Eşitsizlikler ve aralıklar

Kanca

Bir kargo şirketi tek paket için 5 kilogram sınırı koyuyor. Boş kutu 0,8 kilogram, her kitap 0,6 kilogram geliyor. Kutuya en çok kaç kitap konabilir? Burada aranan tek bir değer değil, sınırı aşmayan bütün değerlerdir: 0,8 + 0,6n ≤ 5. İki yandan 0,8 çıkarılınca 0,6n ≤ 4,2, 0,6'ya bölününce n ≤ 7 bulunur. Kutuya 0'dan 7'ye kadar istenen sayıda kitap konabilir; en çok 7 kitap.

Bu soru bir denklem değil, bir eşitsizliktir; cevabı, sınırı aşmayan sayıların hepsini kapsayan bir kümedir. Eşitsizlik çözerken denklemdeki adımların çoğu aynen geçerlidir; yalnız bir adım farklı davranır ve sınavın tuzakları o adımda kurulur. Bu ders eşitsizliklerin çözüm kurallarını, çözümlerin aralık olarak yazılışını ve eşitsizliklerle işlem yapmayı ele alıyor.

Büyük resim

İki ifade arasındaki büyüklük-küçüklük bağıntısı <, >, ≤ ve ≥ işaretleriyle yazılır. x < 4, "x, 4'ten küçüktür" demektir ve 4'ü içermez; x ≤ 4 ise 4'ü de içerir. Bir eşitsizliğin çözüm kümesi çoğu zaman sonsuz sayıda sayıdan oluşur ve sayı doğrusunda bir parça olarak gösterilir.

2.5.1'deki terazi ilkesi eşitsizliklere de taşınır, ama bir değişiklikle. Terazi dengede değil, bir yana eğiktir. İki kefeye aynı ağırlığı eklemek eğimi değiştirmez. Her şeyi ters çevirmek ise, yani negatif bir sayıyla çarpmak, ağır kefeyi hafif yapar. Bu ders o tek farkı ve sonuçlarını ele alıyor.

Kavram çekirdeği

Aralık gösterimi

Çözüm kümeleri aralıklarla yazılır. Köşeli parantez uç noktanın kümeye dahil olduğunu, normal parantez dahil olmadığını gösterir:

• 1 < x ≤ 4 → (1, 4]
• -2 ≤ x ≤ 3 → [-2, 3]
• x < 6 → (-∞, 6)
• x ≥ -3 → [-3, ∞)

Sonsuzluk bir sayı değildir; ona ulaşılamaz, bu yüzden ∞ ve -∞ yanında her zaman normal parantez kullanılır. Sayı doğrusunda dahil olan uç dolu, dahil olmayan uç içi boş bir noktayla gösterilir.

Yönü korumak ve çevirmek

Bir eşitsizliğin iki yanına aynı sayı eklenebilir ya da iki yanından aynı sayı çıkarılabilir; eşitsizliğin yönü değişmez. İki yan pozitif bir sayıyla çarpılabilir ya da bölünebilir; yön yine değişmez.

İki yan negatif bir sayıyla çarpılır ya da bölünürse yön değişir. 3 < 5 doğrudur; iki yan -1 ile çarpılınca -3 ile -5 elde edilir ve artık -3 > -5'tir. Sayı doğrusunda sıfırın öbür yanına geçen sayılar sıralarını ters çevirir.

5 - 2x > 11 çözülürken iki yandan 5 çıkarılır: -2x > 6. İki yan -2'ye bölünür ve yön çevrilir: x < -3. Yönü çevirmeyi unutan aday x > -3 bulur; tam ters bir küme. Denetim için kümeden bir sayı seçilip eşitsizliğe konur: x = -4 için 5 + 8 = 13 > 11 doğrudur.

Çift taraflı eşitsizlikler

-1 < 2x + 3 ≤ 9 gibi bir eşitsizlikte üç parçaya aynı işlem uygulanır. Üç parçadan 3 çıkarılır: -4 < 2x ≤ 6. Üç parça 2'ye bölünür: -2 < x ≤ 3. Çözüm aralığı (-2, 3]'tür.

Sınav bu aralıktaki tam sayıları sık sorar. -2 dahil değildir, 3 dahildir: -1, 0, 1, 2, 3; toplam beş tam sayı. Uçların dahil olup olmadığı, tam sayı sayısını doğrudan değiştirir.

Kesirli eşitsizlikler

Kesirli eşitsizliklerde iki yan, paydaların EKOK'uyla çarpılır; EKOK pozitif olduğu için yön değişmez. x/2 - 1 < x/3 için iki yan 6 ile çarpılır: 3x - 6 < 2x, yani x < 6.

Payda bilinmeyen içeriyorsa, örneğin 1/x < 2, iki yanı x ile çarpmak yanlıştır: x'in işareti bilinmediği için yönün değişip değişmeyeceği de bilinmez. Böyle eşitsizlikler işaret incelemesi gerektirir ve sınavda ayrı bir dikkat ister.

"Ve" ile "veya"

İki koşul "ve" ile bağlanırsa ikisini birden sağlayan sayılar, yani kümelerin ortak kısmı alınır. x > 2 ve x < 6 birlikte 2 < x < 6 verir. "Veya" ile bağlanırsa iki kümenin birleşimi alınır: x < -1 veya x > 3, sayı doğrusunun iki ayrı parçasıdır ve tek bir aralıkla yazılamaz.

Eşitsizliklerle işlem

Aynı yönlü iki eşitsizlik taraf tarafa toplanabilir. -2 < a < 3 ve 1 < b < 5 ise -1 < a + b < 8'dir: alt sınırlar ve üst sınırlar ayrı ayrı toplanır.

