Oran-orantı: doğru ve ters orantı

Kanca

Dört kişilik bir kek tarifi 2 yumurta ve 3 su bardağı un istiyor; kek 40 dakikada pişiyor. On kişilik kek yapmak isteyen biri yumurtayı ve unu kişi sayısıyla birlikte büyütür: 10 kişi için 5 yumurta ve 7,5 su bardağı un. Peki pişme süresi de 100 dakikaya mı çıkar? Hayır. Malzemeler kişi sayısıyla birlikte artar, ama pişme süresi aynı oranda artmaz.

Hangi büyüklüklerin birlikte, aynı oranda değiştiğini görmek, oran-orantı sorularının ilk adımıdır. Kimi büyüklükler birlikte artar, kimileri biri artarken öbürü azalır, kimileri ise hiç bağlı değildir. Bu ders oran ve orantının tanımını, doğru ve ters orantıyı, birden çok büyüklüğün bir arada değiştiği bileşik orantıyı ve bir miktarı orantılı paylaştırmayı ele alıyor.

Büyük resim

İki büyüklüğün oranı, birinin öbürüne bölümüdür: a/b ya da a : b. Oranın anlamlı olması için iki büyüklüğün aynı birimle ölçülmesi gerekir; 50 santimetre ile 2 metre oranlanacaksa önce ikisi de santimetreye çevrilir: 50 : 200 = 1 : 4. İki oranın eşitliğine orantı denir: a/b = c/d.

İki büyüklük birlikte değişirken oranları sabit kalıyorsa doğru orantılıdır; çarpımları sabit kalıyorsa ters orantılıdır. Bu iki bağıntı, işçi, havuz ve hız problemleri gibi pek çok sözel problemin omurgasıdır. Ünitenin son dersi, bu bağıntıları denklem kurmadan kullanmanın yollarını gösterecek; bu ders bağıntıların kendisini kuruyor.

Kavram çekirdeği

Orantının temel özelliği

a/b = c/d orantısında içler çarpımı dışlar çarpımına eşittir: a × d = b × c. Bu, 2.5.1'deki gibi iki yanı b × d ile çarpmanın sonucudur. 3/x = 12/20 ise 3 × 20 = 12x ve x = 5'tir.

Oranı verilen sayıları bulmak: k yöntemi

a : b = 3 : 5 demek, a ile b'nin 3k ve 5k biçiminde yazılabileceği demektir. a + b = 40 ise 3k + 5k = 40, k = 5'tir; a = 15 ve b = 25 olur.

Aynı yol üç sayıya da uzanır. a : b : c = 2 : 3 : 4 ve toplam 54 ise 9k = 54, k = 6'dır; sayılar 12, 18 ve 24'tür. k yöntemi, oran sorularında denklem sistemine gerek bırakmaz.

Doğru orantı

İki büyüklükten biri kaç katına çıkarsa öbürü de o katına çıkıyorsa doğru orantılıdır. Oranları sabittir: y / x = k. Birim fiyatı aynı olan bir üründe miktar ile toplam fiyat doğru orantılıdır: 3 kilogramı 75 TL olan peynirin kilogramı 25 TL'dir ve 5 kilogramı 125 TL'dir.

Doğru orantıda çözüm, oranı korumaktır: 3/75 = 5/x, x = 125. Kancadaki tarifte kişi sayısı ile yumurta ve un doğru orantılıdır.

Ters orantı

İki büyüklükten biri kaç katına çıkarsa öbürü o kadarına iniyorsa ters orantılıdır. Çarpımları sabittir: x × y = k. Aynı işi eşit hızla çalışan işçilerin sayısı ile işin bitme süresi ters orantılıdır: 6 işçi bir işi 10 günde bitiriyorsa iş 6 × 10 = 60 "işçi-gün"dür. Aynı işi 4 işçi 60 / 4 = 15 günde bitirir.

Sık karıştırılan nokta, hangi büyüklüklerin ters orantılı olduğudur. Sabit bir yolda hız ile zaman ters orantılıdır; ama sabit sürede çalışan işçi sayısı ile yapılan iş miktarı doğru orantılıdır. Soru hangi büyüklüğün sabit tutulduğunu söyler; bağıntı ona göre belirlenir.

Doğru mu, ters mi?

Bağıntıyı belirlemek için bir soru yeter: "Biri artarsa öbürü artar mı, azalır mı?" Daha çok işçi işi daha kısa sürede bitirir: ters. Daha çok ürün daha çok para eder: doğru. Ama "artar" demek doğru orantı için yetmez; artışın aynı katta olması gerekir. Kancadaki pişme süresi kişi sayısıyla belki biraz artar, ama aynı katta artmaz; bu yüzden orantılı değildir.

Ters orantıyı doğru orantı gibi çözen aday çoğu zaman makul görünmeyen bir sonuca varır. 6 işçinin 10 günde bitirdiği işi 4 işçinin 10 × 4 / 6 ≈ 6,7 günde bitireceğini bulan aday, daha az işçinin işi daha kısa sürede bitirdiğini söylemiş olur. Sonucu sağduyuyla sınamak bu hatayı yakalar.

Bileşik orantı

Birden çok büyüklük birlikte değiştiğinde her birinin sonuçla bağıntısı ayrı ayrı belirlenir. İşçi problemlerinde toplam iş, işçi sayısı × günlük çalışma saati × gün sayısı çarpımıyla ölçülür.

4 işçi günde 6 saat çalışarak bir işi 10 günde bitiriyor. Aynı işi 5 işçi günde 8 saat çalışarak kaç günde bitirir? Toplam iş 4 × 6 × 10 = 240 işçi-saattir. 5 × 8 × g = 240 eşitliğinden g = 6 gün bulunur. Sonuç sağduyuyla da tutar: daha çok işçi, daha uzun günler, daha az gün.

