Özdeşlikler ve çarpanlara ayırma

Kanca

98 × 102 kaçtır? Kâğıt kalemle çarpan biri birkaç satır hesap yapar. Oysa iki sayı 100'ün iki yanında eşit uzaklıktadır: 98 = 100 - 2 ve 102 = 100 + 2. Böyle iki sayının çarpımı her zaman ortadaki sayının karesinden uzaklığın karesi kadar eksiktir: 100² - 2² = 10.000 - 4 = 9.996. Hesap iki saniye sürer.

Bu kısa yol bir ezber değil, her sayı için doğru olan bir eşitliktir: (a - b)(a + b) = a² - b². Böyle eşitliklere özdeşlik denir. Özdeşlikler iki yönde kullanılır: çarpımı açmak için ve bir ifadeyi çarpanlarına ayırmak için. Bu ders temel özdeşlikleri, sayısal hesapta kullanımlarını ve ifadeleri çarpanlarına ayırma yollarını ele alıyor.

Büyük resim

Denklem, yalnız bazı değerler için doğru olan bir eşitliktir: x + 2 = 5 yalnız x = 3 için doğrudur. Özdeşlik ise değişkenin her değeri için doğrudur: a² - b² = (a - b)(a + b) eşitliği a ve b ne olursa olsun geçerlidir. 2.4.4'te eşlenik çarpımında her seferinde karelerin farkının kaldığını gördük; bunun nedeni bu özdeşliktir.

Özdeşliklerin iki yönü vardır. Soldan sağa okunduğunda bir çarpımı açar: (a + b)² = a² + 2ab + b². Sağdan sola okunduğunda bir toplamı çarpıma çevirir; buna çarpanlara ayırma denir. Çarpanlara ayırma, 2.2.3'te sayıları asal çarpanlarına ayırmanın cebirdeki karşılığıdır: bir ifadeyi daha küçük, çarpılan parçalara böler.

Kavram çekirdeği

Temel özdeşlikler

Üç özdeşlik bu konunun omurgasıdır:

• Toplamın karesi: (a + b)² = a² + 2ab + b²
• Farkın karesi: (a - b)² = a² - 2ab + b²
• İki kare farkı: a² - b² = (a - b)(a + b)

İlk ikisinin nedeni dağılmadır: (a + b)² = (a + b)(a + b) çarpımında dört terim çıkar ve ortadaki iki terim ab + ba = 2ab olarak birleşir. Üçüncüsünde ise ortadaki terimler -ab + ab = 0 diye birbirini götürür.

İki ek özdeşlik de küpler içindir: a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²) ve a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²). Bunlar daha seyrek kullanılır ama yapıları aynıdır: iki terimli bir çarpan ile üç terimli bir çarpan.

Toplamın karesi, karelerin toplamı değildir

En sık hata (a + b)²'yi a² + b² diye açmaktır. a = 3, b = 4 alınınca hata hemen görünür: (3 + 4)² = 49 iken 3² + 4² = 25'tir. Aradaki 24, ortadaki 2ab terimidir: 2 × 3 × 4 = 24. 2.4.4'te kökün toplamaya dağılmadığını gördük; kare de toplamaya dağılmaz.

Sayısal hesapta özdeşlik

Özdeşlikler büyük sayılarla hesabı kısaltır:

• 101² = (100 + 1)² = 10.000 + 200 + 1 = 10.201.
• 99² = (100 - 1)² = 10.000 - 200 + 1 = 9.801.
• 51 × 49 = (50 + 1)(50 - 1) = 2.500 - 1 = 2.499.
• 2024² - 2023² = (2024 - 2023)(2024 + 2023) = 1 × 4.047 = 4.047.

Son örnek, iki kare farkının en güçlü kullanımıdır: ardışık iki sayının karelerinin farkı, iki sayının toplamına eşittir. Büyük kareleri hesaplamaya hiç gerek kalmaz.

Toplam ve çarpımdan kareler toplamı

a + b ve a × b biliniyorsa a² + b², a ve b'yi bulmadan hesaplanır. Toplamın karesi özdeşliği yeniden düzenlenir: a² + b² = (a + b)² - 2ab. a + b = 7 ve ab = 10 ise a² + b² = 49 - 20 = 29'dur.

Aynı yolla farkın karesi de bulunur: (a - b)² = (a + b)² - 4ab = 49 - 40 = 9. Bu sorularda a ile b'yi tek tek bulmaya çalışmak hem uzun sürer hem de çoğu zaman gereksizdir.

Ortak çarpan parantezi

Çarpanlara ayırmanın ilk adımı her zaman ortak çarpan aramaktır. 6x² + 9x ifadesinin bütün terimlerinde 3 ve x vardır: 6x² + 9x = 3x(2x + 3). Bu, 2.3.5'te sayılarla yaptığımız ortak çarpan parantezinin harfli biçimidir.

Gruplandırma

Dört terimli ifadelerde terimler ikişer ikişer gruplanır ve her gruptan ortak çarpan çıkarılır. ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (a + b)(x + y). İki grubun parantezleri aynı çıkarsa bu parantez ortak çarpan olur.

Özdeşliği tanıyarak ayırma

İki kare farkı: x² - 9 = x² - 3² = (x - 3)(x + 3). x² - 25 = (x - 5)(x + 5).

