Mutlak değer

Kanca

Bir okulun kalorifer sistemi sınıf sıcaklığını 20 °C'de tutmaya ayarlanmış ve 2 dereceye kadar sapmaya izin veriyor. Sıcaklık 18,5 °C olduğunda sistem bekler; 17 °C olduğunda devreye girer. Sistemin baktığı şey sıcaklığın kendisi değil, 20'den ne kadar uzak olduğudur: 18,5 °C, 20'nin 1,5 derece altındadır; 22,5 °C ise 2,5 derece üstündedir ve sistemi çalıştırır.

Sapmanın yönünü değil yalnız büyüklüğünü ölçen bu bakış, mutlak değerin ta kendisidir. Kurulan kural tek bir satırla yazılır: |T - 20| ≤ 2. Bu ders mutlak değeri bir uzaklık olarak tanımlıyor, mutlak değerli ifadeleri açmayı, mutlak değerli denklemleri ve eşitsizlikleri çözmeyi ele alıyor.

Büyük resim

Bir sayının mutlak değeri, o sayının sayı doğrusunda sıfıra uzaklığıdır. Uzaklık negatif olamayacağı için mutlak değer hiçbir zaman negatif değildir: |5| = 5, |-5| = 5, |0| = 0. 2.4.3'te √(a²) = |a| eşitliğini gördük; kare kök de işareti silerek uzaklığı bırakır.

Mutlak değerin asıl gücü, iki sayı arasındaki uzaklığı vermesidir: |a - b|, a ile b arasındaki uzaklıktır. Bu bakış, mutlak değerli denklem ve eşitsizlikleri neredeyse hesapsız çözmeyi sağlar. |x - 3| = 5, "3'e uzaklığı 5 olan sayılar" demektir; sayı doğrusunda 3'ün 5 birim sağı ve 5 birim solu: 8 ve -2.

Kavram çekirdeği

Tanım ve açma kuralı

Mutlak değer, içindeki ifadenin işaretine göre açılır:

• İçi sıfır ya da pozitifse aynen çıkar: |a| = a.
• İçi negatifse işareti değiştirilerek çıkar: |a| = -a.

İkinci satırdaki -a negatif bir sayı değildir; a zaten negatif olduğu için -a pozitiftir. |-7| = -(-7) = 7'dir.

Mutlak değer işaretinin dışındaki eksi ise içeri girmez: -|-5| = -5'tir. Sayı önce mutlak değerden pozitif olarak çıkar, sonra dışarıdaki eksiyle çarpılır.

Değişken içeren ifadeleri açmak

İçinde değişken bulunan bir mutlak değer, değişkenin aralığı biliniyorsa açılabilir. x < 2 ise x - 2 negatiftir ve |x - 2| = 2 - x olur.

Sık karşılaşılan bir kalıp iki mutlak değerin toplamıdır. 1 < x < 4 için |x - 1| + |x - 4| ifadesinde x - 1 pozitif, x - 4 negatiftir: (x - 1) + (4 - x) = 3. x kaybolur; sonuç aralıktaki her x için 3'tür. Uzaklık bakışıyla da aynı sonuç görülür: 1 ile 4 arasındaki bir noktanın 1'e ve 4'e uzaklıklarının toplamı, 1 ile 4 arasındaki uzaklıktır.

Özellikler

• |a| ≥ 0'dır ve |a| = 0 ancak a = 0 iken olur.
• |a| = |-a|'dır; bir sayı ile negatifi sıfıra eşit uzaklıktadır.
• |a × b| = |a| × |b| ve b ≠ 0 için |a / b| = |a| / |b|'dir. Mutlak değer çarpmaya ve bölmeye dağılır.
• |a + b| ≤ |a| + |b|'dir. Mutlak değer toplamaya dağılmaz: |3 + (-5)| = 2 iken |3| + |-5| = 8'dir.

Son özellik, 2.4.4'te kökün ve 2.4.5'te karenin toplamaya dağılmadığını gördüğümüz uyarının üçüncü örneğidir.

Mutlak değerli denklemler

|ifade| = k biçimindeki bir denklemde üç durum vardır:

• k > 0 ise iki çözüm yolu vardır: ifade = k ya da ifade = -k. |x - 3| = 5 için x - 3 = 5 ya da x - 3 = -5; x = 8 ya da x = -2. Çözümlerin toplamı 6'dır.
• k = 0 ise tek çözüm vardır: ifade = 0. |2x - 1| = 0 için x = 1/2.
• k < 0 ise çözüm yoktur. |x + 1| = -2 denklemini hiçbir x sağlamaz; uzaklık negatif olamaz.

Uzaklık bakışı ilk durumu doğrudan gösterir: |x - 3| = 5'in çözümleri, sayı doğrusunda 3'ün iki yanında 5 birim uzaktaki noktalardır. İki çözüm 3'e göre simetriktir; toplamları her zaman 2 × 3 = 6'dır.

Mutlak değerli eşitsizlikler

Uzaklık bakışı eşitsizlikleri de tek adımda çözer:

• |x - a| < k: x, a'ya k'den yakındır. a - k < x < a + k. |x - 3| < 2 için 1 < x < 5.
• |x - a| > k: x, a'dan k'den uzaktır. x < a - k veya x > a + k. |x - 1| ≥ 3 için x ≤ -2 veya x ≥ 4.

"Küçükse arada, büyükse dışarıda" kuralı bu iki satırın kısa biçimidir. Küçüktür eşitsizliği tek bir aralık verir; büyüktür eşitsizliği 2.5.3'teki "veya" ile bağlanan iki ayrı parça verir.

