Birinci dereceden denklemler

Kanca

Bir manavın terazisinde, sol kefede eş ağırlıkta üç paket ile 2 kilogramlık bir ağırlık, sağ kefede aynı paketlerden bir tane ile 8 kilogramlık bir ağırlık duruyor ve terazi dengede. Bir paket kaç kilogramdır? Her iki kefeden birer paket alınırsa denge bozulmaz: solda iki paket ve 2 kilogram, sağda 8 kilogram kalır. İki kefeden 2'şer kilogram alınınca iki paket 6 kilogram çeker; bir paket 3 kilogramdır.

Bu terazi, denklem çözmenin bütün mantığını taşır: iki yana aynı işlem yapıldığı sürece eşitlik bozulmaz. Matematik diliyle soru 3x + 2 = x + 8'dir ve cevap x = 3'tür. Bu ders, bilinmeyenin yalnız birinci kuvvetiyle yer aldığı denklemleri, bunları adım adım çözmeyi ve çözümün hiç olmadığı ya da sonsuz çok olduğu özel durumları ele alıyor.

Büyük resim

ax + b = 0 biçimine getirilebilen ve a sıfırdan farklı olan denkleme birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. "Birinci derece", x'in en yüksek kuvvetinin 1 olması demektir; x², √x ya da 1/x içeren denklemler bu sınıfa girmez. Böyle bir denklemin tek bir çözümü vardır: x = -b/a.

Denklem çözmek, 2.4.5'te özdeşlikten ayırdığımız eşitliği sağlayan değeri bulmaktır. Çözümün bütün araçları önceki ünitelerden gelir: dağılma, işlem önceliği, kesirlerde payda eşitleme. Yeni olan yalnız bir ilkedir: eşitliğin iki yanına aynı işlemi uygulamak. Sınavın denklem soruları çoğu zaman bir problemin içinde gizlenir; bu ders önce çıplak denklemi çözme becerisini kuruyor.

Kavram çekirdeği

Terazi ilkesi

Bir eşitliğin iki yanına aynı sayı eklenebilir, iki yanından aynı sayı çıkarılabilir; iki yan sıfırdan farklı aynı sayıyla çarpılabilir ya da bölünebilir. Eşitlik bozulmaz. Bu dört işlemin amacı, x'i tek başına bir yanda bırakmaktır.

"Karşıya geçince işaret değişir" kuralı bu ilkenin kısaltmasıdır. 3x - 7 = 2x + 5 denkleminde iki yandan 2x çıkarılır ve iki yana 7 eklenir: x = 12. Kısaltma işe yarar, ama nedeni bilinmezse çarpma ve bölmede yanlış uygulanır: çarpan olarak karşıya geçen sayı işaret değiştirmez, bölen olur.

Adım adım çözüm

Birinci dereceden bir denklem şu sırayla çözülür:

1. Parantezleri dağılmayla aç.
2. Kesir varsa iki yanı paydaların EKOK'uyla çarp.
3. x'li terimleri bir yana, sayıları öbür yana topla.
4. x'in katsayısına böl.
5. Bulunan değeri ilk denkleme koyarak denetle.

2(x - 3) + 4 = 3x - 8 için: parantez açılır, 2x - 6 + 4 = 3x - 8, yani 2x - 2 = 3x - 8. x'ler sağa, sayılar sola toplanır: 6 = x. Denetim: 2(6 - 3) + 4 = 10 ve 3 × 6 - 8 = 10.

Dağılmada en sık hata, parantezin önündeki sayıyı yalnız ilk terimle çarpmaktır. 2(x - 3)'ü 2x - 3 diye açan aday aynı denklemden x = 9 bulur; denetim adımı bu hatayı hemen gösterir.

Kesirli denklemler

Kesirli denklemlerde iki yan paydaların EKOK'uyla çarpılır; kesirler bir anda kaybolur. Bu, 2.3.5'te iç paydaları tek hamlede silmenin denklemdeki karşılığıdır.

x/3 + x/4 = 7 için EKOK(3, 4) = 12'dir. İki yan 12 ile çarpılınca 4x + 3x = 84, yani 7x = 84 ve x = 12 olur.

Payında birden çok terim bulunan kesirlerde eksi işareti dikkat ister. (x + 1)/3 - (x - 2)/4 = 2 için iki yan 12 ile çarpılır: 4(x + 1) - 3(x - 2) = 24. Eksi, parantezin bütün terimlerine dağılır: 4x + 4 - 3x + 6 = 24, yani x + 10 = 24 ve x = 14. Eksiyi yalnız ilk terime uygulayan aday 4x + 4 - 3x - 6 = 24 yazar ve x = 26 bulur.

Ondalıklı denklemler

Ondalık katsayılar, iki yan 10'un uygun kuvvetiyle çarpılarak tam sayıya çevrilir. 0,2x + 1,5 = 0,7x için iki yan 10 ile çarpılır: 2x + 15 = 7x, yani 5x = 15 ve x = 3. 2.3.2'deki virgül kaydırma burada da aynı işi görür.