Tam kare: x² + 6x + 9 ifadesinde ilk ve son terim kare, ortadaki terim 2 × x × 3'tür; ifade (x + 3)²'dir. Ortadaki terimin eksi olması farkın karesini gösterir: x² - 10x + 25 = (x - 5)².

x² + bx + c üç terimlisi

Tam kare olmayan üç terimlilerde, çarpımı c ve toplamı b olan iki sayı aranır. x² + 5x + 6 için çarpımı 6, toplamı 5 olan sayılar 2 ve 3'tür: (x + 2)(x + 3).

İşaretler dikkat ister. x² - x - 12 için çarpım -12, toplam -1'dir. Bu koşulu -4 ve 3 sağlar: (x - 4)(x + 3). Çarpım negatifse sayıların işaretleri farklıdır; toplamın işareti, mutlak değeri büyük olanın işaretidir.

Görsel harita

Çarpanlara ayırma sırası

1. Önce ortak çarpan ara ve parantez dışına al.
2. İki terim kalmışsa iki kare farkı mı diye bak.
3. Üç terim kalmışsa tam kare mi diye bak; değilse çarpımı c, toplamı b olan iki sayı ara.
4. Dört terim varsa gruplandır.
5. Sonucu çarparak geri aç ve ilk ifadeyle karşılaştır.

Sınav gözüyle

Özdeşlik soruları sınavda çoğu zaman sayılarla gelir: büyük sayıların kareleri ya da kare farkları, hesap makinesi olmadan çözülecek biçimde seçilir. Bu sorularda ilk soru "bu sayılar bir özdeşliğe benziyor mu?" olmalıdır. 2024² - 2023² gibi bir ifadeyi doğrudan hesaplamaya girişen aday süreyi tüketir.

İkinci kalıp, a + b ve ab verilip a² + b² ya da (a - b)² sorulmasıdır. Seçeneklerde (a + b)²'nin kendisi de bulunur; ortadaki 2ab terimini unutan aday onu işaretler.

Hafıza kancaları

• "Kare toplamaya dağılmaz" — ortada 2ab vardır.
• "Ortadan eşit uzak iki sayının çarpımı, ortanın karesi eksi uzaklığın karesi" — 98 × 102 = 9.996.
• "Ardışık kareler farkı, toplamdır" — 2024² - 2023² = 4.047.
• "Önce ortak çarpan" — sonra özdeşlik.
• "Çarpımı c, toplamı b" — üç terimlide iki sayıyı bul.

Mini test

1. (kolay) 99² sayısının değeri kaçtır?

A) 9.601 B) 9.981 C) 9.801 D) 9.901 E) 9.891

2. (kolay) x² - 25 ifadesinin çarpanlarına ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir?

A) (x - 5)(x + 5) B) (x - 5)² C) (x + 5)² D) (x - 25)(x + 1) E) x(x - 25)

3. (orta) a + b = 7 ve a × b = 10 olduğuna göre a² + b² kaçtır?

A) 49 B) 39 C) 69 D) 59 E) 29

4. (orta) x² - x - 12 ifadesinin çarpanlarına ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir?

A) (x - 3)(x + 4) B) (x - 6)(x + 2) C) (x - 12)(x + 1) D) (x - 4)(x + 3) E) (x + 4)(x + 3)

5. (sınav) 2025² - 2024² + 2023² - 2022² işleminin sonucu kaçtır?

A) 8.090 B) 8.094 C) 4.049 D) 8.098 E) 2

Cevaplar

1. C — (100 - 1)² = 10.000 - 200 + 1 = 9.801. D, ortadaki terimi -100 almanın sonucudur.
2. A — İki kare farkı: x² - 5² = (x - 5)(x + 5).
3. E — a² + b² = (a + b)² - 2ab = 49 - 20 = 29. A, 2ab terimini unutmanın sonucudur.
4. D — Çarpımı -12, toplamı -1 olan sayılar -4 ve 3'tür. A, işaretleri ters seçmenin sonucudur; çarpım x² + x - 12 verir.
5. B — Her ardışık kare farkı iki sayının toplamıdır: 4.049 + 4.045 = 8.094. C yalnız ilk farktır; E, her farkı 1 sanmanın sonucudur.

Özet kartı

• Özdeşlik her değer için doğrudur; denklem yalnız bazı değerler için.
• (a + b)² = a² + 2ab + b², (a - b)² = a² - 2ab + b², a² - b² = (a - b)(a + b).
• Kare toplamaya dağılmaz; ortadaki 2ab terimi unutulmamalıdır.
• a² + b² = (a + b)² - 2ab ve (a - b)² = (a + b)² - 4ab.
• Çarpanlara ayırma sırası: ortak çarpan, iki kare farkı, tam kare, çarpımı c toplamı b olan sayılar, gruplandırma.
• Sonucu geri açarak denetle.

Kaynaklar

Sonraki derse köprü

x² - 9 ifadesini (x - 3)(x + 3) diye ayırdık. Bu ifade bir kesrin payında, x - 3 de paydasında dursaydı ikisi sadeleşir miydi, ve x = 3 için ne olurdu? Ünitenin son dersi, 2.4.6 "Sadeleştirme tuzakları", bir Ustalık dersi olarak sadeleştirmede yapılan hataları ve onlardan korunmayı ele alıyor.