Orantılı paylaştırma

Bir miktar sayılarla doğru orantılı paylaştırılacaksa paylar o sayıların k katıdır. 1.200 TL, 2, 3 ve 5 sayılarıyla doğru orantılı bölünürse 10k = 1.200, k = 120'dir; paylar 240, 360 ve 600 TL'dir.

Ters orantılı paylaştırmada paylar, sayıların terslerinin k katıdır. 1.200 TL, 2, 3 ve 6 sayılarıyla ters orantılı bölünürse paylar 1/2, 1/3 ve 1/6 ile orantılıdır. Bu kesirler 6 ile çarpılınca 3 : 2 : 1 oranı çıkar; 6k = 1.200, k = 200'dür ve paylar 600, 400 ve 200 TL'dir. Ters orantıda en küçük sayıya en büyük pay düşer.

Görsel harita

Orantı sorusu çözüm sırası

1. Birlikte değişen büyüklükleri ve sabit tutulanı belirle.
2. Her büyüklük için sor: biri artınca öbürü aynı katta artıyor mu, azalıyor mu?
3. Doğruysa oranı, tersse çarpımı sabit yaz.
4. Oranlı sayılarda k yöntemini kullan.
5. Sonucu sağduyuyla sına: daha çok işçi daha kısa süre demektir.

Sınav gözüyle

Orantı soruları sınavda çoğunlukla sözel problem olarak gelir ve asıl iş, bağıntının türünü doğru belirlemektir. Seçeneklerde hem doğru hem ters orantıyla bulunan sonuç bulunabilir; ikisi de "hesaplanmış" göründüğü için aday kararsız kalır. Bu durumda sağduyu denetimi kesin ayırıcıdır.

Paylaştırma sorularında ikinci bir tuzak vardır: "ters orantılı" ifadesi kaçırıldığında aday sayıların kendisiyle paylaştırır ve en büyük payı en büyük sayıya verir. Ters orantıda bu sıra tersine döner. Soru kökündeki "ters" sözcüğünün altını çizmek bu kaybı önler.

Hafıza kancaları

• "Doğru orantıda bölüm, ters orantıda çarpım sabit" — y/x ya da x · y.
• "İçler çarpımı dışlar çarpımı" — a/b = c/d → ad = bc.
• "Oran varsa k var" — 3 : 5 → 3k, 5k.
• "İşçi × saat × gün = iş" — bileşik orantı.
• "Terste küçüğe büyük pay" — 2, 3, 6 → 600, 400, 200.

Mini test

1. (kolay) 3 kilogramı 75 TL olan peynirin 5 kilogramı kaç TL'dir?

A) 100 B) 150 C) 45 D) 125 E) 115

2. (kolay) Eşit hızla çalışan 6 işçi bir işi 10 günde bitiriyor. Aynı işi 4 işçi kaç günde bitirir?

A) 15 B) 20/3 C) 12 D) 8 E) 24

3. (orta) a : b = 3 : 5 ve a + b = 40 olduğuna göre b kaçtır?

A) 15 B) 24 C) 25 D) 8 E) 5

4. (orta) 1.200 TL, 2, 3 ve 6 sayılarıyla ters orantılı olarak paylaştırılıyor. En büyük pay kaç TL'dir?

A) 400 B) 200 C) 300 D) 800 E) 600

5. (sınav) 4 işçi günde 6 saat çalışarak bir işi 10 günde bitiriyor. Aynı hızla çalışan 5 işçi günde 8 saat çalışarak aynı işi kaç günde bitirir?

A) 4 B) 6 C) 8 D) 12 E) 10

Cevaplar

1. D — Kilogramı 25 TL'dir; 5 kilogram 125 TL'dir.
2. A — İş 6 × 10 = 60 işçi-gündür; 60 / 4 = 15. B, ters orantıyı doğru orantı gibi kurmanın sonucudur.
3. C — 8k = 40, k = 5; b = 5k = 25. A, a'nın değeridir.
4. E — Paylar 1/2 : 1/3 : 1/6 = 3 : 2 : 1; 6k = 1.200, k = 200; en büyük pay 3k = 600 TL'dir. A, 3'e düşen payın, B ise 6'ya düşen en küçük payın değeridir.
5. B — 4 × 6 × 10 = 240 = 5 × 8 × g, g = 6. E, işçi ve saat değiştiği hâlde süreyi aynı bırakmanın sonucudur.

Özet kartı

• Oran aynı birimdeki iki büyüklüğün bölümüdür; orantıda içler çarpımı dışlar çarpımına eşittir.
• Oranı verilen sayılar k katsayısıyla yazılır: 3 : 5 → 3k ve 5k.
• Doğru orantıda iki büyüklüğün bölümü, ters orantıda çarpımı sabittir.
• Bağıntının türü, birinin artışında öbürünün aynı katta artıp azalmasına bakılarak belirlenir; birlikte değişmek tek başına orantı demek değildir.
• Bileşik orantıda toplam iş, değişen büyüklüklerin çarpımıyla ölçülür.
• Ters orantılı paylaştırmada paylar sayıların tersleriyle orantılıdır; küçük sayıya büyük pay düşer.

Kaynaklar

Sonraki derse köprü

İşçi sorusunu "60 işçi-gün" diyerek bir satırda çözdük; denklem kurmadık. Pek çok sözel problem, bilinmeyene harf vermeden, birimleri ve oranları izleyerek çözülebilir. Ünitenin son dersi, 2.5.6 "Denklem kurmadan çözme teknikleri", bir Ustalık dersi olarak bu yolları ele alıyor.