Çözümü olmayan ve sonsuz çözümlü denklemler

Sadeleştirme sonunda x'li terimler tamamen kaybolabilir. İki durum vardır:

• 0 × x = 0 biçimi: Her x bu eşitliği sağlar; çözüm kümesi bütün gerçek sayılardır. 2(x + 1) = 2x + 2 böyledir; aslında 2.4.5'te gördüğümüz anlamda bir özdeşliktir.
• 0 × x = k, k ≠ 0 biçimi: Hiçbir x eşitliği sağlamaz; çözüm kümesi boştur. 2(x + 1) = 2x + 3 sadeleşince 2 = 3 gibi yanlış bir eşitlik kalır.

Bu iki durum, katsayısında harf bulunan denklemlerde soru hâline gelir. (a - 2)x = a + 1 denkleminin çözümü yoksa x'in katsayısı sıfır, sağ yan sıfırdan farklı olmalıdır: a - 2 = 0, yani a = 2; bu durumda sağ yan 3'tür ve gerçekten sıfır değildir. Denklemin sonsuz çözümü olması için ise iki yan birlikte sıfır olmalıdır; bu örnekte a = 2 iken sağ yan 3 olduğu için böyle bir a yoktur.

Çözümü denetlemek

Birinci dereceden denklemde bulunan değerin ilk denkleme konması birkaç saniye sürer ve en güvenli denetimdir. 2.4.6'da sayı koyarak sınamanın sadeleştirme tuzaklarını yakaladığını gördük; denklemde de dağılma ve işaret hatalarını aynı yol yakalar.

Görsel harita

Sınav gözüyle

Birinci dereceden denklem soruları sınavda tek başına sorulduğunda genellikle kesirli ya da parantezli gelir ve zorluğu işaret yönetimindedir. Seçeneklerde, eksiyi yalnız ilk terime dağıtmanın ya da parantezi eksik açmanın sonuçları bulunabilir. Bulunan değeri ilk denkleme koymak bu tuzakların hepsini yakalar.

Katsayısında harf bulunan sorular ise çözümü değil çözüm sayısını sorar. "Çözümü yoktur" ifadesi katsayının sıfır, sağ yanın sıfırdan farklı olmasını; "sonsuz çözümü vardır" ifadesi ikisinin birlikte sıfır olmasını ister. Bu iki koşul karıştırıldığında aday yanlış parametre değerine varır.

Hafıza kancaları

• "İki yana aynı işlem" — terazi dengede kalır.
• "Parantezin önündeki sayı her terime" — 2(x - 3) = 2x - 6.
• "Kesirde EKOK ile çarp" — kesirler bir anda gider.
• "Eksi bütün paya dağılır" — -(x - 2) = -x + 2.
• "0x = 0 her şey, 0x = k hiçbir şey" — çözüm sayısı.

Mini test

1. (kolay) 3x - 7 = 2x + 5 denkleminin çözümü kaçtır?

A) 2 B) -2 C) -12 D) 12 E) 7/5

2. (kolay) x/3 + x/4 = 7 denkleminin çözümü kaçtır?

A) 3 B) 12 C) 7 D) 84 E) 1

3. (orta) 2(x - 3) + 4 = 3x - 8 denkleminin çözümü kaçtır?

A) -6 B) 9 C) 2 D) -2 E) 6

4. (orta) (x + 1)/3 - (x - 2)/4 = 2 denkleminin çözümü kaçtır?

A) 26 B) 2 C) 14 D) 22 E) -2

5. (sınav) (a - 2)x = a + 1 denkleminin gerçek sayılarda çözümü olmadığına göre a kaçtır?

A) 2 B) -1 C) 0 D) 1 E) -2

Cevaplar

1. D — İki yandan 2x çıkarılır ve iki yana 7 eklenir: x = 12. B, -7'yi karşıya işaretini değiştirmeden geçirmenin sonucudur: x = 5 - 7.
2. B — İki yan 12 ile çarpılır: 7x = 84, x = 12. D, 84'ü x sanıp 7'ye bölmeyi unutmanın sonucudur.
3. E — 2x - 2 = 3x - 8 verir; x = 6. B, parantezi 2x - 3 diye eksik açmanın sonucudur.
4. C — 4x + 4 - 3x + 6 = 24 verir; x = 14. A, eksiyi yalnız ilk terime dağıtmanın sonucudur.
5. A — Katsayı sıfır olmalıdır: a = 2; bu durumda denklem 0 × x = 3 olur ve çözümü yoktur. B, sağ yanı sıfır yapmanın sonucudur; o durumda tek çözüm x = 0'dır.

Özet kartı

• ax + b = 0 (a ≠ 0) biçimindeki denklemin tek çözümü x = -b/a'dır.
• Eşitliğin iki yanına aynı işlem uygulanabilir; sıfırla çarpma ve sıfıra bölme hariç.
• Çözüm sırası: parantezi aç, kesirleri EKOK ile kaldır, x'leri bir yana topla, katsayıya böl, yerine koyarak denetle.
• Kesrin önündeki eksi, payın bütün terimlerine dağılır.
• 0 × x = 0 ise her x çözümdür; 0 × x = k (k ≠ 0) ise çözüm yoktur.

Kaynaklar

Sonraki derse köprü

Terazide tek tür paket vardı. Sol kefede elma ve armut paketleri birlikte dursaydı, tek bir denge iki bilinmeyeni bulmaya yetmezdi; ikinci bir tartı gerekirdi. Ders 2.5.2, "İki bilinmeyenli denklem sistemleri", iki denklemi birlikte kullanarak iki bilinmeyeni bulmayı ele alıyor.