduğundan emin ol.

Sınav gözüyle

Sözel problemlerde zaman kaybı çoğu zaman hesaptan değil, kurulumdan gelir. Denklem kurmak her soruya uyar ama her soruda aynı uzunluktadır; teknikler ise doğru soruda süreyi büyük ölçüde kısaltır. Bu yüzden ilk birkaç saniyeyi sorunun yapısını tanımaya ayırmak, geri kalan süreyi korur.

İkinci kayıp, doğru hesabı yapıp yanlış büyüklüğü işaretlemektir. Varsayım yöntemi önce bir türün sayısını verir; soru öbür türü soruyorsa bir adım daha gerekir. "Bir örnek"teki A seçeneği tam bu kayıptır. Son adımda soruyu yeniden okumak bu hatayı önler.

Hafıza kancaları

• "Hepsi tek tür olsaydı?" — farkı tür başına farka böl.
• "Sondan başa, ters işlemle" — harcama yerine ekle.
• "Ortalama değil toplam" — ortalama × adet.
• "Aktarma farkı iki kez kapatır" — 15 verilince fark 30.
• "İşi birimle say" — işçi-gün, makine-saat.

Mini test

1. (kolay) Bir kişi parasının yarısını harcadıktan sonra 10 TL daha harcıyor ve geriye 15 TL'si kalıyor. Başlangıçta kaç TL'si vardı?

A) 25 B) 50 C) 35 D) 40 E) 70

2. (kolay) Beş sayının ortalaması 12'dir. Bu sayılardan biri çıkarılınca kalan dört sayının ortalaması 10 oluyor. Çıkarılan sayı kaçtır?

A) 2 B) 10 C) 12 D) 22 E) 20

3. (orta) Bir çiftlikteki tavuk ve tavşanların toplam baş sayısı 20, toplam ayak sayısı 56'dır. Çiftlikte kaç tavşan vardır?

A) 12 B) 6 C) 10 D) 8 E) 14

4. (orta) Ali ile Veli'nin paralarının oranı 2 : 3'tür. Veli, Ali'ye 15 TL verirse paraları eşit oluyor. İkisinin toplam parası kaç TL'dir?

A) 150 B) 75 C) 90 D) 60 E) 125

5. (sınav) Eşit hızla çalışan 6 işçi bir işi 12 günde bitirebiliyor. 4 gün çalıştıktan sonra 2 işçi ayrılıyor. Kalan iş, geri kalan işçilerle kaç günde biter?

A) 8 B) 16 C) 12 D) 6 E) 18

Cevaplar

1. B — Sondan başa: 15 + 10 = 25, 25 × 2 = 50. A, ikiyle çarpmayı unutmanın sonucudur.
2. E — Toplamlar 60 ve 40'tır; çıkarılan sayı 20'dir. A, ortalamaları çıkarmanın sonucudur.
3. D — Hepsi tavuk olsaydı 40 ayak olurdu; 16 fazla ayak, 2'şerden 8 tavşan verir. A, tavuk sayısıdır.
4. A — Fark 1 parçadır ve 30 TL'dir; 5 parça 150 TL'dir. B, farkı 15 TL sanmanın sonucudur.
5. C — İş 72 işçi-gündür; 4 günde 24'ü yapılır, 48 kalır; 4 işçi 12 günde bitirir. B, işin toplam süresidir (4 + 12).

Özet kartı

• Varsayım yöntemi: hepsi tek tür sayılır, fark tür başına farka bölünür.
• Geriye çalışma: son durumdan başlanır, her adımda işlemin tersi uygulanır.
• Ortalama sorularında ortalamalar değil toplamlar izlenir.
• Parça yönteminde oranlar parça olarak düşünülür; aktarılan miktar farkı iki kez kapatır.
• Ters orantılı işler işçi-gün gibi bir birimle hesaplanır; yapılan ve kalan iş ayrı ayrı yazılır.
• Teknik iki adımda sonuç vermiyorsa denklem kurmak en güvenli yoldur; sonucu sorunun istediği büyüklükle karşılaştır.

Kaynaklar

Sonraki derse köprü

"Bir örnek"teki en sık kayıp, doğru hesaptan sonra yanlış büyüklüğü işaretlemekti; kayıp hesapta değil, sorunun okunuşundaydı. Problemler ünitesi tam bu okumayla açılıyor. Ders 2.6.1, "Problem okuma sanatı: sözü denkleme çevirmek", Ünite 2.6'yı açıyor ve sözel bir metnin cümlelerini matematik ifadelerine çevirmeyi ele alıyor.