Çıkarmada uç uca çıkarmak yanlıştır. a - b için önce -b'nin aralığı bulunur: 1 < b < 5 ise -5 < -b < -1'dir; yön çevrilmiştir. Sonra toplanır: -2 + (-5) < a - b < 3 + (-1), yani -7 < a - b < 2. Uç uca çıkaran aday -3 < a - b < -2 gibi dar ve yanlış bir aralık bulur.

Pozitif sayılarda ters almak da yönü çevirir: 0 < a < b ise 1/a > 1/b'dir. 2 < 4 iken 1/2 > 1/4'tür. Bu, 2.3.3'te payları eşit kesirlerde paydası küçük olanın büyük olduğu kuralının başka bir yüzüdür.

Görsel harita

Eşitsizlik çözme sırası

1. Kesir varsa pozitif EKOK ile çarp.
2. Bilinmeyenleri bir yana, sayıları öbür yana topla.
3. Katsayıya böl; katsayı negatifse yönü çevir.
4. Çözümü aralık olarak yaz; uçların dahil olup olmadığını işaretle.
5. Kümeden bir sayı seçip denetle.

Sınav gözüyle

Eşitsizlik sorularında en kritik adım yön değişimidir. Seçeneklerde doğru küme ile yönü çevrilmemiş küme yan yana durur ve ikisi tek bir işaretle ayrılır. Bulunan kümeden bir sayı seçip ilk eşitsizliğe koymak, bu iki seçenekten hangisinin doğru olduğunu saniyeler içinde gösterir.

İkinci kalıp, aralıktaki tam sayıların sayısı ya da toplamıdır. Burada uçların dahil olup olmadığını okumak belirleyicidir: (-2, 3] aralığında beş, [-2, 3] aralığında altı tam sayı vardır. Üçüncü kalıp a - b gibi işlemlerdir; uç uca çıkarmanın dar ve yanlış aralığı seçeneklerde sık görülür.

Hafıza kancaları

• "Eksiyle çarpınca terazi döner" — -2x > 6 → x < -3.
• "Köşeli dahil, yuvarlak hariç" — (-2, 3] beş tam sayı.
• "Sonsuzun yanı hep yuvarlak" — (-∞, 6).
• "Çıkarmadan önce eksiyi içeri al" — a - b = a + (-b).
• "Bir sayı koy, yönü sına" — x = -4 denetimi.

Mini test

1. (kolay) 3x - 5 ≤ 7 eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) x ≥ 4 B) x ≤ 4 C) x ≤ 2/3 D) x < 4 E) x ≥ 2/3

2. (kolay) 5 - 2x > 11 eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) x > -3 B) x > 3 C) x < 3 D) x < -3 E) x > -8

3. (orta) -1 < 2x + 3 ≤ 9 eşitsizliğini sağlayan kaç tam sayı vardır?

A) 5 B) 6 C) 4 D) 7 E) 3

4. (orta) -2 < a < 3 ve 1 < b < 5 olduğuna göre a - b hangi aralıktadır?

A) (-3, -2) B) (-1, 8) C) (-3, 2) D) (-7, -2) E) (-7, 2)

5. (sınav) x/2 - 1 < x/3 ve x > 2 koşullarını birlikte sağlayan tam sayıların toplamı kaçtır?

A) 18 B) 9 C) 12 D) 15 E) 7

Cevaplar

1. B — 3x ≤ 12, x ≤ 4. D, ≤ işaretini < diye okumanın sonucudur; 4 kümeye dahildir.
2. D — -2x > 6; -2'ye bölününce yön değişir: x < -3. A, yönü çevirmeyi unutmanın sonucudur.
3. A — -2 < x ≤ 3; tam sayılar -1, 0, 1, 2, 3'tür. B, -2'yi de dahil saymanın sonucudur.
4. E — -5 < -b < -1; toplanınca -7 < a - b < 2. A, uç uca çıkarmanın; B, a + b'nin aralığıdır.
5. C — İlk koşul x < 6 verir; ikisi birlikte 2 < x < 6. Tam sayılar 3, 4 ve 5'tir; toplam 12'dir. A, x < 6 koşulunu x ≤ 6 okuyup 6'yı da eklemenin sonucudur: 3 + 4 + 5 + 6 = 18.

Özet kartı

• Eşitsizliğin çözümü bir sayı kümesidir ve aralıkla yazılır; köşeli parantez dahil, normal parantez hariç demektir.
• Ekleme, çıkarma ve pozitifle çarpma-bölme yönü korur; negatifle çarpma-bölme yönü çevirir.
• Çift taraflı eşitsizlikte üç parçaya aynı işlem uygulanır.
• "Ve" kümelerin ortak kısmını, "veya" birleşimini verir.
• Aynı yönlü eşitsizlikler toplanabilir; çıkarmada önce eksi işaretli değişkenin aralığı yazılır.
• Pozitif sayılarda ters almak yönü çevirir.

Kaynaklar

Sonraki derse köprü

-2 < x < 2 aralığına sayı doğrusunda bakınca, 0'ın iki yanına eşit uzanan bir parça görülür: içindeki her sayı 0'a 2 birimden yakındır. "0'a uzaklık" fikri kendi başına bir kavramdır ve eşitsizlikleri kısa yazmanın bir yolunu verir. Ders 2.5.4, "Mutlak değer", bir sayının sıfıra uzaklığını ve bu kavramla kurulan denklem ve eşitsizlikleri ele alıyor.