İki bilinmeyenli denklem sistemleri

Kanca

Manav bu kez iki tür paket tartıyor: elma paketleri ve armut paketleri. İlk tartıda iki elma paketi ile bir armut paketi birlikte 8 kilogram geliyor. Yalnız bu bilgiyle paketlerin ağırlığı bulunamaz; elma 3, armut 2 kilogram olabilir, elma 2,5, armut 3 kilogram da olabilir. Bir denklem, iki bilinmeyeni kesinleştirmeye yetmez.

Manav ikinci bir tartı yapıyor: bir elma paketi ile üç armut paketi 9 kilogram. Artık iki bilgi var ve bunlar birlikte tek bir cevap verir: elma paketi 3, armut paketi 2 kilogramdır. İki denklem, iki bilinmeyeni bağlar. Bu derste iki denklemi birlikte çözmenin yollarını, istenen ifadeyi bilinmeyenleri tek tek bulmadan elde etmeyi ve bir sistemin ne zaman çözümsüz ya da sonsuz çözümlü olduğunu göreceğiz.

Büyük resim

İki bilinmeyenli birinci dereceden bir denklem, ax + by = c biçimindedir. Böyle bir denklemi sağlayan sonsuz sayıda (x, y) çifti vardır. İkinci bir denklem eklendiğinde, iki denklemi birlikte sağlayan çiftler aranır; buna denklem sistemi denir. Sistemlerin çoğunun tek bir çözümü vardır.

Çözümün özü, 2.5.1'deki terazi ilkesinin genişletilmesidir: denklemler toplanabilir, çıkarılabilir, bir sayıyla çarpılabilir ve bir bilinmeyen öbürü cinsinden yazılıp yerine konabilir. Hepsinin amacı aynıdır: bilinmeyenlerden birini yok edip tek bilinmeyenli bir denkleme inmek.

Kavram çekirdeği

Yok etme yöntemi

İki denklem taraf tarafa toplanır ya da çıkarılır ve bilinmeyenlerden biri kaybolur. x + y = 10 ve x - y = 4 sisteminde iki denklem toplanınca y'ler birbirini götürür: 2x = 14, yani x = 7. Bu değer ilk denkleme konunca y = 3 bulunur.

Katsayılar doğrudan birbirini götürmüyorsa önce eşitlenir. 3x + 2y = 16 ve 2x + 3y = 19 sisteminde y'yi yok etmek için ilk denklem 3 ile, ikincisi 2 ile çarpılır: 9x + 6y = 48 ve 4x + 6y = 38. Taraf tarafa çıkarılınca 5x = 10, yani x = 2'dir; ilk denklemden y = 5 bulunur. Çarpılacak sayılar, 2.2.4'teki EKOK fikriyle seçilir: y'nin katsayıları 2 ve 3 olduğu için ortak katsayı 6'dır.

Yerine koyma yöntemi

Denklemlerden biri bir bilinmeyeni yalnız bırakıyorsa ya da kolayca yalnız bırakılabiliyorsa, o ifade öbür denklemde yerine konur. y = 2x - 1 ve 3x + y = 14 sisteminde ikinci denklemde y yerine 2x - 1 yazılır: 3x + 2x - 1 = 14, yani 5x = 15 ve x = 3; y = 5'tir.

Kancadaki manav sistemi de bu yolla çözülür. 2e + a = 8 denkleminden a = 8 - 2e yazılır; ikinci denkleme konunca e + 3(8 - 2e) = 9, yani e + 24 - 6e = 9, -5e = -15 ve e = 3 olur. Armut paketi a = 8 - 6 = 2 kilogramdır.

Hangi yöntemin seçileceği sisteme bağlıdır. Bir bilinmeyenin katsayısı 1 ise yerine koyma kısadır; katsayılar birbirinin katıysa ya da toplanınca bir bilinmeyen kayboluyorsa yok etme kısadır.

İstenen ifadeyi doğrudan elde etmek

Sınav sık sık x'i ya da y'yi değil, onlardan kurulan bir ifadeyi sorar: x + y, x - y, x · y. Bu durumda bilinmeyenleri tek tek bulmak yerine denklemleri istenen ifadeyi verecek biçimde birleştirmek daha kısadır.

3x + 2y = 16 ve 2x + 3y = 19 sisteminde x + y sorulduysa iki denklem doğrudan toplanır: 5x + 5y = 35, yani x + y = 7. Çıkarılırsa x - y = -3 bulunur. İki adımda, hiçbir bilinmeyeni tek başına bulmadan, iki ifade de elde edilir. Bu yol, katsayıları simetrik olan sistemlerde özellikle işe yarar.

Çözüm sayısı

İki denklem birbiriyle çelişirse sistemin çözümü yoktur; biri öbürünün katıysa sonsuz çözümü vardır. a₁x + b₁y = c₁ ve a₂x + b₂y = c₂ sisteminde:

• a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ ise çözüm yoktur. x + 2y = 4 ile 2x + 4y = 9: sol yanlar orantılı, sağ yanlar değil. İkinci denklemi 2'ye bölünce x + 2y = 4,5 olur; aynı ifade hem 4 hem 4,5 olamaz.
• a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ ise sonsuz çözüm vardır. x + 2y = 4 ile 2x + 4y = 8 aslında aynı denklemdir.
• a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ ise tek çözüm vardır.