Katsayılı ifadelerde önce çift taraflı eşitsizlik yazılır. |2x - 1| ≤ 5 için -5 ≤ 2x - 1 ≤ 5, yani -4 ≤ 2x ≤ 6 ve -2 ≤ x ≤ 3'tür. Bu aralıkta altı tam sayı vardır.

Görsel harita

Mutlak değer çözüm sırası

1. İfadeyi |x - a| biçimine getir ve "a'ya uzaklık" diye oku.
2. Sağ yanın işaretine bak: negatifse çözüm yok, sıfırsa tek çözüm.
3. Denklemse iki durumu ayrı çöz; eşitsizlikse "küçükse arada, büyükse dışarıda" kuralını uygula.
4. Değişken içeren ifadeyi açarken içinin işaretini aralıktan belirle.
5. Bulunan değerleri ilk ifadeye koyarak denetle.

Sınav gözüyle

Mutlak değer sorularında iki kayıp öne çıkar. Birincisi, denklemin ikinci çözümünü unutmaktır: |x - 3| = 5'ten yalnız x = 8 bulan aday, "çözümler toplamı" sorusunda 8'i işaretler. İkincisi, eşitsizlik yönünü karıştırmaktır: |x - 1| ≥ 3'ü -2 ≤ x ≤ 4 diye yazmak, "dışarıda" olması gereken kümeyi "araya" taşır.

Değişkenli ifadeyi açma sorularında seçenekler genellikle aralığa göre farklı açılmış ifadelerden oluşur. Aralıktan bir sayı seçip hem ilk ifadeye hem seçeneklere koymak, doğru seçeneği bir anda ayırır. 1 < x < 4 için x = 2 alınırsa |1| + |-2| = 3 bulunur ve 3'ü vermeyen seçenekler düşer.

Hafıza kancaları

• "Mutlak değer uzaklıktır" — |x - 3|, x'in 3'e uzaklığı.
• "Dıştaki eksi içeri girmez" — -|-5| = -5.
• "Eşitlikte iki yol" — ifade = k ya da ifade = -k.
• "Negatife eşit mutlak değer yoktur" — çözüm boş.
• "Küçükse arada, büyükse dışarıda" — eşitsizlikte.

Mini test

1. (kolay) |-7| - |3 - 8| işleminin sonucu kaçtır?

A) 12 B) -2 C) 2 D) -12 E) 4

2. (kolay) |x - 3| = 5 denkleminin çözümlerinin toplamı kaçtır?

A) 8 B) -2 C) 10 D) 0 E) 6

3. (orta) |2x - 1| ≤ 5 eşitsizliğini sağlayan kaç tam sayı vardır?

A) 5 B) 6 C) 7 D) 4 E) 3

4. (orta) 1 < x < 4 olduğuna göre |x - 1| + |x - 4| ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

A) 3 B) 2x - 5 C) 5 - 2x D) -3 E) 2x - 3

5. (sınav) |x - 1| ≥ 3 ve -5 ≤ x ≤ 6 koşullarını birlikte sağlayan kaç tam sayı vardır?

A) 5 B) 6 C) 9 D) 7 E) 12

Cevaplar

1. C — |-7| = 7 ve |3 - 8| = |-5| = 5'tir; 7 - 5 = 2. A, ikinci terimi -5 alıp çıkarmanın sonucudur.
2. E — x = 8 ya da x = -2'dir; toplam 6'dır. A, ikinci çözümü unutmanın sonucudur.
3. B — -2 ≤ x ≤ 3; tam sayılar -2, -1, 0, 1, 2, 3'tür. A, uçlardan birini dışarıda bırakmanın sonucudur.
4. A — x - 1 pozitif, x - 4 negatiftir: (x - 1) + (4 - x) = 3. B, ikinci mutlak değeri işaret değiştirmeden açmanın sonucudur.
5. D — x ≤ -2 veya x ≥ 4; verilen aralıkta -5, -4, -3, -2 ile 4, 5, 6 kalır: yedi tam sayı. C, eşitsizliği |x - 1| ≥ 2 diye okuyup -1 ve 3'ü de saymanın; E, aralıktaki bütün tam sayıları saymanın sonucudur.

Özet kartı

• |a|, a'nın sıfıra uzaklığıdır ve hiçbir zaman negatif değildir; |a - b|, a ile b arasındaki uzaklıktır.
• İçi negatifse mutlak değer işaret değiştirilerek açılır; dıştaki eksi içeri girmez.
• Mutlak değer çarpmaya ve bölmeye dağılır, toplamaya dağılmaz.
• |ifade| = k için k > 0 ise iki, k = 0 ise bir çözüm vardır; k < 0 ise çözüm yoktur.
• |x - a| < k ise a - k < x < a + k; |x - a| > k ise x < a - k veya x > a + k.
• Değişkenli ifadeleri açarken içinin işareti verilen aralıktan belirlenir.

Kaynaklar

Sonraki derse köprü

Ünitenin buraya kadarki derslerinde bilinmeyen tek bir sayıydı ya da bir aralıktı. Gündelik hesapların önemli bir kısmı ise iki büyüklüğün birlikte nasıl değiştiğini sorar: işçi sayısı artınca iş süresi ne olur, ürün sayısı artınca toplam fiyat ne olur? Ders 2.5.5, "Oran-orantı: doğru ve ters orantı", bu iki tür birlikte değişimi ele alıyor.