Bu koşullar, 2.5.1'deki 0 × x = k ve 0 × x = 0 durumlarının iki bilinmeyenli karşılığıdır. Sistemi çözmeye girişen aday da sonunda bu biçimlerden birine varır.

Çözümü denetlemek

Bulunan (x, y) çifti iki denkleme birden konur. Yalnız birine koymak yetmez; çift, iki denklemi birlikte sağlamalıdır. Manav örneğinde e = 3 ve a = 2 için 2 × 3 + 2 = 8 ve 3 + 3 × 2 = 9; iki tartı da tutar.

Görsel harita

Sistem çözme sırası

1. Soruyu oku: bilinmeyenlerin kendisi mi, bir ifadesi mi isteniyor?
2. İfade isteniyorsa denklemleri doğrudan birleştirmeyi dene.
3. Değilse katsayılara bak: 1 olan varsa yerine koy, yoksa EKOK ile eşitleyip yok et.
4. Bulunan çifti iki denkleme de koy.

Sınav gözüyle

Denklem sistemi soruları çoğu zaman sözel problem kılığında gelir: iki ürünün fiyatı, iki kişinin yaşı, iki musluğun debisi. Sözel metinden iki denklemi doğru kurmak çözümün yarısıdır. Her cümlenin bir denkleme karşılık geldiğini ve iki bilinmeyen için iki bağımsız cümle gerektiğini bilmek, kurulumu düzenler.

İkinci kalıp, parametreli sistemlerde çözüm sayısıdır. "Sistemin çözümü yoksa a kaçtır?" sorusunda katsayıların orantılı olması istenir; bu koşul, sağ yanların da orantılı olduğu sonsuz çözüm koşuluyla kolayca karışır. Çözümsüzlükte sağ yanlar orantılı olmamalıdır.

Hafıza kancaları

• "İki bilinmeyene iki tartı" — tek denklem yetmez.
• "Katsayı 1 ise yerine koy" — y = 2x - 1.
• "Katsayılar farklıysa EKOK ile eşitle" — sonra çıkar.
• "İsteneni doğrudan kur" — topla, çıkar, oku.
• "Orantılı sol, orantısız sağ: çözüm yok" — hepsi orantılıysa sonsuz.

Mini test

1. (kolay) x + y = 10 ve x - y = 4 olduğuna göre x kaçtır?

A) 3 B) 4 C) 10 D) 6 E) 7

2. (kolay) y = 2x - 1 ve 3x + y = 14 olduğuna göre y kaçtır?

A) 3 B) 14 C) 5 D) 1 E) 7

3. (orta) 3x + 2y = 16 ve 2x + 3y = 19 olduğuna göre x + y kaçtır?

A) 7 B) 35 C) 5 D) 2 E) 9

4. (orta) x + 2y = 11 ve 3x - y = 5 olduğuna göre x · y kaçtır?

A) 7 B) 3 C) 4 D) 12 E) 1

5. (sınav) (a - 1)x + 2y = 5 ve 3x + y = 4 denklem sisteminin çözümü olmadığına göre a kaçtır?

A) 6 B) 7 C) 5 D) 3 E) -5

Cevaplar

1. E — Denklemler toplanır: 2x = 14, x = 7. A, y'nin değeridir.
2. C — 3x + 2x - 1 = 14 verir; x = 3 ve y = 2 × 3 - 1 = 5. A, x'in değeridir.
3. A — Denklemler toplanır: 5x + 5y = 35, x + y = 7. B, 5'e bölmeyi unutmanın sonucudur.
4. D — İkinci denklemden y = 3x - 5; ilk denkleme konunca 7x - 10 = 11, x = 3 ve y = 4'tür. x · y = 12. A, x + y'dir.
5. B — Çözüm olmaması için (a - 1)/3 = 2/1 olmalıdır: a - 1 = 6, a = 7. Bu durumda sağ yanların oranı 5/4'tür ve 2'ye eşit değildir; sistem gerçekten çözümsüzdür. A, a - 1'i a sanmanın sonucudur.

Özet kartı

• İki bilinmeyenli bir denklemin sonsuz çözümü vardır; tek bir çözüm için ikinci, bağımsız bir denklem gerekir.
• Yok etme yönteminde denklemler, bir bilinmeyenin katsayıları eşitlenip toplanır ya da çıkarılır.
• Yerine koyma yönteminde bir bilinmeyen öbürü cinsinden yazılıp ikinci denkleme konur.
• İstenen ifade x + y, x - y gibi ise denklemleri doğrudan birleştirmek en kısa yoldur.
• a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ ise çözüm yok, üç oran eşitse sonsuz çözüm vardır.
• Bulunan çift iki denkleme birden konarak denetlenir.

Kaynaklar

Sonraki derse köprü

Denklemler tek bir değer verdi: elma paketi tam 3 kilogramdı. Manav "paketler 5 kilogramı geçmesin" diye bir sınır koysaydı, cevap tek bir sayı değil bir değerler kümesi olurdu. Ders 2.5.3, "Eşitsizlikler ve aralıklar", eşitlik yerine büyüklük-küçüklük bağıntısı kuran ifadeleri ve çözümlerinin aralık olarak yazılışını ele alıyor.